函数的概念教案

函数的概念教案

禾杆草-快乐餐厅

函数的概念及其表示——函数的概念

【教学目标】

1．知识与技能：理解函数的概念，了解函数的三要素。

2．过程与方法：通过对函数抽象符号的认识与使用，使学生在符号表示方面的能力得以

提高。

3

．情感、态度与价值观：通过函数定义由变量观点向集合观点得过渡，使学生能从发展

与联系的角度看待数学学习。

【教学重难点】

教学重点：是理解函数的概念；

教学难点：是对函数抽象符号的认识与使用。

【教学过程】

一、复习与引入。

今天我们研究的内容是函数的概念，函数并不象前面学习的集合一样我们一无所知，而是

比较熟悉，所以我先找同学说说对函数的认识，如函数是什么？学过什么函数？

（要求学生尽量用自己的话描述初中函数的定义，并试举出各类学过的函数例子）

学生举出如

x

yxxyxy

2

,3,12

等，待学生说完定义后教师打出投影片，给出定义之

后教师也举一个例子，问学生。

提问1．

3y

是函数吗？

提问2．xy与

x

x

y

2

是同一个函数吗？

（由学生讨论，发表各自的意见，有的认为它不是函数，理由是没有两个变量，也有的认

为是函数，理由是可以可做

30xy

．）

教师由此指出我们争论的焦点，其实就是函数定义的不完善的地方，这也正是我们今天研

究函数定义的必要性，新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深

化．

二、新课。

现在请同学们打开书，从这开始阅读有关的内容，再回答我的问题．（约2-3分钟或开始

提问）

提问3．观察图中的4个例子，你看出它们有什么共同特点？

学生的回答往往是把书上的答案念一遍，教师可以板书的形式写出，但还要引导形式发现

三个对应的共同点。（板书）函数

（一）函数的概念

2.1．定义：如果A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中

的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称BAf:为从集合A

到集合B的一个函数，记作

)(xfy，Ax。

其中，

x

叫做自变量，

x

的取值范围A叫做函数的定义域；与

x

的值相对应的y的值叫做

函数值，函数值的集合Axxf|)(

叫做函数的值域。

提问4：新的函数定义与函数的传统定义有什么异同点？

引导学生发现，函数是特殊的对应，二者的本质相同。

2.2．本质：函数是特殊的对应。（板书）

然后让学生试回答刚才关于

3y

是不是函数的问题，要求从集合的角度解释。

此时学生可以清楚的看到.,,3:,3,ByAxyxfBRA

满足集合与对应观点下

的函数定义，故是一个函数，这样解释就很自然。

教师继续把问题引向深入，提出在集合与对应的观点下如何解释是个函数？

从集合角度看可以是

.,,32:,,2ByAxxxyxfRBRA

其中定义域是R，值

域是2yyC

．

从刚才的分析可以看出，集合观点下的函数定义更具一般性，更能揭示函数的本质。这也

是我们后面要对函数进行理论研究的一种需要．所以我们着重从集合角度再来认识函数。

2.3．对函数符号

)(xf

的理解（板书）

首先让学生知道

)(xfy

与

)(xf

的含义是一样的，它们都表示y是

x

的函数，其中

x

是自

变量，

)(xf

是函数值，连接的纽带是法则

f

，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整

体，下面我们举例说明。

例：已知函数,23)(xxf试求)(),3(aff（板书）

分析：首先让学生认清)3(f的含义，要求学生能从变量观点和集合观点解释，再进行计算。

含义：当自变量

x

取3时，对应的函数值即)3(f；

计算之后，要求学生了解)(af与)(xf的区别，)(af是常量，而)(xf是变量，)(af只是

)(xf中一个特殊值。

最后指出在刚才的题目中

)(xf

是用一个具体的解析式表示的，而以后研究的函数

)(xf

不

一定能用一个解析式表示，此时我们需要用其他的方法表示，具体的方法下节课再进一步研究

2.4．函数的三要素及其作用（板书）

函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域。值域和对应法则．当我们认识一个函

数时，应从这三方面去了解认识它。

例：以下关系式表示函数吗？为什么？

（1）

21

2

)(

x

x

xf







；（2）22)(xxxf．

解：（1）由

)(xf

有意义得











01

02

2x

x

，解得x．由于定义域是空集，故它不能表示函

数．

（2）由

)(xf

有意义得











02

02

x

x

，解得2x．定义域为2

，值域为0

．

由以上两题可以看出三要素的作用

（1）判断一个函数关系是否存在．（板书）

例2：下列各函数中，哪一个函数与

12xy

是同一个函数．

（1）

12

142







x

x

y

；（2）

);0(,12xxy

（3）12vu；（4）2)12(xy

．

解：先认清

12xy

，它是RA（定义域）到RB（值域）的映射，其中

ByAxxyf,,12:

．再看（1）定义域为Rx且

2

1

x

，是不同的；（2）定义域为0x，

是不同的；（4）2)12(xy

















2

1

21

2

1

12

12

xx

xx

x

，法则是不同的；而（3）定义域是R，

值域是R，法则是乘2减1，与12xy完全相同．

求解后要求学生明确判断两个函数是否相同应看定义域和对应法则完全一致，这时三要素

的又一作用。

（2）判断两个函数是否相同。（板书）

下面我们研究一下如何表示函数，以前我们学习时虽然会表示函数，但没有相系统研究函

数的表示法，其实表示法有很多，不过首先应从函数记号

)(xf

说起。

3.旧知新解

一次函数，二次函数，反比例函数的定义域，对应关系

4.构建问题情境，解释y=x(10-x)的具体含义

三、板书小结

1．函数的定义

2．对函数三要素的认识

3．对函数符号f的认识

四、作业:课后练习1，3