欧拉r1
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2023年2月19日发(作者：)探究《欧拉不等式》
薛畅
前些日子，我在做画三角形的内切圆和外接圆的时候，就想图个方便，将三角形画成等
边三角形，结果意外发现这个三角形的内切圆和外接圆是同心圆。有意思！再画一个不等大
的等边三角形，作出它的内切圆和外接圆，发现它们仍是同心圆。于是，我建立假设，猜想
三角形的内切圆和外接圆是同心圆这一性质适合于所有的三角形。接着来的任务就是验证猜
想了。我画了一些腰与底边不相等的等腰三角形和各边都不相等的任意三角形，作出它们的
内切圆和外接圆，发现腰与底边不相等的等腰三角形的内切圆和外接圆的圆心都在底边的高
上，但圆心不同，而任意三角形的内切圆和外接圆关于圆心的规律一点没有。
我有些丧气，猜想失败了。可为什么不成立呢？我的心缓缓归于平静，试着用自己所学
的数学知识来解析这一现象：
等边三角形的角平分线和对边的中垂线是共线的，因此它的三个角的角平分线的交点
（内切圆的圆心）和三边的中垂线的交点（外接圆的圆心）是同一个点（即内切圆和外接圆
是同心圆）；
腰与底边不相等的等腰三角形的顶角的平分线和底边的中垂线共线，而底角的平分线和
腰的中垂线不共线，因此它的三个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）和三边的中垂线的
交点（外接圆的圆心）都在底边上的高（也是底边的中垂线）上，但不是同一个点（即内切
圆和外接圆不是同心圆）；
各边都不相等的三角形的角平分线和对边的中垂线是不共线，因此它的内切圆和外接圆
的圆心没有一定规律。
同时，在分析上面现象的过程中，我们很容易发现等边三角形的外接圆的半径等于内切
圆的半径的2倍。而通过尝试画图，便可以发现非等边三角形的外接圆的半径均大于内切圆
的半径的2倍。不过这仅仅是靠眼睛观察而知，我一时还不能证明它的准确性。我带上我的
草稿去问教数学的爸爸，爸爸抿着嘴眯着眼浅笑，有些神秘：“哟——，不可小觑呵！这么
讨巧，一不小心就生出个小欧拉呢。”原来这结论绝非我首创，18世纪人欧拉就提出并证
明了它——著名的欧拉不等式：若三角形的外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则R≥
2r。它可以看作著名的4个欧拉公式中的公式[2]的推论。
欧拉公式[2]：设△ABC外接圆的半径为R，内切圆的半径为r,两圆心之间的距离为d，
则d=[R(R-2r)]½,当且仅当△ABC为正三角形时d=0。
证：设O、I分别为△ABC的外心和内心，延长AI交外接圆于D，则D是弧BC的中点，
设α=1/2∠BAC，β=1/2∠ABC，则∠BCD=∠BAD=α，∠DBC=∠DAC=α
∵∠BID=α+β=∠DBI
∴△BDI是等腰三角形
∴ID=BD
由相交弦定理，得R²-d²=DI·IA=DB·IA=2Rsinα·r/sinα=2Rr
故d=[R(R-2r)]½，且R≥2r，当且仅当△ABC是正三角形时，d=0，此时，R=2r.
从欧拉公式[2]的证明过程可知：由于d²=R(R-2r)≥0，所以R≥2r，当且仅当三角形
是等边三角形时，d=0，此时有R=2r。
虽然，从上面的计算过程已经可以说明：R≥2r。但我总觉得“R≥2r”说理过程有些不
知所云。所以，我想应用更严密的逻辑思维来证明“R≥2r”。于是，我设计了如下方案：
方案1：直接利用平面几何知识证明。
方案2：建立直角坐标系，利用平面解析几何知识，通过计算直线的交点的坐标，算出
R和r的表达式而证之。
然而随着问题的深入，按照方案1的思路总让人不知从何下手，难以找出解决问题的方
法。而方案2中又存在新的麻烦：R、r的表达式过于繁琐，且难以比较大小，无法证明R
≥2r。万般无奈之下，我上网查阅他人证明欧拉不等式的方法。但老师们采用的都是高中学
习的三角函数知识，我看得是丈二和尚摸不着头脑，一头雾水。
我在一条唤做迷茫的荆棘路上久久徘徊。直至有一天，班长在课堂上提出：能运用特殊
方法来解老师布置的一道几何题。我脑子里灵光一现：如果用常规的数学思想方法解决问题
时遇到了困难，那么我能不能考虑一下它的特殊情况？或许就能找出解决问题的办法。
于是我另起炉灶，把问题分成两步：（1）当三角形△ABC是等腰三角形时；(2)当△ABC
不是等腰三角形时。
经过一番思考，我终于证明了欧拉不等式，证明如下：
证明：（1）当△ABC是等腰三角形时，设△ABC的内切圆的半
径为r，外接圆的半径为R，高AH为h则
∵Rt△AEF∽Rt△ADC∽Rt△AHC
∴
R
hR
Rh
hRh
rh
r
2
2
2
)2(
∴r=hRhRRhRRhR2)2(2)22(2
∵sinB=sinD=
R
h
R
Rh
AD
AC
2
)2(
2
2
∴h=2Rsin2B
∴r=
RBR
BRBRBRRBRRR
2
1
)
2
1
(cos2
cos2cos2sin22)sin22(2
2
222
∴当cosB=
2
1
，即△ABC是等边三角形时，r取得最大值
2
1
R，命题成立。
(2)当△ABC不是等腰三角形时，在圆内作与△ABC同底等高的三
角形△A1BC，在圆上作与△ABC同底得等腰△A11BC，（如图）
设：等腰△A11BC与等腰△ABC的外接圆的半径为R（它们共外接
圆），内切圆的半径分别为r11、r，△ABC的面积为S，周长为L，
△A1BC的外接圆的半径为R1，内切圆的半径分别为r1，面积为
S1，周长为L1。
∵△ABC与△A1BC等高同底∴S=S1
∵A1B+A1C＜AB+AC（用数形结合方法可以看出来，或平面几何知识证明：延长CA1至P，使
A1P=A1C，连结AP，易证△A1APP≌△A1AB，得到AB=AP，所以A1B+A1C=CA1+A1P=PC＜
AC+AP=AB+AC）
∴L1＜L
∵2S=Lr，2S1=L1r1∴r＜r1
∵2r1＜R1（第一步已证）∴2r＜R1
∵△A1BC在圆内∴R1＜R
∴2r＜R
据（1）、（2）证明可知：2r≤R当仅当△ABC是等边三角形时取等号。（命题得证）
问题的解决让我沐浴在成功的喜悦之中，然而，在一切趋于平静之后，我又开始思考自
己在解决问题的过程中的所感所悟。
①有时，常用的一般的数学方法和技能不是打开数学问题的万能钥匙。从特殊的视觉入
手，往往会起到意想不到的效果，解决问题事半功倍，这就是数学的奇妙所在。
②从问题的特殊情况开始考虑，然后推广到一般情况，再将一般情况在转化到特殊情况
进行考虑。
③整合知识点和数学思想方法，能为今后分析问题和解决问题提供帮助。
④在解决问题过程中，我体验了发现、探索、创造的乐趣，尝试了丰收的喜悦，增强了
学好数学的信心，为自己以后的学习和工作打下良好的基础。这正是我们学习数学的真正的
目的。
指导老师：洪慧林