圆心角定理

圆心角定理

三角函数练习题-口算题六年级

2023年2月22日发(作者：江苏省公务员考试公告)

圆心弧弦弦心距之间的关系

［知识要点归纳］

1.圆不但是轴对称图形，而且也是中心对称图形，实际上圆绕圆心旋转任意一个角度，

都能够与原来的图形重合。

2.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦

心距相等。

4.推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组

量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

注意：要正确理解和使用圆心角定理及推论。

（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件虽然圆心角相等，

但所对的弧、弦、弦心距不一定相等。

如图，同心圆，虽然，但，而且，弦心







AOBCODABCDABCD

距也不相切。

O

C

A

B

D

（2）要结合图形深刻理解圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念与“所对”一词的含义，

从而正确运用上述关系。

下面举四个错例：

若⊙中，，则，OACDBCEFDCEADFB









这两个结论都是错误，首先CE、FD不是弦，∠CEA、∠BFD不是圆心角，就不可以用圆

心角定理推论证明。

O

B

D

A

C

E

F

（3）同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，同时在本定理和推论中的

“弧”是指同为劣弧或优弧，一般选择劣弧。

（4）在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对

的圆心角相等”，在“同圆中，相等的弦所对的劣弧相等”等。

5.1°的弧：因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，我

们把每一份这样的弧叫做1°的弧。

一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角，也就是说，圆心角的

度数和它所对的弧的度数相等。

注意：这里说的相等是指角的度数与弧的度数相等。而不是角与弧相等，在书写时要防

止出现“



AOBAB”之类的错误。因为角与弧是两个不能比较变量的概念。相等的弧

一定是相同度数的弧，但相同度数的弧却不一定是相等的弧。

6.圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系

（1）在同圆或等圆中，如果弦不等，那么弦心距也就不等，大弦的弦心距较小，小弦

的弦心距反而大，反之弦心距较小时，则弦较大。

当弦为圆中的最大弦（直径）时，弦心距缩小为零；当弦逐步缩小时，趋近于零时，弦

心距逐步增大，趋近于半径。

（2）在同圆或等圆中，如果弧不等，那么弧所对的弦、圆心角也不等，且大弧所对的

圆心角较大，反之也成立。

注意：不能认为大弧所对的弦也较大，只有当弧是劣弧时，这一命题才能成立，半圆对

的弦最大，当弧为优弧时，弧越大，对的弦越短。

7.辅助线方法小结：

（1）有弦的中点时，常连弦心距，进而可利用垂径定理或圆心角、弦、弧、弦心距关

系定理；另外，证明两弦相等也常作弦心距。

（2）在计算弧的度数时，或有等弧的条件时，或证等弧时，常作弧所对的圆心角。

（3）有弧的中点或证弧的中点时，常有以下几种引辅助线的方法：

（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。

【典型例题】

例1.已知：如图，在⊙O中，弦AB、CD的延长线交于P点，PO平分∠APC。

求证：（1）AB＝CD；（2）PA＝PC

O

A

P

C

M

N

D

B

1

2

分析：要证明两弦相等，可利用弧、圆心角、弦心距之中的一种相等来证，由于已知角

平分线PO过圆心，利用弦心距相等可以解决。

证明：（1）过O点作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N

∵PO平分∠APC

∴OM＝ON

∴AB＝CD（在同圆中，相等的弦心距所对的弦相等）

此题还有几种变式图形，道理是一样的。

弦AB、DC的交点在圆上，即B、P、D三点重合。

若PO平分∠APC，求证：PA＝PC。

O

A

P

C

弦AB、CD交于P点（P点在圆内）

PO平分∠APC，求证：AB＝CD。

O

B

A

D

C

P

此题还可将题设与结论交换一下，即已知AB＝CD，求证：PO平分∠APC，证法与上面一

样，利用弦心距等。

（2）在Rt△POM和Rt△PON中，

















12

OMPONP

OPOP

POMPONAAS()

PMPN

AMABCNCDABCD

1

2

1

2

，，

AMCN

PMAMPNCN

即PA＝PC

例2.如图，在⊙O中，AB＝2CD，那么（）

O

B

A

DC

AABCDBABCD

CABCDDABCD

..

..

















22

22与的大小关系不可能确定

分析：要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：ABCD



2

（）把的一半作出来，然后比较与的大小；1

1

2

ABABCD



（）把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。222CDCDAB



解法一：

过点作于，则，OOFABEAFFBABAEEBAB













1

2

1

2

ABCDAECDAB2

1

2

，

AFFBAFFB







，（等弧对等弦）

在中，，AFBAFFBABAFAB2

AFCD













222AFCDABCD，即

故选A。

O

B

A

F

E

DC

解法二：

如图，作弦，连结，则DECDCEDECDCE











1

2

在中，有CDECDDECE

2CDCE

ABCDABCE2，

















ABCEABCD，2

O

B

A

D

E

C

例3.如图，为⊙的弦，，、交于、。CDOACBDOAOBCDFE







求证：OE＝OF

O

C

D

AB

F

E

证法一：连结OC、OD

OCODCD，

ACBDCOABOD







，（等弧所对的圆心角相等）

COFDOE

OEOF

O

C

D

AB

F

E

证法二：过O点作OM⊥CD于N交⊙O于M









CMMD

又，CABDAMMB















AOMBOM

又，FNOENOONON90

OFNOEN

OFOE

O

C

D

AB

F

E

M

N

例4.如图，⊙O中AB是直径，CO⊥AB，D是CD的中点，DE∥AB。

求证：ECEA







2

O

AB

C

D

E

分析：在同圆中，要证，考虑分别求出和的度数，而弧的ECEAECEA







2

度数又等于它们所对的圆心角的度数，则关键是求出∠COE、∠AOE的度数。

证明：连结OE

EDABCOAB//，

EDCO

DCO是中点

OEOCODOEDEO，，

1

2

30

EOD903060





EC的度数是60

EOADEO30





AE的度数是30









ECEA2

O

AB

C

D

E

例5.如图，是等边三角形，是⊙直径，，、ABCABOAEEFFBCECF











交AB于M、N。

求证：AM＝MN＝NB

O

C

A

B

E

F

M

N

解析一：

由于、是半圆的三等分点，故连结，知，因而

也为等边三角形。所以，，即，则，可

求得，知是直径的三等分之一，同理，也是的三分之一，

故问题得证。

EFAEBOEAOEAOE

EABCBAAEBCAMEBMC

AM

BM

AMABBNAB









60

1

2



//~

O

C

A

B

E

F

M

N

证法一：连结OE、AE，设等边△ABC的边长为2a

ABOAEEFFB为⊙直径，















EOAAEB等于的度数

1

3

EOAAOEOa

1

3

18060，

AOE为等边三角形

AEAOa

又，EAOCBAAEBC60//

AMEBMC~



AM

BM

AE

BC

a

a2

1

2



AM

AB

1

3

同理，

BN

AB



1

3

MNABABAB

2

3

1

3

AMMNNB

解析二：

连结，易知，也可求得，进而可求得与半径的比。OEOEAC

AM

MO

AM//

证法二：

如图，连结OE，设AC＝2a，则AC＝AB＝2OE＝2a

CAMAOEACOE60，//



OM

AM

OE

AC

a

a2

1

2







OMAM

AM

AM

OA

3

2

2

3

，即

故

AM

AB



1

3

3

1

AB

BN

同理，

AMMNNB

解析三：

要证AM＝MN＝NB，即证AM：MO＝2：1，故联想到三角形的重心性质，若能证明M是△

ACG的重心，问题得证。（三角形的重心即为三角形三条中线的交点到顶点的距离等于交点

到对边中点距离的2倍）

O

C

A

B

E

F

M

N

G

证明三：

连结AE，并延长交CO的延长线于G

设AC＝2a，则有AE＝OA＝a（证法一中已证明△AOE为等边三角形）

∵AC＝BC，AO＝OB

∴AO⊥CG，∠CAB＝∠GAO＝60°，AO＝AO

∴△AOC≌△AOG

∴OC＝OG，且AG＝AC＝2a

∵AE＝a，∴AE＝EG＝a

即E为AG中点，O为CG中点

∴M为△ACG的重心

AMAOaAB

2

3

2

3

1

3

同理，NBAB

1

3

AMMNNB

【模拟试题】

一.选择题。

1.在⊙O与⊙O'中，若

AOBAOB'''

中，则有（）







''







''







''D.

ABAB



与''

的大小无法比较

2.半径为4cm，120°的圆心角所对的弦长为（）

A.5cmB.43cmC.6cmD.33cm

3.在同圆或等圆中，如果圆心角∠BOA等于另一个圆心角∠COD的2倍，则下列式子中能

成立的是（）









2













2

4.在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径的长为（）

A.42B.82C.24D.16

5.在⊙O中，两弦AB＜CD，OM、ON分别为这两条弦的弦心距，则OM、ON的关系是（）



D.无法确定

6.如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，

BAC20

，ADCD







，则∠DAC

的度数是（）

D

A

O

B

C

A.70°B.45°C.35°D.30°

二.填空题。

1.一条弦把圆分成1：3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为____________。

2.一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为____________。

3.在半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于____________。

4.在⊙O中，弦CD与直径AB相交于E，且∠AEC＝30°，AE＝1cm，BE＝5cm，那么弦CD

的弦心距OF＝_______cm，弦CD的长为________cm。

5.已知⊙O的半径为5cm，过⊙O内一已知点P的最短的弦长为8cm，则OP＝_______。

6.已知A、B、C为⊙O上三点，若ABBCCA



、、度数之比为1：2：3，则∠AOB＝_______，

∠BOC＝________，∠COA＝________。

7.已知⊙O中，直径为10cm，AB



是⊙O的

1

4

，则弦AB＝_________，AB的弦心距＝

_________。

三.解答题。

1.如图：已知，OA为⊙O的半径，AC是弦，OB⊥OA并交AC延长线于B点，OA＝6，OB

＝8，求AC的长。

O

A

C

B

2.如图，

ABC

中，

A70

，⊙O在

ABC

的三边上所截得的弦长都相等，求∠BOC

的度数。

O

A

B

C

3.已知：如图，在⊙O中，弦AB＝CD，且AB⊥CD于E，BE＝7，AE＝3，OG⊥AB于G，求：

OG的长？

O

A

B

C

D

G

E

4.已知：如图，

ABCDOEABOFCDOEF







，，，25

，求∠OFE的度数。

O

F

E

BD

CA

5.如图，C是⊙O的直径AB上一点，过点C作弦DE，使CD＝CO，使

AD



的度数为40°，

求BE



的度数。

O

C

A

B

D

E

6.如图：已知，⊙O中，ABBCCD











，OB、OC分别交AC、DB于M、N。

求证：

OMN

是等腰三角形。

O

C

B

A

D

N

M

7.如图，⊙O中弦AB＝CD，且AB与CD交于E。求证：DE＝AE。

O

A

C

E

B

D

【试题答案】

一.选择题。

1.D2.B3.D4.B5.A6.C

二.填空题。

1.90°2.300°3.3R4.142，

5.3cm6.60°，120°，180°7.52

5

2

2，

三.解答题。

1.过O点作OD⊥AB于D

ADACAB

1

2

10，

根据射影定理：OAADAB2

ADAC3672..，

A

C

O

B

D

2.

BOC125

提示：O是

ABC

中∠B、∠C的角平分线交点。

＝2

过O点作OM⊥CD

ABCDOMOG，

∴四边形OGEM是正方形

OGOMEGABAE

1

2

2

B

D

C

E

A

O

G

M

4.OFEOEF

1

2

25

5.120°。连结OD、OE。

C

E

D

A

O

B

6.证明：ABBCCDACBDACBD



















，，

又∵OB⊥AC，OC⊥BD

∴OM＝ON

OMN

是等腰三角形

7.证明：连结OE，过O点作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N

O

D

B

A

E

C

N

M

∵AB＝CD，∴OM＝ON

又∵OE＝OE，

OMEONE

∴ME＝EN

AMABDNDC

AMDN

AMMEDNNE







1

2

1

2

，

即AE＝DE