武汉测绘科技大学
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2023年2月19日发(作者：)1
矩阵的三种等价关系及其一些应用
姓名：郭长琦学号2指导教师：刘敏
摘要：高等代数范围内,有关矩阵等价关系的计算是一个具有普遍重要的基本问题，在有限维线性空间中，
矩阵的等价关系运算往往用到线性变换，由于线性变换在高等代数中的重要性，使得矩阵等价关系在高等
代数中占有重要的地位。本文主要简单地讨论了矩阵等价、矩阵合同、矩阵相似的条件及其应用，给出了
这三种矩阵关系间的联系，即合同阵、相似阵必是等价阵;反之，不一定成立；正交相似与正交合同是一致
的，并给出说明．
关键词：等价矩阵相似矩阵合同矩阵
Ｔhreekindsequivalencerelationofthematrixandsome
applications
Abstract:matrper
brieflydiscussesmatrixequivalent,matrixcontract,matrixsimilarconditionsanditsapplication,
givetherelationbetweenthesethreematrixofcontact,namelycontractarray,similararrayis
equivalentarray;Conversely,notnecessarilytobeformed;Orthogonalsimilarityandorthogonal
contractisconsistent,andgiveinstructions.
Keywords:rotationmatrixsimilarmatrixcontractmatrix
矩阵是高等代数中最重要的知识点，贯穿于高等代数中，矩阵等价、矩阵
合同、矩阵相似则是矩阵的三种基本关系，故首先给出其基本定义。
1矩阵等价关系的定义
1.1等价矩阵
[1]定义
设A，B是数域P上的两个矩阵，如果A可以由B经过一系列初等
变换得到则说A与B是等价矩阵。
定理1两个s×n阶矩阵A，B等价的充分必要条件为，存在可逆的s阶
2
矩阵P与可逆的n阶矩阵
Q
使A=PBQ
s×n阶矩阵的等价关系具有以下性质:
1.1.1反身性：A与A等价
1.1.2对称性：A与B等价，则B与等A价
1.1.3传递性：A与B等价，B与
C
等价，则A与
C
等价
1.1.4保秩性：A与B等价，则秩A=秩B
1.2合同矩阵
[2定义设A,B是数域P上的两个n阶矩阵，如果有数域P上可逆的n阶
矩阵
C
使B=C
AC
,则称A与B是合同的。
定理２两个复对称矩阵合同（在复数范围）的充要条件是秩相等；两个实
对称阵合同的充要条件是正惯性指数与负惯性指数分别相等。
n阶矩阵的合同关系具有下列性质：
1.2.1反身性：A与A合同
1.2.2对称性：由A与B合同，则B与A
1.2.3传递性：由A与B合同，B与
C
合同，则A与
C
合同
1.2.4保秩性：A与B合同，则秩A=秩B
1.3相似矩阵
[3]定义设A,B为数域P上的两个n阶矩阵,如果有数域P上可逆的n阶
矩阵X使得P=1XAX，则说A相似于B，记为A～B.
定理３两个矩阵相似的充分必要条件是具有相同的不变因子。
n阶矩阵的相似关系具有以下性质：
1.3.1反身性：A相似于B
1.3.2对称性：若A相似于B，则B相似于A
1.3.3传递性：若A相似于B，B相似于C，则A相似于C
1.3.4保秩性：若A相似于B，则秩A=秩B
由等价矩阵、合同矩阵、相似矩阵的定义，可以知道每种矩阵关系的成立都
需要一定的条件，并且矩阵的这三种关系之间存在着某些联系。
2.1若n阶矩阵A与B相似，则A与B必为等价矩阵；但A与B是等价矩阵，则
3
A与B不一定相似
证：设n阶矩阵A、B是相似的，则存在n阶可逆的矩阵X使得B=1XAX，
由推论1知，若令P=1X，
Q
=X，则可知A,B是等价的，可知相似矩阵必为
等价矩阵。
反之：（1）若n阶等价矩阵A、B满足B=PAQ
，且PQ
=E，则矩阵A、
B是相似的；（2）若n阶等价矩阵A、B满足B=PAQ
，但PQE，则矩阵A、
B不是相似的；（3）若A、B是ns阶矩阵，设A=
3410
2410
0001
，B=
1000
3300
4201
，知秩A=秩B，故A、B是等价矩阵，但是此时A、B并不是相
似的，可知等价的矩阵不一定是相似的矩阵。
2.2若n阶矩阵A、B是合同的，则A与B必是等价矩阵；但A与B是等价矩阵
时，则A与B不一定是合同的矩阵
证：设n阶矩阵A与B是合同的，由合同的定义知存在n阶可逆的矩阵
C
使得
B=C
AC
,由定理的推论知矩阵A与矩阵B等价的充分必要条件是存在可逆的
n阶矩阵P、
Q
使得B=PAQ
,故令P=C
，
Q
=C，可以知道矩阵A,B是等价
的，故合同的矩阵是等价的矩阵。
若矩阵A、B是等价的。（1）当矩阵A、B是n阶的，故存在n阶可逆的矩
阵P、
Q
使得B=PAQ
，且P=Q
,即有B=Q
AQ
，故此时矩阵A、B是合同
的。(2)当矩阵A、B是sn（且sn），故存在s阶可逆的矩阵P和n阶
Q
使
得B=PAQ
例如，如
3412
1222
1131
A
,
2103
4202
2210
B
，秩A=秩B=3，矩阵
A、B是等价的，但此时矩阵A与B并不是合同的，故等价的矩阵并不一定是合
同的。
2.3若n阶矩阵A与B是相似矩阵，则A、B未必是合同的矩阵；反之，若n阶
4
矩阵A、B是合同矩阵，则A、B未必是相似的矩阵
证：如下反例，设
010
001
6116
A
，
100
020
003
B=
存在3阶可逆的矩阵
111
123
149
C
，使得B=1CAC
，可以知道矩阵A、B是相似矩阵，假设在
数域P上存在3阶可逆的矩阵
123
456
789
xxx
Dxxx
xxx
，使ADBD
，经计算有
222
147
222
258
222
369
230
230
230
xxx
xxx
xxx
，即得
1
0x，
2
0x，
3
0x，
4
0x，
5
0x，
6
0x，
7
0x，
8
0x，
9
0x。这与矩阵可逆相矛盾，故不存在满足条件的矩阵D。
设
200
020
006
A
，
011
103
130
B
，存在3阶可逆的矩阵
113
111
001
C
，使得
200
020
006
=
110
110
311
011
103
130
113
111
001
，即
ACBC
，知A、B是合同的矩阵；同理，假设在数域P上存在可逆的3阶矩
阵D=
123
456
789
xxx
xxx
xxx
，使D满足1BDAD，又因为24A，6B，而
B=1DAD，这与条件相矛盾，故不存在满足条件的矩阵D。
对于n阶实对称阵，因为正交阵
Q
满足1QQ
。所以正交相似与正交合同
是一致的，故对于实对称阵A总可以找到正交阵Q和A合同与对角阵B,即
1BQAQQAQ
.
5
3矩阵等价关系的应用
例1：设A=
100
020
001
，B=
110
120
003
，C=
100
020
003
，D=
010
100
002
问B、C、D（要说明理由）
（1）那些与A合同？
（2）那些与A相似？
（3）那些与A等价？
解：（1）①两个复对称矩阵合同（在复数范围）的充要条件也是秩相等，因而从
复合同的意义上说，B、C、D与A合同。
②两个实对称阵合同的充要条件是正惯性指数与负惯性指数分别相等。
因为A的正惯性指数=2，A的负惯性指数=1，且由
|
EB|=（3）（23+1）知B的特征值为
1
=3，
2
=
35
2
，
3
=
35
2
，所以B的正惯性指数=3，B的负惯性指数=0，故B与A不合同。
又因为C的正惯性指数=3，C的负惯性指数=0，故C与A不合同。
由|
ED|=(
2)(21)，知
1
=2，
2
=1，
3
=1，故D的正惯性指
数=2，D的负惯性指数=1，因此D与A合同。
综上知在实数范围内，D与A合同，B、C与A不合同。
（2）两个实对称矩阵相似的充要条件是具有相同的特征值，因此只有D与A
相似，B、C都不与A相似。
（3）在复数域上，由（１）及2.2知B、C、D与A等价；在实数域上，
秩A=秩B＝秩C＝秩D，故B、C、D与A等价。
注②刘昌望等编.《高等
代数》.上海..同济大学出
版社.1995.(2)378379～
6
例2：设有一个二阶矩阵A=
14
32
，试求1000A
解：首先求A的相似对角形，由|
E—A|=
14
32
=（-5）（+2）=0
可得，A的两个相异特征值
1
=5，
2
=2,且它们各自可以求得一个特征向
量
1
X=
1
1
,
2
X=
4
3
．且
1
，
2
互异，所以与之对应的两个特征向量
1
X，
2
X
必线性无关。于是可设B=1
2
0
0
=
50
02
，X=
12
,XX=
14
13
，且有
B=1XAX,其中1X=
1
X
X=
1
7
34
11
故1000A=11000XBX（）=X1000B1X=
14
13
1000
1000
50
0(2)
1
7
34
11
=
1
7
1000
1000
35424542
35324532
例3：设A=
0
0
0
ab
ac
bc
，试求可逆矩阵T使T
A
T
为对角矩阵。
解：设以A为矩阵的二次型是
123
(,)xxx
f
，
=X
AX=2a
1
x
2
x+2b
1
x
3
x+2c
2
x
3
x
当a=b=c=0时，A=0,
T
=E即为所求；
当a,
b
,c不全为零，不妨设a0,令
1
2
3
x
x
x
=
110
110
001
1
2
3
y
y
y
则22
121223
22(22)(22)fayaybcyybcyy
=2a(
1
y+
2
bc
a
3
y2)2a(
2
y
2
bc
a
3
y2)
2bc
a
2
3
y
7
令
1
2
3
y
y
y
=
10
2
01
2
001
bc
a
bc
a
1
2
3
z
z
z
则二次型化为标准为
f
=2a2[1]
1
11zabcBsn定义
2a2
2
z
2bc
a
2
3
z.
可逆矩阵T=
110
110
001
10
2
01
2
001
bc
a
bc
a
=
11
11
001
c
a
c
a
使T
AT=
200
020
2
00
a
a
bc
a
例4：已知实矩阵B=
22
2a
，
C
=
4
30
b
求：1若矩阵方程BX=
C
有解，但
CY=B无解，问a、b应满足的条件；
2若A、B相似，问a、b应满足什么条件；
3若A、B合同，问a、b应满足什么条件。
解：（1）由BX=
C
有解|B|0a2
由
CY=B无解|B|=0b=0
（2）B、
C
相似知2+a=tr(B)=tr(
C
)=4+0，且|2a-4|=|B|=|
C
|=-3b,
故a=2，b=0。此时B、C有相同的相似标准型
40
00
故B、C相似a=2且b=0。
（3)B、C是实对称的，B、C合同它们的正惯性指数、负惯性指数分别
相等。
故由A,B合同以及A为对称矩阵可得B亦为对称矩阵,故b=3。因而B的
正、负惯性指数均为1,故A的正、负惯性指数亦均为1,因而a<2.
8
此时A,B同为实对称矩阵,而且具有相同的正、负惯性指数,因而的确合
同.
故A,B合同“a<2且
b
=3”
参考文献
[1]北京大学数学系几何与代数数研室前代数小组编.王萼芳、石生明修订.《高
等代数》第三版.北京.高等教育出版社.2007.(1)189191～.
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[3]（美）T·W·HUNGERFORD编.冯克勤译、聂灵沼校.《代数学》.长沙湖南教
育出版社.1985.
[4]刘丁酉编.《矩阵分析》.武汉.武汉测绘科技大学出版社.1998.
[5]王萼芳编.《高等代数》.上海.上海科学技术出版社.1981.
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社.2005.
[7]刘昌望、叶世源、叶家琛、陈承东编.《高等代数》.上海..同济大学出版社.1995.
(2)378379～.
[8]姚慕生编著.《高等代数》.上海.复旦大学数学系主编.2003.
[9]樊恽钱吉林、岑嘉评、刘桓、穆翰林主编.《代数学词典》.武昌.华中大学出
版社.1996.
[10]663000廖玉怀.矩阵的等价关系探究.云南文山.云南文山学院数理系.