伴随矩阵的性质
代理出书-抢工
2023年2月22日发(作者：瘀血体质)伴随矩阵
在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可
逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩
阵也有定义，并且不需要用到除法。
A的伴随矩阵可按如下步骤定义：
1.把D的各个元素都换成它相应的代数余子式；（代数余子式定义：在一个n级行列式A中,把元所在的第i行
和第j列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记为Mij；称（-1）^i+j*Mij为aij的代数余子式）
2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵，
补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除A的行列式D中元素对应的第i行和第j列得到的新行列式
D1代替aij，这样就不用转置了）
即：n阶方阵的伴随矩阵A*为
A11A12……A1n
A21A22……A2n
。。。
。。。
An1An2……Ann
例如：A是一个2x2矩阵，
a11，a12
a21，a22
则由A可得Aij(I,j=1,2)为代数余子式
此图片为相应代数余子式的计算过程。
则A的伴随矩阵A*为
A11A21
A12A22
即
a22,-a12
-a21,a11
（余子式定义：A关于第i行第j列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m-1)×(n-1)矩
阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵）
注意：在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵。
原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如
123
221------->
343
+26-4
-3-65
22-2
其中1对应5；22对应-3；3对应2；等等
基本性质：
(1)AA*=A*A=|A|E;
(2)|A*|=|A|n-1
具体求法折叠编辑本段
①当矩阵是大于等于二阶时：
主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式.
非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y)x,y为该元素的共轭位
置的元素的行和列的序号，序号从1开始的.
主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数，没必要考虑
主对角元素的符号问题。
常用的可以记一下：
ab
——1/(ad-bc)(d-ccd-ba)
②当矩阵的阶数等于一阶时，他的伴随矩阵为一阶单位方阵.
3.二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换，副对角线符号相反