小学数学竞赛
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2023年2月19日发(作者：)小学数学奥林匹克竞赛真题集锦及解答
一、填空题
1三个连续偶数，中间这个数是m则相邻两个数分别是_m-2和_m+2_0
2•有一种三位数，它能同时被2、3、7整除，这样的三位数中，最大的一个是_966,
最小的一个是_126___o
解题过程：2X3X7=42;求三位数中42的倍数126、168、••…966
3.小丽发现：小表妹和读初三哥哥的
岁数是互质数，积是144,小表妹和读初三哥哥的岁数
分别是_____9___和16_______o
解题过程：144=2X2X2X2X3X3;(9、16)=1
4.一个四位数，它的第一个数字等于这个数
中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字
1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数,那
么这个四位数是1210o
5.______________________________2310的所有约数的和是6912o
解题过程：2310=2X3X5X7X11；约数和=(1+2)X(1+3)X(1+5)X(1+7)X(1+11)
6.已知2008被一些自然数去除，得到的余数
都是10,这些自然数共有_____11__个。
解题过程：2008-10=1998;1998=2X33X37;约数个数=(1+1)X(1+3)X(1+1)
=16(个)
其中小于10的约数共有1，2，3，6，9;16-5=11(个)
7.从1、2、3、…、1998、1999这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数
的差不等于4?1000o
解题过程：1，5，9，13，……1997(500个)隔1个取1个，共取250个
2，6，10，14，••…1998(500个)隔1个取1个，共取250个
3，7，11，15，••…1999(500个)隔1个取1个，共取250个
12X7，8，9，……13=6X14，16，18，••…26共7个；
9X10=6X15共1个；13+7+1=21（个）
4，8，12，16，••…1996(499个)隔1个取1个，共取250个
8.__________________________________________________黑板上写有从1开始的若干个
连续的奇数：1，3,5,7,9，11，13-擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998,
那么擦去的奇数是_________________________________________27___o
解题过程：1+3+5+••…+（2n-1）=n2;45X45=2025;2025-1998=27
9•一个1994位的整数，各个数位上的数字都是3。它除以13,商的第200位（从左往右数）数
字是______5___，商的个位数字是_____6___，余数是____5____。
解题过程：……3-13=256410256410……
10•在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有18个。
解题过程：能被11整除的条件是：奇数位数字和与偶数位数字和相差为11的倍数；
1位数不满足条件；2位数也不满足条件（各位数字应相等，数字和不等于13）;
应为3或4位数；13=12+1;偶数位数字和=1，奇数位数字和=12时，共有14个;
偶数位数字和=12，奇数位数字和=1时，共有4个；14+4=18（个）
11.设n是一个四位数，它的9倍恰好是其反序数（例如：123的反序数是321），则n=1089
。
解题过程：千位只能是1;个位只能是9;百位只能是0或1;如百位是1，则十位必须为0，
但所得数1109不满足题意；如百位是0，则十位必须为8，得数1089满足题意
12.555555的约数中，最大的三位数是555。
解题过程：555555=3X5X11X37X91;3X5X37=555
13.设a与b是两个不相等的自然数，如果它们的最小公倍数是72,那么a与b之和可以有
17种不同的值。
解题过程：72=2X2X2X3X3;a=72，b=（1+3）X（1+2）-1=12-仁11;a=36，b=8或
24;
a=24，b=9或18;a=18，b=8;a=9，b=8;11+6=17
14.小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1,2,3，……，13。如果从
这两个口袋中各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积，
那么，其中能被6整除的乘积共有21个。
12X7，8，9，……13=6X14，16，18，••…26共7个；
9X10=6X15共1个；13+7+1=21（个）
解题过程：6X1，2，3，……13共13个；
解题过程：4I364X8=32
36-4=9288-4十9=8
15•—列数1,2,4,7,11,16,22,29,…这列数的组成规律是第2个数比第1个数多1;第3
个数比第2个数多2;第4个数比第3个数多3;依此类推。那么这列数左起第1992个数除以5的
余数是_______________2____。
解题过程：a2-a1=1;a3-a2=2;an-1-an-2=n-2;an-an-1=n-1;
an-a1=1+2+3++n-1=n(n-1)/2;an=n(n-1)/2+1;
a1992=1992x(1992-1)/2+1=996X1991+1=(995+1)X(1990+1)+1
16•两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是_20或40_0
解题过程：(a、b)=5;5|a,5|b;a=5,b=45或a=15,b=35
17•将一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，它与原数相加，得到的和恰
好是某个自然数的平方，这个和是_____空一o
解题过程：和可能为两位数，也可能为三位数，但肯定是11的倍数，即11的平方。
18.100以内所有被5除余1的自然数的和是970°
解题过程：1+6+11+16+••…91+96=(1+96)X20十2=970
19.___________________________________________________9个连续的自然数，它们都
大于80,那么其中质数至多___________________________________4___°
解题过程：9个连续的自然数，末尾可能是0-9，末尾是0、2、4、6、8的一定被2整除，末尾
是5的一定被5整除，每连续3个自然数中一定有一个是3的倍数，只有末尾是1、
3、7、9的数可能是质数•于是质数只可能在这5个连续的奇数中，所
以质数个数不能超过4
20•如果一个自然数的约数的个数是奇数，我们称这个自然数为“希望数”，那么，1000以内
最大的“希望数”是961________°
解题过程：自然数的因数都是成对出现的，比如1和本身是一对，出现奇数个因数的时候是
因为其中有一对因数是相等的，即这个自然数是完全平方数。1000以内最大的
完全平方数是312=961,所以这个希望数是961
21.两个数的最大公约数是21,最小公倍数是126°这两个数的和是一105或147__0
解题过程：126=21X2X3;这两个数是42和63，或21和126
22._________________________________________________________________甲数是
36,甲乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4,乙数应该是___________________32___°
解题过程：除2和5以外，其它质数的个位都是1,3,7,9;
6,8,12,14都是偶数，加上唯一的偶数质数2和仍然是偶数，所以不是2;
23•—个三位数能同时被2、5、7整除，这样的三位数按由小到大的顺序排成一列，中间的一个
是560.。
解题过程：2X5X7=70;70X2,3,4,……13,14=140,210,280,••…910,980
24•有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4,最小数与最大数的积是一个奇
数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是塑。
解题过程：最小数、最大数均为奇数，中间有一个偶数，4个数和为11，分别为1、2、3、
5
25•两个整数相除得商数是12和余数是26,被除数、除数、商数及余数的和等于454，除数是
______30__。
解题过程：设除数是X，贝U12X+26+X+12+26=454;X=30
26.__________________________________在1X2X3X-X100的积的尾部有21一个连续
的零。
解题过程：尾数为5的共10个，尾数1个0的9个，2个0的1个，共21个0
27.有0、1、4、7、9
五个数字，从中选出四个数组成一个四位数（例如1409）,把其中能
被3整除的这样的四位数，从小到大排列起来，第5个数的末位数字是____9____。
解题过程：1047、1074、1407、1470、1704、1740、4017、4071、4107、4170……1479、
1497、1749、1794……
28.—些四位数，百位数字都是3,十位数字都是6,并且他们既能被2整除又能被3整除。甲
是这样四位数中最大的，乙是最小的，则甲乙两数的千位数字和个位数字（共四个数字）
的总和是____18____o
解题过程：求36中能被3整除的偶数；甲为9366，乙为1362;9+6+1+2=18
29.把自然数按由小到大的顺序排列起来组
成一串数：1、2、3、…、9、10、11、12、…，
把这串数中两位以上的数全部隔开成一位数字，组成第二串数：1、2、…、9、1、0、1、1、
1、2、1、则第一串数中100的个位数字0在第二串数中是第_192_个数。
解题过程：1-9（共9个），10-99（共180个），100（共3个）
解题过程：除2和5以外，其它质数的个位都是1,3,7,9;
6,8,12,14都是偶数，加上唯一的偶数质数2和仍然是偶数，所以不是2;
30._________________________________________________某个质数与6、&12、14之和
都仍然是质数，一共有_____________________________________1__满足上述条件的质数。
14加上任何尾数是1的质数，最后的尾数都是5,一定能被5整除；12加上任何尾数
是3的质数，尾数也是5;8加上任何尾数是7的质数，尾数也是5;6加上任何尾
数是9的质数，尾数也是5；
所以，这个质数的末位一定不是1，3,7，9；
只有5符合
31.已知a与b的最大公约数是12，a与c的最小公倍数是300,b与c的最小公倍数也是
300。那么满足上述条件的自然数a、b、c共有30组。（例如a=12，b=300，c=300,与a=
300,b=12，c=300是不同的两个自然数组）
解题过程：T（a，b）=12，：a=12m，b=12n（m，n=1或5或25，且（m，n）
=1）；
Ja，c]=300，[b，c]=300,：c=25k（k=1，2，3，4，6，12）；
当m=1,n=1时，a=12,b=12,c=25k
当m=1,n=5时，a=12,b=60,c=25k
当m=1,n=25时，a=12,b=300,c=25k
当m=5,n=1时，a=60,b=12,c=25k
当m=25,n=1时，a=300,b=12,c=25k
故有30组
32.从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行。从左向右1至11报数，报数为
11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的
同学留下，其余同学出列；留下的同学第三次从左向右1至11报数，报到11的同学留下，
其余同学出列。那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是1331___。
解题过程：11X11X11=1331
33.在1,9,8,9后面写一串这样的
数字：先计算原来这4个数的后两个之和8+9二17,
取个位数字7写在1,9,8,9的后面成为1,9,8,9,7;再计算这5个数的后两个之和9+7=
16;取个位数字6写在1,9,8,9,7的后面成为1,9,8,9,7,6;再计算这6个数的后两个
之和7+6=13,取个位数字3写在1,9,8,9,7,6的后面成为1,9,8,9,7,6,3。继续这
样求和，这样填写，成为数串1,9,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4…那么这
个数串的前398个数字的和是_1990。
解题过程：1,9,|8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,|8,9,7,6,3,
398-2=396;396-12=33;8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+仁60
33+10=1990
二、判断题
1•两个连续整数中必有一个奇数一个偶数。(V)
2.偶数的个位一定是0、2、4、6或&(V)
3．奇数的个位一定是1、3、5、7或9。(V)
4.所有的正偶数均为合数。(x)
5.奇数与奇数的和或差是偶数。(V)
6.偶数与奇数的和或差是奇数。(V)
7.奇数与奇数的积是奇数。(V)
8.奇数与偶数的积是偶数。(V)
9.任何偶数的平方都能被4整除。(V)
10.任何奇数的平方被8除都余1。(V)
11.相邻偶数最大公约数为
2，最小公倍数为它们乘积的一半。(V)
12.任何一个自然数，不是质数就是合数。(x)
13.互质的两个数可以都不是质数。(V)
14.如果两个数的积是它
们的最小公倍数，这两个数一定是互质数。(V)
三、计算题
1.能不能将(1)505；(2)1010写成10个连续自然数之和？如果能，把它写出来；如果不
能，说明理由。
解题过程：S=n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)+(n+6)+(n+7)(n+8)+
;60x
(n+9)
=10n+45(一定是奇数)
(1)505=45+46+47+48+49+50+51+52+53+54
(2)1010是偶数，不能写成10个连续自然数之和
2.(1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个能被4整除？
（2）从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？
解题过程：（1）3998十4=999（个）……2
（2）考虑个位，选法有10种;十位，选法有10种;百位选法有10种;选定之后个
位、十位、百位数字之和除以4的余数有3种情况，余0、余1、余2、余
3，对应这四种在千位上刚好有一种与之对应，共有1000个；1000-1=999
（个
）
3•请将1,2,3,…，99,100这一百个自然数中既是奇数又是合数的自然数排成一行，使
每两个相邻的数都不互质（若一行写不下，可移至第二行接着写，若第二行仍写不下，可移至第三
行接着写）。
解题过程：9,15,21,27,33,39,45,51,57,63,69,75,81,87,93,99
15,25,35,55,65,85,95
21,35,49,77,91
33,55,77,99
25,35,55,65,85,95；15,9,21,27,33,39,45,51,57,63,69,
75,81,87,93,99；77,91,49
4．一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数,其和是13。求所有满足条件的自然数。
解题过程：设这个数为n,除以9的余数r13-8=5，且q<13
n=8q+k=9p+r==>k=9p+r-8p=9p+r-8x（13-r）=9x（p+r）-104=4
q=5,n=8X5+4=44
q=6,n=8X6+4=52
q=7,n=8X7+4=60
q=8,n=8X8+4=68
q=9,n=8X9+4=76
q=10,n=8X10+4=84
q=11,n=8X11+4=92
q=12,n=8X12+4=100
q=13,n=8X13+4=108
5．有红、黄、蓝、绿四种颜色的卡片，每种颜色的卡片各有3张。相同颜色的卡片上写相同
的自然数，不同颜色的卡片上写不同的自然数。老师把这12张卡片发给6名同学，每人得到两张
颜色不同的卡片。然后老师让学生分别求出各自两张卡片上两个自然数的和。六名同学交上来的答
案分别为：92、125、133、147、158、191。老师看完6名同学的答案后说，只有一名同学的答
案错了。问：四种颜色卡片上所写各数中最小数是多少？解题过程：设四张卡片上的数从小到大分
别为A、B、C、D，则六位同学所计算的分别为A+B、
A+C、A+D、B+C、B+D、C+D这6个和数，且最小的两个依次为A+B、A+C，
最大的两个依次为C+D、B+D。
（A+B）+（C+D）=（A+C）+（B+D）=（A+D）+（B+C）；
而92+191=283=125+158,133+147=280工283;
所以，A+B=92，A+C=125，B+D=158，C+D=191；133、147中有一个不正
确。
若147是正确的，则B+C=147，A+D=283-147=136。
C-B=（A+C）-（A+B）=125-92=33==>C=90，B=57，A=92-57=35，
D=191-90=101
若133是正确的，则A+D=133，B+C=283-133=150。
C-B=（A+C）-（A+B）=125-92=33==>B=50，C=83，A=92-50=42，
D=191-83=108
所以，四种颜色卡片上所写各数中最小数是35或42。
6．有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数
中最小的三位数。（说明理由）
解题过程：设这三个数字从小到大分别为A、B、C,显然，它们互不相等且都不等于0。
贝U222X（A+B+C）=2886==>A+B+C=2886-222=13
百位数为1是最小的，另两个数分别为3和9；所以最小的三位数为139
7．求小于1001且与1001互质的所有自然数的和。
解题过程：1001=7X11X13
1+2+…+1000=（1+1000）X1000十2=5005007+14+21+…+994=(7+
994)X142十2=71071
11+22+…+990=(11+990)X90十2=45045
13+26+…+988=(13+988)X76十2=38038
77+154+231++924=
77+924)X12-2=6006
91+182+273+
…
+910=
(
91+910)X10-2=5005
143+286+429+••+858=(143+858)X6-2=3003
500500－71071－45045－38038+6006+5005+3003=360360
8．三张卡片，在它们上面各写一个数字(如图)。从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列起
来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数。请你将其中的质数都写出来。
解题过程：2、3、13、23、31
9．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都
是前两个数的和，也就是：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……。问：这串数的前100
个数是(包括第100个数)有多少个偶数？
解题过程：100-3=33(个)……1
10．从小到大写出5个质数,使后面的数都比前面的数大12。
解题过程：5,17,29,41,53
11．有15位同学,每位同学都有编号,它们是1号到15号。1号同学写了一个自然数,2号
说：“这个数能被2整除”，3号说“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说,这个
数能被他的编号数整除,1号作了一一验证,只有编号相邻的两位同学说得不对,其余同学都对,问：
(1)说得不对的两位同学,他们的编号是哪两个连续自然数？(2)如
果告诉你,1号写的数是五位数,请求出这个数。(写出解题过程)
解题过程：(1)如果15号说的不对,那么这个数不能被15整除,则它不能被3或者5之一整除,
即3号或者5号说的不对,这与相邻编号两位同学说的不对矛盾！故而这个数能被15
整除,同时也能被3和5整除。同理,如果14号不对,那么它不能被2或者7整除,矛
盾。即这个数能被14整除,也能被2和7整除；同理,如果12号不对,那么它不能被
4整除,矛盾。即这个数能被4和12整除。那么这个数能被2*5=10整除。将2到15
中能被整除这个数的数划去,发现编号相邻的只有8和9,即8号和9号说的不对。
(2)1号写的数为N。N能被2A2*3*5*7*11*13=60060整除，不能被2A3或者3A2
整除；而又已知N是五位数，故N=60060。
12．一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第二次所得的商被8除后余7，最后
得到一个商是a（见短除式（1））。又知这个自然数被17除余4,所得的商被17除余15,紧后得
到一个商是a的2倍（见短除式（2）），求这个自然数。
解题过程：N=8x（8x（8a+7）+1）+1=17x（17X2a+15）+4==>a=3==>N=1993