指数函数图像及性质

指数函数图像及性质

奇奕画王-溜溜山歌

指数函数的图象及其性质

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第二

章第一节第二课（2.1.2）《指数函数及其性质》。根据我所任教的学生的实际情

况，我将《指数函数及其性质》划分为两节课（探究图象及其性质，指数函数及

其性质的应用），这是第一节课“探究图象及其性质”。指数函数是重要的基本

初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同

时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。

二、学生学习况情分析

指数函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上

进行研究的，是学生对函数概念及性质的第一次应用。教材在之前的学习中给出

了两个实际例子（GDP的增长问题和炭14的衰减问题），已经让学生感受到指数

函数的实际背景，但这两个例子背景对于学生来说有些陌生。本节课先设计一个

看似简单的问题，通过超出想象的结果来激发学生学习新知的兴趣和欲望。

三、教学目标

知识与技能:了解指数函数的模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，

理解指数函数的单调性与特殊点。

过程与方法：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索指数函

数的单调性与特殊点。

情感、态度与价值观：通过画指数函数的图像，体会指数函数的图像的重要

性，同时体现图形的对称美，激发学习兴趣，努力探索问题。

四、教学重点与难点

教学重点：指数函数的概念、图象和性质。

教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。

五、教学过程：

（一）创设游戏情境，设疑激趣(约3分钟)

学生分成小组，动手折纸,观察对折次数与所得纸的层数的关系。得出折

一次为2层纸，折两次为22层纸,折三次为23层纸...那么，如何用x来

表示y呢？

老师引导学生共同探究

X=0,y=20=1

X=1,y=21=2

X=2,y=22=4

X=3,y=23=8

……

这样我们就归纳出y与x的关系式：y=2x

（二）师生互动、探究新知

1．指数函数的定义

师：其实，在本章开头的问题2中，也有一个与xy2类似的关系式xy073.1

（20,xNx）

⑴让学生思考讨论以下问题（问题逐个给出）：（约3分钟）

①xy2（xN）和xy073.1（20,xNx）这两个解析式有什么共

同特征？

②它们能否构成函数？

③是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰

当的名字？

【设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型。学生对

比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，发现xy2，xy073.1是一个

新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。】

引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。

师：如果可以用字母a代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成xay

的形式。自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。

⑵让学生讨论并给出指数函数的定义。（约6分钟）

对于底数的分类，可将问题分解为：

①若

0a

会有什么问题？（如2a，

2

1

x则在实数范围内相应的函数值

不存在）

②若会有什么问题？（对于

0x

，xa都无意义）

③若又会怎么样？（无论取何值,它总是1,对它没有研究的必

要.）

师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定且.

在这里要注意生生之间、师生之间的对话。

【学情预设：①若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，

为什么要求10aa，且；

1a

为什么不行？

②若学生只给出xay，教师可以引导学生通过类比一次函数

（0,kbkxy）、反比例函数（

0,k

x

k

y

）、二次函数

（0,2acbxaxy）中的限制条件，思考指数函数中底数的限制条件。】

【设计意图：①对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个

函数应注意它的实际意义和研究价值；

②讨论出10aa，且，也为下面研究性质时对底数的分类做准备。】

接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出一两个指数函

数？教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如xy32，xy23，xy2。

【学情预设：学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其它的。】

【设计意图：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。】

2．指数函数性质

⑴提出两个问题（约3分钟）

①目前研究函数一般可以包括哪些方面；

【设计意图：让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素（对

应法则、定义域、值域、）和函数的基本性质（单调性、奇偶性）。】

②研究函数（比如今天的指数函数）可以怎么研究？用什么方法、从什么角

度研究？

可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手

（即底数取一些数值）；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函

数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能

事半功倍！还可以借助一些数学思想方法来思考。

【设计意图：①让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学

生可以从图象和解析式(包括列表)不同的角度对函数进行研究；

②对学生进行数学思想方法（从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨

论）的有机渗透。】

⑵分组活动，合作学习（约8分钟）

师：好，下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。

【设计意图：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加

深对所得到结论的理解。】

⑶交流、总结（约10～12分钟）

师：下面我们开一个成果展示会!

教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些有代表性的小组上

台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果。

教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求

学生分析。这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是

否还有其它性质？

师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一

些有价值的副产品呢？（如过定点（0，1），xay与x

a

y)

1

(

的图象关于y轴对

称）

【学情预设：①首先选一从解析式的角度研究的小组上台汇报；

②对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报；

③问其它小组有没不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导

学生思考哪个量决定着指数函数的单调性，以什么为分界，教师可以马上通过

电脑操作看函数图象的变化。】

【设计意图：①函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这

个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以也应该从多个角度入手，从图象

角度研究只是能直观的看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析

式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的。

②让学生上台汇报研究成果，让学生有种成就感，同时还可训练其对数学

问题的分析和表达能力，培养其数学素养；

③对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解

决分类问题使该难点的突破显得自然。】

师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性、以及过定点（0，1），

但定义域、值域却不可确定；从解析式（结合列表）可以很容易得出函数的定义

域、值域，但对底数的分类却很难想到。

教师通过几何画板中改变参数a的值，追踪xay的图象，在变化过程中，

让全体学生进一步观察指数函数的变化规律。

师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。

图

象

定义域R

值域

性

质

过定点（0，1）

非奇非偶

在R上是减函数在R上是增函数

（三）巩固训练、提升总结（约8分钟）

0

a>1

1．例：已知指数函数)1,0()(aaaxfx且的图象经过点

),3(，求

)3(),1(),0(fff

的值。

解：因为xaxf)(的图象经过点

),3(，所以)3(f

即3a，解得3

1

a，于是3)3(

x

f。

所以





1

)3(,)1(,1)0(3fff

。

【设计意图：通过本题加深学生对指数函数的理解。】

师：根据本题，你能说出确定一个指数函数需要什么条件吗？

师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，

即布列一个方程就可以了。

【设计意图：让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗

透方程的思想。】

2．练习：⑴在同一平面直角坐标系中画出xy3和xy)

3

1

(

的大致图象，

并说出这两个函数的性质；

⑵求下列函数的定义域：①22xy，②xy

1

)

2

1

(。

3．师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识？你有什么收获？

【学情预设：学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导

学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数。】

【设计意图：①让学生再一次复习对函数的研究方法（可以从也应该

从多个角度进行），让学生体会本课的研究方法,以便能将其迁移到其他函

数的研究中去。

②总结本节课中所用到的数学思想方法。

③强调各种研究数学的方法之间有区别又有联系，相互作用，才能融

会贯通。】

4．作业：课本59页习题2．1A组第5题。

六、教学反思

1．本节课改变了以往常见的函数研究方法，让学生从不同的角度去研究函

数，对函数进行一个全方位的研究，不仅仅是通过对比总结得到指数函数的性质，

更重要的是让学生体会到对函数的研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究

中去，教师可以真正做到“授之以渔”而非“授之以鱼”。

2．教学中借助信息技术可以弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面

的不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率，本课使用

几何画板可以动态地演示出指数函数的底数的动态过程，让学生直观观察底数对

指数函数单调性的影响。

3．在教学过程中不断向学生渗透数学思想方法，让学生在活动中感受数学

思想方法之美、体会数学思想方法之重要，部分学生还能自觉得运用这些数学思

想方法去分析、思考问题。