中点弦

中点弦

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2023年2月22日发(作者：智能家居前景)

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东光一中高二年级数学学科课时练

出题人：许淑霞出题时间：

椭圆的中点弦问题学案

学习目标：会求与椭圆的中点弦有关的问题

掌握一种思想：设而不求，整体代换的思想

体会两种方法：判别式法与点差法

学习重点：能解决与椭圆的中点弦有关的问题

学习过程：

一、方法总结：

1、与椭圆的弦的中点有关的问题，我们称之为椭圆的中点弦问题。

2、解椭圆的中点弦问题的一般方法是：

（1）判别式法：联立直线和椭圆的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、

根与系数的关系、中点坐标公式求解。

（2）点差法：若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(

11

yxA、),(

22

yxB，

将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关

的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

3、设直线的技巧：

（1）直线过定点时引入参数斜率，利用点斜式设方程，注意讨论斜率存在与

不存在两种情况。

（2）直线斜率一定时引入参数截距，利用斜截式设方程。

（3）已知一般直线可设直线的斜截式方程，利用条件寻找k与b的关系。

3、直线与椭圆相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高

考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

（1）求过中点的弦所在直线方程问题；

（2）求弦中点的轨迹方程问题；

（3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

二、题型复习：

（一）、求过中点的弦所在直线方程问题

例1、已知椭圆

1

2

2

2

y

x

，求过点p(

1

2

,

1

2

)且被点p平分的弦所在直线方程

注意：解决过中点的弦的问题时判断点M位置非常重要。

（1）若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；

（2）若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。

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结论：（1）设椭圆

1

2

2

2

2



b

y

a

x

的弦AB的中点为P

),(

00

yx

（

)0

0

y

，则

0

0

2

2

y

x

a

b

k

AB

•

,

2

2

ABop

b

kk

a



（2）设双曲线

1

2

2

2

2



b

y

a

x

的弦AB的中点为P

),(

00

yx

（

)0

0

y

则0

0

2

2

y

x

a

b

k

AB

•

。

（3）设抛物线

pxy22

的弦AB的中点为P

),(

00

yx

（

)0

0

y

则0

y

p

k

AB



。

练习1、过椭圆

1

416

22



yx

内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，

求这条弦所在的直线方程。

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

又设直线与椭圆的交点为A(

11

,yx)，B（

22

,yx），则

21

,xx是方程的两个根，

于是

14

)2(8

2

2

21





k

kk

xx，

又M为AB的中点，所以2

14

)2(4

22

2

21









k

kk

xx

，

解得

2

1

k

，

故所求直线方程为042yx。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(

11

,yx)，B（

22

,yx），M（2，1）为AB的

中点，

所以4

21

xx，2

21

yy，

又A、B两点在椭圆上，则

1642

1

2

1

yx，

1642

2

2

2

yx，

两式相减得0)(4)(2

2

2

1

2

2

2

1

yyxx，

所以

2

1

)(4

21

21

21

21











yy

xx

xx

yy

，即

2

1



AB

k

，

故所求直线方程为042yx。

（二）过定点的弦和平行弦的中点轨迹

例2：已知椭圆1

2

2

2

y

x

，

（1）过点0,2P

引椭圆的割线，求割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程。

（2）求斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程。

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解法一：设过点0,2P的直线方程为

)2(xky

，联立方程















1

2

)2(

2

2

y

x

xky

，消去y，

整理得0144

2

1

2222













kxkxk，设弦的两个端点为

11

,yxA、

22

,yxB，中

点yxM,，

则

2

2

21

21

4

2

k

k

xx

x







，

x

x

k

24

2





，代入

)2(xky

得2

2

1

)2(

24

)2(2222



xxx

x

x

xky

，即12)1(22yx

又过点0,2P的直线与椭圆相交，所以014

2

1

4422

2

2













kkk

解得

2

1

02k

，即

2

1

24

0





x

x

，解得10x。

当k不存在时，不满足题设要求，舍去。

所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是12)1(22yx（

10x

）

解法二：设弦的两个端点为

11

,yxA、

22

,yxB，中点yxM,，则



















1

2

1

2

2

2

2

2

2

1

2

1

y

x

y

x

两式相减得0

2

2

2

2

1

2

2

2

1



yy

xx

，整理得02

21212121

yyyyxxxx，

由题意知

21

xx，所以

AB

k

y

x

yy

xx

xx

yy

















22

21

21

21

21，又

2



x

y

k

AB

，所以

y

x

x

y

22





，

整理得12)1(22yx。又过点0,2P的直线与椭圆相交，与解法一同理可得

10x。

所以割线被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程是12)1(22yx（10x）

注意：⑴当定点在圆锥曲线外的时候一定要验证直线与圆锥曲线相交的条件

0，并求出x（或y）的取值范围；⑵验证斜率不存在的情况是否符合题意。

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练习1、过椭圆1

3664

22



yx

上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ

中点的轨迹方程。

解法一：设弦PQ中点M（yx,），弦端点P（

11

,yx），Q（

22

,yx），

则有











576169

576169

2

2

2

2

2

1

2

1

yx

yx

，两式相减得0)(16)(92

2

2

1

2

2

2

1

yyxx，

又因为xxx2

21

，yyy2

21

，所以0)(216)(29

2121

yyyxxx，

所以

y

x

xx

yy

16

9

21

21





，而

)8(

0







x

y

k

PQ

，故

816

9





x

y

y

x

。

化简可得

01672922yxx

（8x）。

解法二：设弦中点M（yx,），Q（

11

,yx），由

2

8

1





x

x，

2

1

y

y可得82

1

xx，

yy2

1

，

又因为Q在椭圆上，所以1

3664

2

1

2

1

yx

，即1

36

4

64

)4(422



yx

，

所以PQ中点M的轨迹方程为1

916

)4(22



yx

（8x）。

练习2、已知椭圆1

2575

22



xy

的一条弦的斜率为3，它与直线

2

1

x

的交点恰为

这条弦的中点M，求点M的坐标。

解：设弦端点),(

11

yxP、),(

22

yxQ，弦PQ的中点),(

00

yxM，则

2

1

0

x

12

021

xxx，

021

2yyy

又1

2575

2

1

2

1

xy

，1

2575

2

2

2

2

xy

两式相减得0))((75))((25

21212121

xxxxyyyy

即0)(3)(2

21210

xxyyy



021

21

2

3

yxx

yy







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

3

21

21







xx

yy

k

3

2

3

0



y

，即

2

1

0

y

点M的坐标为

)

2

1

,

2

1

(

。

（三）、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例3、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F的椭圆被直线

23:xyl

截得的弦的

中点的横坐标为

2

1

，求椭圆的方程。

解：设椭圆的方程为1

2

2

2

2



b

x

a

y

，则5022ba┅┅①

设弦端点),(

11

yxP、),(

22

yxQ，弦

PQ

的中点),(

00

yxM，则

2

1

0

x

，

2

1

23

00

xy12

021

xxx，12

021

yyy

又1

2

2

1

2

2

1

b

x

a

y

，1

2

2

2

2

2

2

b

x

a

y

两式相减得0))(())((

2121

2

2121

2xxxxayyyyb

即0)()(

21

2

21

2xxayyb



2

2

21

21

b

a

xx

yy







3

2

2



b

a

┅┅②

联立①②解得752a，252b

所求椭圆的方程是1

2575

22



xy

练习3、平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：

x2

a2

＋

y2

b2

＝1(a>b>0)右焦点的直线

x＋y－3＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为

1

2

.

(1)求M的方程；

解：(1)设A(x

1

，y

1

)，B(x

2

，y

2

)，P(x

0

，y

0

)，

则

x2

1

a2

＋

y2

1

b2

＝1，

x2

2

a2

＋

y2

2

b2

＝1，

y

2

－y

1

x

2

－x

1

＝－1，

由此可得

b2（x1

＋x

2

）

a2（y1

＋y

2

）

＝－

y

2

－y

1

x

2

－x

1

＝1.

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∵x

1

＋x

2

＝2x

0

，y

1

＋y

2

＝2y

0

，

y

0

x

0

＝

1

2

，

∴a2＝2b2.①

又由题意知，M的右焦点为(3，0)，∴a2－b2＝3.②

由①②得a2＝6，b2＝3.

∴M的方程为

x2

6

＋

y2

3

＝1.