佛山实验学校

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2023年2月18日发(作者：)

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1．一元二次方程

x2+x+1

＝

0

的根的情况是（）．

A

．有两个不相等的实数根

B

．有两个相等的实数根

C

．没有实数根

D

．以上说法都不对

2．小明随机地在如图正方形及其内部区域投针，则针扎到阴影区域的概率是（）

A

．

8



B

．

6



C

．

5



D

．

4



3．下列事件中为必然事件的是（）

A

．抛一枚硬币，正面向上

B

．打开电视，正在播放广告

C

．购买一张彩票，中奖

D

．从三个黑球中摸出一个是黑球

4．下列算式正确的是（）

A

．

110B

．33

C

．231D

．

|3|3

5．如图，

O

的直径AB的长为10，弦AC长为6，ACB的平分线交

O

于D，则CD长为（

）

A

．

7B

．

72C

．

82D

．

9

6．在平面直角坐标系中

,

将点2,3

向下平移1个单位长度

,

所得到的点的坐标是（）

A

．1,3

B

．2,2

C

．2,4

D

．3,3

7．如果

x=4

是一元二次方程

x²

－

3x=a²

的一个根，则常数

a

的值是（）

A

．

2B

．﹣

2C

．

±2D

．

±4

8．下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A

．

B

．

C

．

D

．

9．如图，将图形用放大镜放大，这种图形的变化属于（）

A

．平移

B

．相似

C

．旋转

D

．对称

10．已知

O

与ABC各边相切于点

,,DEF

，

5,3,2ADcmCEcmBFcm

，则

O

的半径（）

A

．1cmB

．2cmC

．3cmD

．2cm

11．以2,6P

为顶点的二次函数是（）

A

．25(2)6yxB

．25(2)6yx

C

．25(2)6yxD

．25(2)6yx

12．反比例函数

k

y

x



与二次函数2ykxk

(0)k

在同一直角坐标系的图像可能是（）

A

．

B

．

C

．

D

．

二、填空题（每题4分，共24分）

13．如图，在矩形ABCD中，

2,3ABBC

，点EFGH、、、分别在矩形ABCD的各边上，

////,////EFHGACEHFGBD

，则四边形EFGH的周长是

______________

．

14．若抛物线

y

＝

x2﹣

4x+m

与直线

y

＝

kx

﹣

13

（

k≠0

）交于点（

2

，﹣

9

），则关于

x

的方程

x2﹣

4x+m

＝

k

（

x

﹣

1

）﹣

11

的解为

_____

．

15．

2019

年元旦前，无为米蒂广场开业期间，某品牌服装店举行购物酬宾抽奖活动，抽奖箱内共有

15

张奖券，

4

张面

值

100

元，

5

张面值

200

元，

6

张面值

300

元，小明从中任抽

2

张，则中奖总值至少

300

元的概率为

_____

．

16．如图，在平行四边形纸片上做随机扎针实验，则针头扎在阴影区域的概率为

__________.

17．一个不透明的盒子中有

4

个白球，

3

个黑球，

2

个红球，各球的大小与质地都相同，现随机从盒子中摸出一个球，

摸到白球的概率是

_____

．

18．如图，根据图示，求得

x

和

y

的值分别为

____________.

三、解答题（共78分）

19．（8分）（定义）在平面直角坐标系中，对于函数图象的横宽、纵高给出如下定义：当自变量

x

在axb范围内

时，函数值

y

满足

cyd

．那么我们称

b-a

为这段函数图象的横宽，称

d-c

为这段函数图象的纵高．纵高与横宽的

比值记为

k

即：

dc

k

ba







．

（示例）如图

1

，当1x2时；函数值

y

满足

1y4

，那么该段函数图象的横宽为

2-

（

-1

）

=1

，纵高为

4-1=1

．则

3

k1

3



．

（应用）（

1

）当1x3时，函数

y2x4

的图象横宽为，纵高为；

（

2

）已知反比例函数

n

yn0

x



，当点

M(1

，

4)

和点

N

在该函数图象上，且

MN

段函数图象的纵高为

2

时，求

k

的值．

（

1

）已知二次函数2ymx4mx的图象与

x

轴交于

A

点，

B

点．

①若

m=1

，是否存在这样的抛物线段，当axb(ab)

时，函数值满足

2ay3b

若存在，请求出这段函数图象

的

k

值；若不存在，请说明理由．

②如图

2

，若点

P

在直线

y=x

上运动，以点

P

为圆心，32为半径作圆，当

AB

段函数图象的

k=1

时，抛物线顶点恰

好落在

P

上，请直接写出此时点

P

的坐标．

20．（8分）如图，反比例函数

y

1＝

k

x

与一次函数

y

2＝

ax

+

b

的图象交于点

A

（﹣

2

，

5

）和点

B

（

n

，

l

）．

（

1

）求反比例函数和一次函数的表达式；

（

2

）请结合图象直接写出当

y

1≥

y

2时自变量

x

的取值范围；

（

3

）点

P

是

y

轴上的一个动点，若

S

△APB

＝

8

，求点

P

的坐标．

21．（8分）某企业生产并销售某种产品，整理出该商品在第

x

(090x)

天的售价

y

与

x

函数关系如图所示，已知

该商品的进价为每件

30

元，第

x

天的销售量为2002x

件．

（

1

）试求出售价

y

与

x

之间的函数关系是；

（

2

）请求出该商品在销售过程中的最大利润；

（

3

）在该商品销售过程中，试求出利润不低于

3600

元的

x

的取值范围．

22．（10分）如图，在△

ABC

中，边

BC

与⊙

A

相切于点

D

，∠

BAD

＝∠

CAD

．求证：

AB

＝

AC

．

23．（10分）如图，ABC是一个锐角三角形，分别以AB、AC向外作等边三角形ABD、ACE，连接BE、CD

交于点F，连接AF.

（

1

）求证：BFDDFAAFE

（

2

）求证：AFBFCFCD

24．（10分）九年级

1

班将竞选出正、副班长各

1

名，现有甲、乙两位男生和丙、丁两位女生参加竞选．

（

1

）男生当选班长的概率是；

（

2

）请用列表或画树状图的方法求出两位女生同时当选正、副班长的概率．

25．（12分）已知：在△

EFG

中，∠

EFG

＝

90°

，

EF

＝

FG

，且点

E

，

F

分别在矩形

ABCD

的边

AB

，

AD

上．

（

1

）如图

1

，当点

G

在

CD

上时，求证：△

AEF

≌△

DFG

；

（

2

）如图

2

，若

F

是

AD

的中点，

FG

与

CD

相交于点

N

，连接

EN

，求证：

EN

＝

AE

+

DN

；

（

3

）如图

3

，若

AE

＝

AD

，

EG

，

FG

分别交

CD

于点

M

，

N

，求证：

MG2＝

MN

•

MD．

26．问题提出：

如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．

a

．每次只能移动

1

个金属片；

b

．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．

把

n

个金属片从

1

号针移到

3

号针，最少移动多少次？

问题探究：为了探究规律，我们采用一般问题特殊化的方法，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结

论．

探究一：当1n时，只需把金属片从

1

号针移到

3

号针，用符号1,3

表示，共移动了

1

次．

探究二：当2n时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用

2

号针作为

“

中间针

”

，移动的顺序

是：

a

．把第

1

个金属片从

1

号针移到

2

号针；

b

．把第

2

个金属片从

1

号针移到

3

号针；

c

．把第

1

个金属片从

2

号针移到

3

号针．

用符号表示为：1,2

，1,3

，2,3

．共移动了

3

次．

探究三：当3n时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为2n的情形，移动的顺序是：

a

．把上面两个金属片从

1

号针移到

2

号针；

b

．把第

3

个金属片从

1

号针移到

3

号针；

c

．把上面两个金属片从

2

号针移到

3

号针．

其中（

1

）和（

3

）都需要借助中间针，用符号表示为：

1,3

，1,2

，3,2

，1,3

，2,1

，2,3

，1,3

．共移动了

7

次．

（

1

）探究四：请仿照前面步骤进行解答：当4n时，把上面

3

个金属片作为一个整体，移动的顺序是：

___________________________________________________．

（

2

）探究五：根据上面的规律你可以发现当5n时，需要移动

________

次．

（

3

）探究六：把

n

个金属片从

1

号针移到

3

号针，最少移动

________

次．

（

4

）探究七：如果我们把

n

个金属片从

1

号针移到

3

号针，最少移动的次数记为

n

a，当2n时如果我们把1n个

金属片从

1

号针移到

3

号针，最少移动的次数记为

1n

a



，那么

n

a与

1n

a



的关系是

n

a

__________

．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、

C

【分析】先计算出根的判别式的值，根据的值就可以判断根的情况．

【详解】＝

b2-

4ac

＝1-

4×1×1

＝-

3

∵-

3

＜

0

∴原方程没有实数根

故选：

C

．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．

2、

D

【分析】根据几何概型的意义，求出圆的面积，再求出正方形的面积，算出其比值即可．

【详解】解：设正方形的边长为

2a

，则圆的半径为

a

，

则圆的面积为：2a，

正方形的面积为：22(2)4aa

，

∴针扎到阴影区域的概率是

2

244

a

a



，

故选：

D

．

【点睛】

本题考查几何概型的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（

A

）；然后计算

阴影区域的面积和总面积的比，这个比即事件（

A

）发生的概率．

3、

D

【分析】根据必然事件指在一定条件下一定发生的事件逐项进行判断即可.

【详解】

A

，

B

，

C

选项中，都是可能发生也可能不发生，是随机事件，不符合题意；

D

是必然事件，符合题意

.

故选：

D.

【点睛】

本题考查必然事件的定义，熟练掌握定义是关键

.

4、

B

【解析】根据有理数的减法、绝对值的意义、相反数的意义解答即可

.

【详解】

A.112，故不正确；

B.33

，正确；

C.231，故不正确；

D.

|3|3

，故不正确；

故选

B.

【点睛】

本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的减法法则、绝对值的意义、相反数的意义是解答本题的关键

.

5、

B

【解析】作

DF

⊥

CA

，交

CA

的延长线于点

F

，作

DG

⊥

CB

于点

G

，连接

DA，DB

．由

CD

平分∠

ACB

，根据角平分

线的性质得出

DF=DG

，由

HL

证明△

AFD

≌△

BGD，

△

CDF

≌△

CDG

，得出

CF=7

，又△

CDF

是等腰直角三角形，从

而求出

CD=72.

【详解】作

DF

⊥

CA

，垂足

F

在

CA

的延长线上，作

DG

⊥

CB

于点

G

，连接

DA，DB，

∵

CD

平分∠

ACB，

∴∠

ACD=

∠

BCD

∴

DF=DG，ADBD，

∴

DA=DB，

∵∠

AFD=

∠

BGD=90°，

∴△

AFD

≌△

BGD，

∴

AF=BG．

易证△

CDF

≌△

CDG，

∴

CF=CG，

∵

AC=6，BC=8，

∴

AF=1，

∴

CF=7，

∵△

CDF

是等腰直角三角形，

∴

CD=72，

故选

B．

【点睛】

本题综合考查了圆周角的性质，圆心角、弧、弦的对等关系，全等三角形的判定，角平分线的性质等，综合性较强，

有一定的难度，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键

.

6、

B

【解析】横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得所得到的点的坐标为（

2

，

3-1

），再解即可．

【详解】解：将点

P2,3

向下平移

1

个单位长度所得到的点坐标为（

2

，

3-1

），即（

2

，

2

），

故选：

B

．

【点睛】

此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．

7、

C

【分析】把

x

＝

4

代入原方程得关于

a

的一元一次方程，从而得解

.

【详解】把

x

＝

4

代入方程223xxa

可得

16-12=2a，

解得

a=±2

，

故选

C

．

考点：一元二次方程的根．

8、

D

【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义逐项判断即可．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转

180°

，如果

旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全

重合，这样的图形叫做轴对称图形．

【详解】解：

A

．不是中心对称图形，是轴对称图形，此选项错误；

B

．是中心对称图形，不是轴对称图形，此选项错误；

C

．不是中心对称图形，是轴对称图形，此选项错误；

D

．既是中心对称图形，又是轴对称图形，此选项正确；

故选：

D

．

【点睛】

本题考查的知识点是识别中心对称图形以及轴对称图形，掌握中心对称图形以及轴对称图形的特征是解此题的关键．

9、

B

【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．

【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．

故选：

B

．

【点睛】

本题考查相似形的识别，联系图形根据相似图形的定义得出是解题的关键．

10、

C

【分析】根据内切圆的性质，得到ODOEOFr，

AE=AD=5

，

BD=BF=2

，

CE=CF=3

，作

BG

⊥

AC

于点

G

，

然后求出

BG

的长度，利用面积相等即可求出内切圆的半径

.

【详解】解：如图，连接

OA

、

OB

、

OC

、

OD

、

OE

、

OF

，作

BG

⊥

AC

于点

G

，

∵

O

是ABC的内切圆，

∴ODOEOFr，

AE=AD=5

，

BD=BF=2

，

CE=CF=3

，

∴

AC=8

，

AB=7

，

BC=5

，

在

Rt

△

BCG

和

Rt

△

ABG

中，设

CG=x

，则

AG=8x，由勾股定理，得：

22222BGBCCGABAG，

∴222257(8)xx，

解得：

5

2

x

，

∴

5

2

CG

，

∴22

553

5()

22

BG，

∵

11

()

22ABC

SACBGABACBCr



•••

，

∴

53

8

2

3

875

r







；

故选：

C.

【点睛】

本题考查了三角形内切圆的性质，利用勾股定理解直角三角形，以及利用面积法求线段的长度，解题的关键是掌握三

角形内切圆的性质，熟练运用三角形面积相等进行解题

.

11、

C

【解析】若二次函数的表达式为2()ymxab，则其顶点坐标为

(a,b).

【详解】解：当顶点为2,6P

时，二次函数表达式可写成：2(2)6ymx，

故选择

C.

【点睛】

理解二次函数解析式中顶点式的含义

.

12、

C

【分析】先根据反比例函数图象确定

k

的值，再分析二次函数图象是否符合，逐一判断即可

【详解】

A

、由反比例函数图象知：

k

＞

0

，因此二次函数图象应开口向上，且与

y

轴交于负半轴，故此选项错误；

B

、由反比例函数图象知：

k

＜

0

，因此二次函数图象应开口向下，故此选项错误；

C

、由反比例函数图象知：

k

＜

0

，因此二次函数图象应开口向下，且与

y

轴交于正半轴，故此选项正确；

D

、由反比例函数图象知：

k

＞

0

，因此二次函数图象应开口向上，故此选项错误；

故选Ｃ．

【点睛】

本题考查反比例函数、二次函数的图象与性质，比较基础．

二、填空题（每题4分，共24分）

13、213

【分析】根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例定理列式表示

EF

、

EH

的长度之和，再根据四边形

EFGH

是平行四边形，即可得解．

【详解】解：∵矩形ABCD中，

2,3ABBC

，

由勾股定理得：22222313ACBDABAC，

∵

EF

∥

AC

，

∴



EFEB

ACAB

，

∵

EH

∥

BD

，

∴



EHAE

BDAB

，

∴

1

EFEHEBAE

ACBDABAB

，

∴13EFEHAC，

∵

EF

∥

HG

，

EH

∥

FG

，

∴四边形

EFGH

是平行四边形，

∴四边形

EFGH

的周长

=2()213EFEH，

故答案为：213．

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例定理、矩形的对角线相等和勾股定理，根据平行线分线段成比例定理得出

1

EFEH

ACBD

是解题的关键，也是本题的难点．

14、

x

1＝

2

，

x

2＝

1

【分析】根据抛物线

y

＝

x2﹣

1x+m

与直线

y

＝

kx

﹣

13

（

k≠0

）交于点（

2

，﹣

9

），可以求得

m

和

k

的值，然后代入题目

中的方程，即可解答本题．

【详解】解：∵抛物线

y

＝

x2﹣

1x+m

与直线

y

＝

kx

﹣

13

（

k≠0

）交于点（

2

，﹣

9

），

∴﹣

9

＝

22﹣

1×2+m

，﹣

9

＝

2k

﹣

13

，

解得，

m

＝﹣

5

，

k

＝

2

，

∴抛物线为

y

＝

x2﹣

1x

﹣

5

，直线

y

＝

2x

﹣

13

，

∴所求方程为

x2﹣

1x

﹣

5

＝

2

（

x

﹣

1

）﹣

11

，

解得，

x

1＝

2

，

x

2＝

1

，

故答案为：

x

1＝

2

，

x

2＝

1

．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数与一次函数的交点问题，交点既满足二次函数也满足一次函数，带入即可求解

.

15、

33

35

．

【分析】有

15

张奖券中抽取

2

张的所有等可能结果数为

1514210

种，其中中奖总值低于

300

元的有4312种知

中奖总值至少

300

元的结果数为

21012198

种，再根据概率公式求解可得．

【详解】解：从

15

张奖券中抽取

2

张的所有等可能结果数为

15×14

＝

210

种，

其中中奖总值低于

300

元的有

4×3

＝

12

种，

则中奖总值至少

300

元的结果数为

210

﹣

12

＝

198

种，

所以中奖总值至少

300

元的概率为

198

210

＝

33

35

，

故答案为：

33

35

．

【点睛】

本题主要考查列表法与树状图法，解题的关键根据题意得出所有等可能的结果数和符合条件的结果数．

16、

1

4

【分析】先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．

【详解】解：∵四边形是平行四边形，

∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，

观察发现：图中阴影部分面积

=

1

4

S四边形

，

∴针头扎在阴影区域内的概率为

1

4

；

故答案为

1

4

．

【点睛】

此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率

=

相应的面积与总面积之比．

17、

4

9

．

【分析】直接利用概率求法，白球数量除以总数进而得出答案．

【详解】∵一个不透明的盒子中有

4

个白球，

3

个黑球，

2

个红球，

∴随机从盒子中摸出一个球，摸到白球的概率是：

4

9

．

故答案为：

4

9

．

【点睛】

此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．

18、

4.5

，

101

【分析】证明ADCBDE∽，然后根据相似三角形的性质可解

.

【详解】解：∵

7.2

3

2.4

AD

BD



，

4.8

3

1.6

CD

DE



，

∴

ADCD

BDDE



，

∵ADCBDE，

∴ADCBDE∽，

∴

3

AC

BE

，ACDBED，

∴

AC=4.5

，

y=101.

故答案是：

x=4.5

，

y=101.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，要熟悉相似三角形的各种判定方法，关键在找角相等以及边的比例关键

.

三、解答题（共78分）

19、（

1

）

2

，

4

；（

2

）

2

3

，

2

；（

1

）①存在，

k=1

；②322322，

或322322，

或11，

【分析】（

1

）当1x3时，函数

y2x4

的函数值

y

满足

2y2

从而可以得出横宽和纵高；

（

2

）由题中

MN

段函数图象的纵高为

2

，进而进行分类讨论

N

的

y

值为

2

以及

6

的情况，再根据题中对

k

值定义的公

式进行计算即可；

（

1

）①先求出函数的解析式及对称轴及最大值，根据函数值满足

2ay3b

确定

b

的取值范围，并判断此时函数的

增减性，确定两个端点的坐标，代入函数解析式求解即可；

②先求出

A

、

B

的坐标及顶点坐标，根据

k=1

求出

m

的值，分两种情况讨论即可．

【详解】（

1

）当1x3时，函数

y2x4

的函数值

y

满足

2y2

，

从而可以得出横宽为

312

，纵高为

224

故答案为：

2

，

4

；

（

2

）将

M

（

1

，

4

）代入，得

n=12

，

纵高为

2

，



令

y=2

，得

x=6

；令

y=6

，

x=2

，



12

N62N26，，，

，

12

42264

k2

63332

k







，

.

（

1

）①存在，

m1，



解析式可化为2yx4x，



当

x=2

时，

y

最大值为

4

，

3b4，解得

4

b2

3



，



当axb时，图像在对称轴左侧，



y

随

x

的增大而增大，



当

x=a

时，

y=2a

；当

x=b

时，

y=1b

，将a2ab3b，，，

分别代入函数解析式，

解得

12

a0a2，

(

舍

)

，

1

b0

(

舍

)

，

2

b1

，

30

k3

10







②1

P322322，

，2

P322322，

，

3

P11，

，理由是：

2ymx4mx



A

（

0

，

0

），

B

（

4

，

0

），顶点

K

（

2

，

4m

），

AB

段函数图像的

k=1

，

4m0

1

40







，



m=1

或

-1

，



二次函数为2yx4x或2yx4x，过顶点

K

和

P

点分别作

x

轴、

y

轴的垂线，交点为

H.

i)

若二次函数为2yx4x，

如图

1

，设

P

的坐标为（

x

，

x

），则

KH=

4x

，

PH=

2x

，

在RtPKH中，222PHKHPK，

即2

224x2x32

解得x322，

12

P322322P322322，，，

ii)

若二次函数为2yx4x，

如图

2

，设

P

的坐标为（

x

，

x

），则KHx4PH2x，，

在RtPKH中，222PHKHPK

2

224x2x32，解得

x=-1

，



3

P11，

【点睛】

本题考查的是新定义问题，是中考热门题型，解题关键在于结合抛物线的图像性质、直角三角形的勾股定理以及题中

对于

k

值的定义进行求解．

20、（

1

）

y

1＝﹣

10

x

，

y

2＝

1

2

x

+6

；（

2

）

x

≤﹣

10

或﹣

2

≤

x

＜

0

；（

3

）点

P

的坐标为（

0

，

4

）或（

0

，

1

）．

【分析】（

1

）先把

A

点坐标代入

y

＝

k

x

中求出

k

得到反比例函数解析式为

y

＝﹣

10

x

，再利用反比例函数解析式确定

B

（﹣

10

，

1

），然后利用待定系数法求一次解析式；

（

2

）根据图象即可求得；

（

3

）设一次函数图象与

y

轴的交点为

Q

，易得

Q

（

0

，

6

），设

P

（

0

，

m

），利用三角形面积公式，利用

S

△

APB＝

S

△

BPQ﹣

S

△

APQ得到

1

2

|

m

﹣

6|×

（

10

﹣

2

）＝

1

，然后解方程求出

m

即可得到点

P

的坐标．

【详解】解：（

1

）把

A

（﹣

2

，

5

）代入反比例函数

y

1＝

k

x

得

k

＝﹣

2×5

＝﹣

10

，

∴反比例函数解析式为

y

1＝﹣

10

x

，

把

B

（

n

，

1

）代入

y

1＝﹣

10

x

得

n

＝﹣

10

，则

B

（﹣

10

，

1

），

把

A

（﹣

2

，

5

）、

B

（﹣

10

，

1

）代入

y

2＝

ax

+

b

得

25

101

ab

ab











，解得

1

2

6

a

b















，

∴一次函数解析式为

y

2＝

1

2

x

+6

；

（

2

）由图象可知，

y

1

≥

y

2时自变量

x

的取值范围是

x

≤

﹣

10

或﹣

2≤

x

＜

0

；

（

3

）设

y

＝

1

2

x

+6

与

y

轴的交点为

Q

，易得

Q

（

0

，

6

），设

P

（

0

，

m

），

∴

S

△

APB＝

S

△

BPQ﹣S

△

APQ＝

1

，

1

2

|

m

﹣

6|×

（

10

﹣

2

）＝

1

，解得

m

1＝

4

，

m

2＝

1

．

∴点

P

的坐标为（

0

，

4

）或（

0

，

1

）．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程

组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．

21、（

1

）





40050

905090

xx

y

x

















；（

2

）

6050

；（

3

）1070x．

【分析】（

1

）当

1

≤

x

≤

50

时，设商品的售价

y

与时间

x

的函数关系式为

y

＝

kx

＋

b

，由点的坐标利用待定系数法即可

求出此时

y

关于

x

的函数关系式，根据图形可得出当

50

≤

x

≤

90

时，

y

＝

90

；

（

2

）根据

W

关于

x

的函数关系式，分段考虑其最值问题．当

1

≤

x

≤

50

时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内

W

的最大值；当

50

≤

x

≤

90

时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内

W

的最大值，两个最大值作比较即可得出

结论；

（

3

）分当050x时与当5090x时利用二次函数与一次函数的性质进行得到

x

的取值范围．

【详解】（

1

）当050x时，

设

ykxb

．

∵图象过(0

，

40)

，

(50

，

90)

，

∴

40

5090

b

kb











解得

1

40

k

b











，

∴

40yx

，

∴





40050

905090

xx

y

x

















，

，

（

2

）当050x时，

40302002wxx2

2218xxx

∵20a，

∴当45x

时，

max

6050w

元；

当5090x时，

9000wxx

∵1200k，

∴当50x时，

max

6000w

元．

∵60506000，

∴当45x

时，

max

6050w

元

（

3

）当050x时，22456050wx

令3600w，解得：

1

80x

，

2

10x

，

∵3600w

∴当1050x时，利润不低于

3600

元；

当5090x时，12012000wx

∵3600w，即12x，

解得70x，

∴此时5070x；

综上，当1070x时，利润不低于

3600

元．

【点睛】

本题考查了一次函数的应用、二次函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：分段找出

y

关于

x

的函数关系式；根据销售利润＝单件利润×销售数量找出

W

关于

x

的函数关系式；再利用二次函数的性质解决最值问

题．

22、见解析．

【分析】根据切线的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．

【详解】解：∵

BC

与⊙

A

相切于点

D

，

∴

AD

⊥

BC

，

∴∠

ADB

＝∠

ADC

＝

90

°，

∵∠

BAD

＝∠

CAD

，

AD

＝

AD

，

∴△

ABD

≌△

ACD

（

ASA

），

∴

AB

＝

AC

．

【点睛】

本题考查的知识点是切线的性质和全等三角形的判定和性质定理，易于理解掌握．

23、（1）见解析；（2）见解析

【分析】（

1

）过

A

作

AM

⊥

CD

于

M

，

AN

⊥

BE

于

N

，设

AB

与

CD

相交于点

G

．根据等边三角形的性质得到

AD

=

AB

，

AC

=

AE

，∠

BAD

=

∠

CAE

=60

°，根据全等三角形的判定定理即可得△

ACD

≌△

AEB

，根据全等三角形的性质可得

AM

=

AN

，根据角平分线的判定定理即可得到∠

DFA

=

∠

AFE

，再根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和等于

180

°得到∠

DFB

=

∠

DAG

=60

°，即可得到结论；

（

2

）如图，延长

FB

至

K

，使

FK

=

DF

，连

DK

，根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．

【详解】（

1

）过

A

作

AM

⊥

CD

于

M

，

AN

⊥

BE

于

N

，设

AB

与

CD

相交于点

G

．

∵△

ABD

和△

ACE

为等边三角形，

∴

AD

=

AB

，

AC

=

AE

，∠

BAD

=

∠

CAE

=60

°，

∴∠

DAC

=

∠

BAE

=60

°

+

∠

BAC

．

在△

ACD

和△

AEB

中，∵

ADAB

DACBAE

ACAB

















，

∴△

ACD

≌△

AEB

，

∴

CD

=

BE

，∠

ADG

=

∠

ABF

，△

ADC

的面积

=

△

ABE

的面积，

∴

1

2

CD

•

AM

=

1

2

BE

•

AN

，

∴

AM

=

AN

，

∴

AF

是∠

DFE

的平分线，

∴∠

DFA

=

∠

AFE

．

∵∠

ADG

=

∠

ABF

，∠

AGD

=

∠

BGF

，

∴∠

DFB

=

∠

DAG

=60

°，

∴∠

GFE

=120

°，

∴∠

BFD

=

∠

DFA

=

∠

AFE

．

（

2

）如图，延长

FB

至

K

，使

FK

=

DF

，连接

DK

．

∵∠

DFB

=60

°，

∴△

DFK

为等边三角形，

∴

DK

=

DF

，∠

KDF

=

∠

K

=60

°，

∴∠

K

=

∠

DFA

=60

°．

∵∠

ADB

=60

°，

∴∠

KDB

=

∠

FDA

．

在△

DBK

和△

DAF

中，

∵∠

K

=

∠

DFA

，

DK

=

DF

，∠

KDB

=

∠

FDA

，

∴△

DBK

≌△

DAF

，

∴

BK

=

AF．

∵

DF

=

DK

=

FK

=

BK

+

BF

，

∴

DF

=

AF

+

BF

，

又∵

CD

=

DF

+

CF

，

∴

CD

=

AF

+

BF

+

CF

．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．

24、（

1

）

1

2

（

2

）

1

6

【详解】解：（

1

）

1

2

；

（

2

）树状图为；

所以，两位女生同时当选正、副班长的概率是

21

126



．（列表方法求解略）

·

（

1

）男生当选班长的概率

=

21

42



（

2

）与课本上摸球一样，画出树状图即可

25、（

1

）见解析；（

2

）见解析；（

3

）见解析

.

【分析】（

1

）先用同角的余角相等，判断出∠

AEF

＝∠

DFG

，即可得出结论；

（

2

）先判断出△

AHF

≌△

DNF

，得出

AH

＝

DN

，

FH

＝

FN

，进而判断出

EH

＝

EN

，即可得出结论；

（

3

）先判断出

AF

＝

PG

，

PF

＝

AE

，进而判断出

PG

＝

PD

，得出∠

MDG

＝

45

°，进而得出∠

FGE

＝∠

GDM

，判断出

△

MGN

∽△

MDG

，即可得出结论．

【详解】（

1

）∵四边形

ABCD

是矩形，

∴∠

A

＝∠

D

＝

90°

，

∴∠

AEF

+∠

AFE

＝

90°

，

∵∠

EFG

＝

90°

，

∴∠

AFE

+∠

DFG

＝

90°

，

∴∠

AEF

＝∠

DFG

，

∵

EF

＝

FG

，

∴△

AEF

≌△

DFG

（

AAS

）；

（

2

）如图

2

，，

延长

NF

，

EA

相交于

H

，

∴∠

AFH

＝∠

DFN

，

由（

1

）知，∠

EAF

＝∠

D

＝

90°

，

∴∠

HAF

＝∠

D

＝

90°

，

∵点

F

是

AD

的中点，

∴

AF

＝

DF

，

∴△

AHF

≌△

DNF

（

ASA

），

∴

AH

＝

DN

，

FH

＝

FN

，

∵∠

EFN

＝

90°

，

∴

EH

＝

EN

，

∵

EH

＝

AE

+

AH

＝

AE

+

DN

，

∴

EN

＝

AE

+

DN

；

（

3

）如图

3

，

过点

G

作

GP

⊥

AD

交

AD

的延长线于

P

，

∴∠

P

＝

90°

，

同（

1

）的方法得，

△

AEF

≌△

PFG

（

AAS

），

∴

AF

＝

PG

，

PF

＝

AE

，

∵

AE

＝

AD

，

∴

PF

＝

AD

，

∴

AF

＝

PD

，

∴

PG

＝

PD

，

∵∠

P

＝

90°

，

∴∠

PDG

＝

45°

，

∴∠

MDG

＝

45°

，

在

Rt△

EFG

中，

EF

＝

FG

，

∴∠

FGE

＝

45°

，

∴∠

FGE

＝∠

GDM

，

∵∠

GMN

＝∠

DMG

，

∴△

MGN

∽△

MDG

，

∴

MGMN

DMMG



，

MG2＝

MN

•

MD

．

【点睛】

考核知识点：相似三角形判定和性质

.

作辅助线，构造全等三角形，利用相似三角形解决问题是关键

.

26、（

1

）当4n时，移动顺序为：（

1,2

），（

1,3

），（

2,3

），（

1,2

），（

3,1

），（

3,2

），（

1,2

），（

1,3

），（

2,3

），（

2,1

），（

3,1

），

（

2,3

），（

1,2

），（

1,3

），（

2,3

）．

（

2

）

31

，（

3

）21n，（

4

）

1

21.

n

a





【分析】根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减

1

的移动次数都移动

到

2

柱，然后把最大的盘子移动到

3

柱，再用同样的次数从

2

柱移动到

3

柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找

出总的规律求解即可．

【详解】解：（

1

）当4n时，把上面

3

个金属片作为一个整体，移动的顺序是：

（

1,2

），（

1,3

），（

2,3

），（

1,2

），（

3,1

），（

3,2

），（

1,2

），（

1,3

），（

2,3

），（

2,1

），（

3,1

），（

2,3

），（

1,2

），（

1,3

），（

2,3

）．

故答案为：（

1,2

），（

1,3

），（

2,3

），（

1,2

），（

3,1

），（

3,2

），（

1,2

），（

1,3

），（

2,3

），（

2,1

），（

3,1

），（

2,3

），（

1,2

），（

1,3

），（

2,3

）．

（

2

）解：设

()fn

是把

n

个盘子从

1

柱移到

3

柱过程中移动盘子之最少次数

n=1

时，

f

（

1

）

=1

；

n=2

时，小盘

→2

柱，大盘

→3

柱，小柱从

2

柱

→3

柱，完成，即2(2)321,f

n=3

时，小盘

→3

柱，中盘

→2

柱，小盘从

3

柱

→2

柱，大盘从

1

柱

→3

柱，小盘从

2

柱

→1

柱，中盘从

2

柱

→3

柱，小

盘从

1

柱

→3

柱，完成．

[

用

(2)f

种方法把中、小两盘移到

2

柱，大盘

3

柱；再用

(2)f

种方法把中、小两盘从

2

柱

3

柱，完成

]

，

3(3)2(2)1321721,ff

4(4)2(3)17211521,ff

5(5)2(4)115213121,ff

故答案为：31.

（

3

）由（

2

）知：

()2(1)121,nfnfn

故答案为：21.n

（

4

）1

1

21,21,nn

nn

aa





11

1

221,21,nn

nn

aa





1

2(1)1,

nn

aa





1

21.

nn

aa





故答案为：

1

21.

n

a





【点睛】

本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数，利用盘子少一个时的移动

次数移动到

2

柱，把最大的盘子移动到

3

柱，然后再用同样的次数从

2

柱移动到

3

柱，从而完成移动过程是解题的关

键，本题对阅读并理解题目信息的能力要求比较高．