第二类换元积分法

第二类换元积分法

建中靖国元年-青铜葵花好词

2023年2月22日发(作者：河北银行网上银行)

第一类换元积分法

部分常用的凑微分公式：

（1）

1

()dxdaxb

a

（2）1

1

()

1

nnxdxdx

n





（3）

1

()

2

dxdx

x

（4）

2

11

()dxd

xx



（5）

1

(ln)dxdx

x

（6）()xxedxde

（7）cos(sin)xdxdx（8）sin(cos)xdxdx

常用的凑微分公式

第

一

换

元

积

分

积分类型换元公式

1.

1

()()()faxbdxfaxbdaxb

a

uaxb

2.222

1

()()()

2

fxaxdxfxadxa2uxa

3.1

1

()()nnnnfxxdxfxdx

n

nux

法

4.

111

()()nnn

n

fxdxfxdx

xnx

nux

5.

1

()2()fxdxfxdx

x

ux

6.

2

1111

()()()fdxfd

xxxx



1

u

x



7.

1

(ln)(ln)(ln)fxdxfxdx

x

lnux

8.()()xxxxfeedxfedexue

9.(sin)cos(sin)sinfxxdxfxdxsinux

(cos)sin(cos)cosfxxdxfxdxcosux

2

1

(tan)(tan)tan

cos

fxdxfxdx

x

tanux

mxnxdx

利用积化和差

公式进行变换

sinsinmxnxdx

coscosmxnxdx

x用公式

221sincosxx

221cossinxx

变换

cosmxdx（m为奇数）

x化为倍角的三角

函数降幂后再积

分

cosmxdx（m为偶数）

13.2(tan)sec(tan)tanfxxdxfxdxtanux

14.

2

1

(arctan)(arctan)(arctan)

1

fxdxfxdx

x







arctanux

2

1

(arcsin)(arcsin)(arcsin)

1

fxdxfxdx

x





arcsinux

第二类换元积分法

1.当被积函数中含有

1)22ax，可令sinxat或cosxat；

2)22ax，可令tanxat；

3)22xa，可令

secxat

.

通过三角代换化掉根式。但是，去掉被积函数根号并不一定要采

用三角代换，例如被积函数含有22ax或22xa时，还可利用公

式22chsh1tt，采用双曲代换shxat或chxat消去根式，所得结

果一致。所以应根据被积函数的具体情况尽量选取简单的方法对

根式进行有理化代换。

2.当有理分式函数中分母的阶数较高时，可采用倒代换

1

x

t

.

3.类型()nfaxbdx：可令ntaxb；类型()n

axb

fdx

cxd





：可令

n

axb

t

cxd







.（第四节内容）

4.类型()xfadx：可令xta.

第

二

换

元

积

分

法

积分类型换元公式

1.()nfaxbdx()naxbtn为正整数

2.

22

22

()

()

faxdx

faxdx









sin

cos

xat

xat





或

3.

22

22

()

()

faxdx

faxdx









tan

cot

xat

xat





或

4.

22

22

()

()

fxadx

fxadx









sec

csc

xat

xat





或

适合用分部积分法求解的被积函数

sinnxmxcosnxmxsinnxemx

cosnxemxnmxxe

(ln)nxx

arcsinnxmxarccosnxmxarctannxmx