法平面方程怎么求
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2023年2月22日发(作者：国内vpn代理)§14.4空间曲线的切线与法平面
本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面
的计算问题。
参数方程的情形
设空间曲线l的参数方程为
()
()
()
xxt
yyt
zzt
()atb
其中t的参数。又设,,xyz
都在[,]ab连续，并且对每一[,],(),(),()tabxtytzt
不全为0，
这样的曲线称为光滑曲线。通过曲线上任一点
0000
,,Mxyz的切线定义为割线的极限位
置，由此就可写出曲线l在任一点
0000
(,,)Mxyz的切线方程为：
000
000
()()()
XxYyZz
xtytzt
。
法平面：过点
0
M可以作无穷多条切线与切线垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个
平面为曲线l在点
0
M处的法平面，其方程为：
000000
()()()()()()0xtXxytYyztZz
。
例1：求螺旋线l：cos,sin,xatyatzct，（其中,,abc为常数）在点（
a
，0，
0）的切线方程和法平面方程。
如果曲线方程由下式表示：
yyx，zzx。
则过点
0
M的切线方程为
000
00
1()()
XxYyZz
yxzx
，
过点
0
M的法平面方程为
00000
()()()()()0XxyxYyzxZz
。
空间曲线
l
是用两个曲面的交线表示：
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
。
又设F，G关于,,xyz有连续的偏导数，
(,)
(,)
()
(,)
(,)
DFG
Dzx
yx
DFG
Dyz
；
(,)
(,)
()
(,)
(,)
DFG
Dxy
zx
DFG
Dyz
例2：求两柱面的交线
1
1
22
22
zx
yx
在点
0
111
(,,)
222
M的切线方程和法平面方程。