行列式定义
香菇的功效与作用-交通征文
2023年2月22日发(作者：中层管理人员培训)行列式的定义及其性质证明(总4
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行列式的定义及其性质证明
摘要:本文给出了与原有行列式定义不同的定义，利用此定义和引
理导出定理，进一步导出行列式的性质，给出了行列式性质与以往
教材不同的完整证明，形成了有关行列式的新的知识体系，通过定
理性质的证明过程，重点在培养同学们的逻辑思维能力、推理能力
和创新能力。
关键词:行列式；定义；性质；代数余子式；逆序数
1基本定理与性质的证明
引理设t为行标排列q1q2…qn与列标排列p1p2…pn的逆序
数之和，若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则t的奇偶性
不变。
证明根据对换定理:一个排列中的任意两个元素对换，排列改
变奇偶性。若行标排列与列标排列同时作相应的对换，则行标排列
的逆序数与列标排列的逆序数的奇偶性同时改变，因而它们的逆序
数之和的奇偶性不变。
定理1n阶行列式也可定义为
证明由定义1和引理即可证得。
性质1行列式与它的转置行列式相等(由定理1即可证得)。
(根据性质1知对行成立的性质对列也成立)
性质2行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数
余子式乘积之和。
证明利用定理1和代数余子式的定义即可证得。
性质3如果行列式中有两行(两列)元素对应相等，则此行列
式等于零。
证明(利用递推方法来证)设行列式中第k行和第j行的元素
对应相等，由性质2可知
又Ais=(-1)i+s(s=1，2，…，n)，根据性质2，Mi+s又可以展开成
n-1项的和，每一项都是一实数与n-1阶行列式的乘积，以此类
推，Mi+s总可以展开成一个实数与一个二阶行列式的乘积之和，即
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(mi为实数，Di为含有原行列式中k行和j行的二阶行列式)，这个
二阶行列式的两行就是原n阶行列式中的k行j行对应的元素，由
于这2行对应元素相等，根据二阶行列式的定义可知Di=0，所以
Mi+s=0，因此D=0，证毕。
性质4行列式的某行(列)的每个元素与另一行(或列)的对应
元素的代数余子式乘积之和为零。
证明设D1=有性质2可知
=0
性质5行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一数K，等于
用数K乘以此行列式。
证明设D=的第行的所有元素都乘以数K，
得
行列式A，根据定理1，
A=
证毕。
性质6行列式中如果有两行(列)对应元素成比例，则此行列
式等于零。
证明利用性质5和性质3即可证得。
性质7行列式的某一列(行)的元素都是2数之和，设
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D=，则D等于下列
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个行列式之和:
证明由定理1知:
=D
1
+D
2
，证毕。
性质8把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另
一列(行)对应的元素上去，行列式值不变。
由性质5可知=0，所以D′
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=D，证毕。
性质9互换行列式的两行(列)，行列式变号。
证明由性质8、性质7，根据性质3可证。
2结论
n阶行列式的性质1、2、5、7只运用定理1证明，化繁为简。
以往教材，性质3和性质9必有一个性质用逆序数的有关概念来
证，非常抽象，本文改进了行列式的定义后，性质3运用性质2证
得，性质9运用性质3、7、8证得，化难为易;同时，也提升了我们
学习的逻辑思维能力、推理能力、创新能力。充分体现了非数学专
业的大学数学除了具有为专业课提供使用工具的功能，还应该有训
练科学思维，激发学生创新热情的素质教育的功能。
参考文献:
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