正切两角和差公式
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2023年2月22日发(作者：应急救援食品)全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[基础达标]
一、选择题
1．计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为()
A.
1
2
B.
3
3
C.
2
2
D.
3
2
解析：－sin133°cos197°－cos47°cos73°
＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°
＝sin(47°－17°)＝sin30°＝
1
2
.
答案：A
2．[优质试题·唐山联考]已知α是第三象限的角，且tanα＝
2，则sin
α＋
π
4
＝()
A．－
10
10
B.
10
10
C．－
310
10
D.
310
10
解析：因为α是第三象限的角，tanα＝2，且
sinα
cosα
＝tanα，
sin2α＋cos2α＝1，
所以cosα＝－
1
1＋tan2α
＝－
5
5
，sinα＝
－
25
5
，则sin
α＋
π
4
＝sinαcos
π
4
＋cosαsin
π
4
＝－
25
5
×
2
2
－
5
5
×
2
2
＝－
310
10
，选择C.
答案：C
3．[优质试题·河北三市联考]若2sin
θ＋
π
3
＝3sin(π－θ)，则
全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）
tanθ等于()
A．－
3
3
B.
3
2
C.
23
3
D．23
解析：由已知得sinθ＋3cosθ＝3sinθ，
即2sinθ＝3cosθ，所以tanθ＝
3
2
.故选B.
答案：B
4．[优质试题·福州市高三期末]若2sinx＋cos
π
2
－x
＝1，则
cos2x＝()
A．－
8
9
B．－
7
9
C.
7
9
D．－
7
25
解析：因为2sinx＋cos
π
2
－x
＝1，所以3sinx＝1，所以sinx
＝
1
3
，所以cos2x＝1－2sin2x＝
7
9
.故选C.
答案：C
5．[优质试题·全国卷Ⅰ]已知角α的顶点为坐标原点，始边
与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos
2α＝
2
3
，则|a－b|＝()
A.
1
5
B.
5
5
C.
25
5
D．1
解析：由cos2α＝
2
3
，得cos2α－sin2α＝
2
3
，∴
cos2α－sin2α
cos2α＋sin2α
＝
2
3
，
即
1－tan2α
1＋tan2α
＝
2
3
，∴tanα＝±
5
5
，即
b－a
2－1
＝±
5
5
，
全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）
∴|a－b|＝
5
5
.
故选B.
答案：B
二、填空题
6．已知cos
x－
π
6
＝－
3
3
，则cosx＋cos
x－
π
3
＝________.
解析：cosx＋cos
x－
π
3
＝cosx＋
1
2
cosx＋
3
2
sinx＝
3
2
cosx＋
3
2
sinx＝3cos
x－
π
6
＝3×
－
3
3
＝－1.
答案：－1
7．[优质试题·全国卷Ⅱ]已知tan
α－
5π
4
＝
1
5
，则tanα＝
________.
解析：tan
α－
5π
4
＝tan
α－
π
4
＝
tanα－1
1＋tanα
＝
1
5
，
解得tanα＝
3
2
.
答案：
3
2
8．[优质试题·洛阳统考]已知sinα＋cosα＝
5
2
，则cos4α＝
________.
解析：由sinα＋cosα＝
5
2
，得sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1
＋sin2α＝
5
4
，所以sin2α＝
1
4
，从而cos4α＝1－2sin22α＝1－2×
1
4
2＝
7
8
.
答案：
7
8
三、简答题
9．[优质试题·广东六校联考]已知函数f(x)＝sin
x＋
π
12
，x∈R.
全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）
(1)求f
－
π
4
的值；
(2)若cosθ＝
4
5
，θ∈
0，
π
2
，求f
2θ－
π
3
的值．
解析：(1)f
－
π
4
＝sin
－
π
4
＋
π
12
＝sin
－
π
6
＝－
1
2
.
(2)f
2θ－
π
3
＝sin
2θ－
π
3
＋
π
12
＝sin
2θ－
π
4
＝
2
2
(sin2θ－cos2θ)．
因为cosθ＝
4
5
，θ∈
0，
π
2
，
所以sinθ＝
3
5
，
所以sin2θ＝2sinθcosθ＝
24
25
，
cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝
7
25
，
所以f
2θ－
π
3
＝
2
2
(sin2θ－cos2θ)
＝
2
2
×
24
25
－
7
25
＝
172
50
.
10．已知α∈
0，
π
2
，tanα＝
1
2
，求tan2α和sin
α－
π
4
的值．
解析：∵tanα＝
1
2
，
∴tan2α＝
2tanα
1－tan2α
＝
2×
1
2
1－
1
4
＝
4
3
.
且
sinα
cosα
＝
1
2
，即cosα＝2sinα.
又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1.
而α∈
0，
π
2
，
全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）
∴sinα＝
5
5
，cosα＝
25
5
.
∴sin
α－
π
4
＝sinαcos
π
4
－cosαsin
π
4
＝
5
5
×
2
2
－
25
5
×
2
2
＝－
10
10
.
[能力挑战]
11．已知sinα＋cosα＝
35
5
，α∈
0，
π
4
，sin
β－
π
4
＝
3
5
，
β∈
π
4
，
π
2
.
(1)求sin2α和tan2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
解析：(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝
9
5
，
即1＋sin2α＝
9
5
，∴sin2α＝
4
5
.
又2α∈
0，
π
2
，∴cos2α＝1－sin22α＝
3
5
，
∴tan2α＝
sin2α
cos2α
＝
4
3
.
(2)∵β∈
π
4
，
π
2
，β－
π
4
∈
0，
π
4
，
sin
β－
π
4
＝
3
5
，
∴cos
β－
π
4
＝
4
5
，
于是sin2
β－
π
4
＝2sin
β－
π
4
cos
β－
π
4
＝
24
25
.
又sin2
β－
π
4
＝－cos2β，
∴cos2β＝－
24
25
，
又2β∈
π
2
，π
，