数学十字相乘法

数学十字相乘法

布兰克费恩-郑同北见赵王翻译

2023年2月22日发(作者：计算题五年级)

十字相乘法进行因式分解

【基础知识精讲】

（1）理解二次三项式的意义；

（2）理解十字相乘法的根据；

（3）能用十字相乘法分解二次三项式；

（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．

【重点难点解析】

1．二次三项式

多项式cbxax2，称为字母x的二次三项式，其中2ax称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例

如，322xx和652xx都是关于x的二次三项式．

在多项式2286yxyx中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是

关于y的二次三项式．

在多项式37222abba中，把ab看作一个整体，即3)(7)(22abab，就是关于ab的二次三项式．同

样，多项式

12)(7)(2yxyx，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．

十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．

2．十字相乘法的依据和具体内容

利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是：

（1）对于二次项系数为1的二次三项式

qpxx2，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a

＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式

))(()(2bxaxabxbax

分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项

式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为

负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．

（2）对于二次项系数不是1的二次三项式cbxax2(a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数

2121

,,,ccaa，使aaa

21

，ccc

21

，且bcaca

1221

，

那么cbxax2))(()(

2211211221

2

21

cxacxaccxcacaxaa它的特征是“拆两头，凑中间”，

这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的

办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，

先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号

与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大

的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真

地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：

)45)(2(86522xxyxyx

3．因式分解一般要遵循的步骤

多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组

分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首

先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．

【典型热点考题】

例1把下列各式分解因式：

（1）1522xx；（2）2265yxyx．

点悟：（1）常数项－15可分为3×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；

（2）将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项26y可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－

5y)恰为一次项系数．

解：（1）

)5)(3(1522xxxx；

（2）

)3)(2(6522yxyxyxyx．

例2把下列各式分解因式：

（1）3522xx；（2）3832xx．

点悟：我们要把多项式cbxax2分解成形如))((

2211

caxcax的形式，这里aaa

21

，ccc

21

而

bcaca

1221

．

解：（1）)3)(12(3522xxxx；

（2）)x)(x(xx3133832．

点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性

较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．

例3把下列各式分解因式：

（1）91024xx；

（2）)(2)(5)(723yxyxyx；

（3）120)8(22)8(222aaaa．

点悟：（1）把2x看作一整体，从而转化为关于2x的二次三项式；

（2）提取公因式(x＋y)后，原式可转化为关于(x＋y)的二次三项式；

（3）以)8(2aa为整体，转化为关于)8(2aa的二次三项式．

解：（1）

)9)(1(9102224xxxx

＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．

（2）

)(2)(5)(723yxyxyx

]2)(5)(7)[(2yxyxyx

＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2]

＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)．

（3）

120)8(22)8(222aaaa

)108)(128(22aaaa

)108)(6)(2(2aaaa

点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构

成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再

分解为止．

例4分解因式：90)242)(32(22xxxx．

点悟：把xx22看作一个变量，利用换元法解之．

解：设yxx22，则

原式＝(y－3)(y－24)＋90

162272yy

＝(y－18)(y－9)

)92)(182(22xxxx．

点拨：本题中将xx22视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，

)9)(18(162272yyyy一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．

例5分解因式653856234xxxx．

点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．

解：原式]38)

1

(5)

1

(6[

2

22

x

x

x

xx

]50)

1

(5)

1

(6[22

x

x

x

xx，

令y

x

x

1

，则

原式

)5056(22yyx

)103)(52(2yyx

)10

3

3)(5

2

2(2

x

x

x

xx

)3103)(252(22xxxx

)13)(3)(12)(2(xxxx．

点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，

品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节．

例6分解因式

655222yxyxyx．

点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x－y)的二次三项式．

方法2：把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式．

解法1：655222yxyxyx

6)55()2(22yxyxyx

6)(5)(2yxyx

)6)(1(yxyx．

解法2：655222yxyxyx

65)52(22yyxyx

)1)(6()52(2yyxyx

)]y(x)][y(x[16

＝(x－y－6)(x－y＋1)．

例7分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．

点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．

解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)

)(2222baabbccbcaac

)()()(222baabbacbac

)())(()(2baabbabacbac

])()[(2abbaccba

＝(a－b)(c－a)(c－b)．

点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此

题展开四项后，根据字母c的次数分组，出现了含a－b的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c的

二次三项式能再次分解．

例8已知12624xxx有一个因式是42axx，求a值和这个多项式的其他因式．

点悟：因为12624xxx是四次多项式，有一个因式是42axx，根据多项式的乘法原则可知道另一

个因式是32bxx（a、b是待定常数），故有12624xxx2(x)3()42bxxax．根据此

恒等关系式，可求出a，b的值．

解：设另一个多项式为32bxx，则

12624xxx

)3)(4(22bxxaxx

12)43()43()(234xbaxabxbax，

∵12624xxx与12)43()43()(234xbaxabxbax是同一个多项式，所以其对应项

系数分别相等．即有

由①、③解得，a＝－1，b＝1，

代入②，等式成立．

∴a＝－1，另一个因式为32xx．

点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方

法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．

【易错例题分析】

例9分解因式：22210235yabyba．

错解：∵－10＝5×(－2)，5＝1×5，

5×5＋1×(－2)＝23，

∴原式＝(5ab＋5y)(－2ab＋5y)．

警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤．

正解：∵5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．

∴原式＝(ab＋5y)(5ab－2y)．

【同步练习】

一、选择题

1．如果))((2bxaxqpxx，那么p等于()

A．abB．a＋bC．－abD．－(a＋b)

2．如果305)(22xxbxbax，则b为()

A．5B．－6C．－5D．6

3．多项式axx32可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为()

A．10和－2B．－10和2C．10和2D．－10和－2

4．不能用十字相乘法分解的是()

A．22xxB．xxx310322

C．242xxD．22865yxyx

5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是()

A．20)(13)(22yxyx

B．20)(13)22(2yxyx

C．20)(13)(22yxyx

D．20)(9)(22yxyx

6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有()

①672xx；②1232xx；③652xx；

④9542xx；⑤823152xx；⑥121124xx

A．2个B．3个C．4个D．5个

二、填空题

7．1032xx__________．

8．652mm(m＋a)(m＋b)．

a＝__________，b＝__________．

9．3522xx(x－3)(__________)．

10．2x____22y(x－y)(__________)．

11．22____)(____(_____)a

m

n

a．

12．当k＝______时，多项式kxx732有一个因式为(__________)．

13．若x－y＝6，

36

17

xy，则代数式32232xyyxyx的值为__________．

三、解答题

14．把下列各式分解因式：

（1）6724xx；（2）36524xx；

（3）422416654yyxx；（4）633687bbaa；

（5）234456aaa；（6）422469374babaa．

15．把下列各式分解因式：

（1）2224)3(xx；（2）9)2(22xx；

（3）2222)332()123(xxxx；

（4）60)(17)(222xxxx；

（5）8)2(7)2(222xxxx；

（6）48)2(14)2(2baba．

16．把下列各式分解因式：

（1）

baaxxba2)(2；

（2）

))(()(222qpqppqxqpx；

（3）

81023222yxyxyx；

（4）

310434422yxyxyx；

（5）

120)127)(23(22xxxx；

（6）4222212)2)((yyxyxyxyx．

17．已知60197223xxx有因式2x－5，把它分解因式．

18．已知x＋y＝2，xy＝a＋4，2633yx，求a的值．

参考答案

【同步练习】

1．D2．B3．D4．C5．A6．C

7．(x＋5)(x－2)8．1或－6，－6或19．2x＋1

10．xy，x＋2y11．

2

2

4m

n

，a,

m

n

2

12．－2，3x＋1或x＋213．17

14．（1）原式)6)(1(22xx

)6)(1)(1(2xxx

（2）原式)4)(9(22xx

)4)(3)(3(2xxx

（3）原式)16)(4(2222yxyx

)4)(4)(2)(2(yxyxyxyx

（4）原式))(8(3333baba

))()(42)(2(2222babababababa

（5）原式)456(22aaa

)43)(12(2aaa

（6）原式

)9374(42242bbaaa

)9)(4(22222babaa

)3)(3)(2)(2(2babababaa

15．（1）原式)23)(23(22xxxx

)1)(3)(1)(3(xxxx

（2）原式]3)2(][3)2([xxxx

)32)(32(22xxxx

)32)(1)(3(2xxxx

（3）原式

)332123()332123(2222xxxxxxxx

)1)(2)(455(2xxxx

（4）原式

)5)(12(22xxxx

)5)(3)(4(2xxxx

（5）原式)12)(82(22xxxx

2)1)(4)(2(xxx

（6）原式)82)(62(baba

16．（1）原式)1]()[(xbaxba

（2）原式)]()][([qpqxqppx

))((22qpqxpqpx

（3）原式)8103()22(22yyxyx

)2)(43()22(2yyxyx

]2)][43([yxyx

)2)(43(yxyx

（4）原式3103)1(4422yyxyx

)3)(13()1(442yyxyx

)32)(132(yxyx

（5）原式120)4)(3)(2)(1(xxxx

120)45)(65(22xxxx

1201)55(22xx

)1155)(1155(22xxxx

)65)(165(22xxxx

)6)(1)(165(2xxxx

（6）原式422222212)()(yyxyxyyxyx

)3)(4(222222yyxyxyyxyx

)2)(5(2222yxyxyxyx

)2)()(5(22yxyxyxyx

17．提示：)52()601972(23xxxx

)3)(4(122xxxx

18．∵))((2233yxyxyxyx

]3))[((2xyyxyx，

又∵2yx，xy＝a＋4，

2633yx，∴26)]4(32[22a，

解之得，a＝－7．