包络定理
应届生自我介绍-疁城实验学校
2023年2月22日发(作者：六年级简便运算100道带答案)复习第2讲，消费者最优化
2.1预算
2.2偏好
2.3效用
2.4选择
消费者最优——买得到的组合中选择最好的一个。
2.1预算：买得到的组合——预算可行集——稀缺性
预算线的斜率——机会成本。
2.2偏好：如何对可能消费的组合排序呢——偏好
无差异曲线，并假设理性、连续、单调、凸性排除了非理性的排序
2.3效用：更简便的排序是用效用函数
效用函数不唯一、但是有相同的边际替代率，边际替代率是无差异曲线的
斜率——边际支付意愿或保留价格
2.4选择：通过排序我们可以找到最佳的消费组合
最优化模型的解满足相切条件，就是对商品1的边际支付意愿等于其机会
成本。
但是并非满足相切条件的解是最优解。偏好是严格凸性的，也就是效用函
数必须是严格拟凹的，此时满足一阶相切条件的解是最优解。
最优选择模型ch5
买得到的组合：稀缺
排序：偏好
无差异
曲线ch3
效用函数
Ch4
边际替
代率
边际效用
预算集
预算线
预算约束
Ch2
相切：选择ch5
预算线斜
率：商品
1机会成
本（边际
成本）
无差异曲线的斜
率：商品1的主
观价值（边际支
付意愿。保留价
格）
第3讲：效用最大化与支出最小化（补充）
3.1效用最大化
3.2支出最小化
3.3效用最大化与支出最小化：对偶关系
3.1效用最大化
MaxU＝U(x
1
,x
2
)
S.t.P
1
x
1
+P
2
x
2
=M
L=U(x
1
,x
2
)–ζ(P
1
x
1
+P
2
x
2
–M)
L’
x1
=ðU/ðx
1
–ζP
1
=0……………（1）
L’
x2
=ðU/ðx
2
–ζP
2
=0……………（2）
L’ζ=M–P
1
x
1
–P
2
x
2
=0……………（3）
x
1
*=x
1
（p
1
，p
2
，M），x
2
*=x
2
（p
1
，p
2
，M）；
这是马歇尔需求函数
例子1：
U(x
1
,x
2
)=x
1
1/2x
2
1/2
x
1
*=(1/2)(m/p
1
)，x
2
*=(1/2)(m/p
2
)
如果价格和收入同比例变化，需求量保持不变。即马歇尔需求函数是零次齐次
函数
x
1
（tp
1
，tp
2
，tM）=t0x
1
（p
1
，p
2
，M）=x
1
（p
1
,p
2
,M）
例子2：
把马歇尔需求函数x
1
*=(1/2)(m/p
1
)，x
2
*=(1/2)(m/p
2
)
代入U(x
1
,x
2
)=x
1
1/2x
2
1/2
得到最大的效用U*=(1/2)p
1
-1/2p
2
-1/2m
V=U*=V(p
1
,p
2
,m)=(1/2)p
1
-1/2p
2
-1/2m
我们把V=V(p
1
,p
2
,m)称为间接效用函数，把U＝U(x
1
,x
2
)称为直接效用函数。间
接效用函数相当于说，只要知道收入和价格，就知道相应的最大效用。那么如
果价格或收入发生变化，很容易得知导致效用的变化。
例子3：
U(x
1
,x
2
)=x
1
1/2x
2
1/2——V=(1/2)p
1
-1/2p
2
-1/2m
m=8，p1=1，p2=4，V=？，x
1
=？
m=8，p1+t=2，p2=4，V=？，x
1
=？税收tx
1
=？
m=8-tx
1
，p1=1，p2=4，V=？x
1
=？
画图比较征收等额的商品税与所得税的影响p69
从量税：价格提高，（p
1
+t）x
1
+p
2
x
2
=m，政府税收tx
1
*
所得税：收入降低，p
1
x
1
+p
2
x
2
=m-tx
1
*，政府税收tx
1
*
对于单个消费者来说，征收相同税额，所得税优于从量税。
但是如果单个消费者不消费征税商品，那么他偏好从量税而不是所得
税。
例子4：
U(x
1
,x
2
)=x
1
1/2x
2
1/2——V=(1/2)p
1
-1/2p
2
-1/2m
-（ðV/ðp
1
）/（ðV/ðm）=?
补充：包络定理——值函数对参数的微分直接等于原函数对参数的微分。
V=U*=U[x1*（p1，p2，M），x2*（p1，p2，M）]
=V(p1,p2,m)……值函数；
MaxL=U(x
1
,x
2
)–ζ(P
1
x
1
+P
2
x
2
–M)……约束条件最大化的原函数；
ðV/ðp
1
=ðL/ðp
1
=-ζx
1
；
ðV/ðp
1
是说，如果价格变化1单位，效用会变化多少？如果在某一价格下，最优
的商品购买量是x
1
，那么如果此时价格下降1单位，相当于每单位商品可以少花1
单位，收入总共多出了x
1
单位；每单位货币的效用为ζ。于是，很直观的是，价
格下降1单位，收入增加x
1
单位，效用增加了-ζx
1
单位。如果价格上涨则相反。
ðV/ðp
1
=ðL/ðp
2
=-ζx
2
ðV/ðm=ðL/ðm=ζ
-（ðV/ðp
1
）/（ðV/ðm）=x
1
*=(1/2)(m/p
1
)，
-（ðV/ðp
2
）/（ðV/ðm）=x
2
*=(1/2)(m/p
2
)
我们把-（ðV/ðp
i
）/（ðV/ðm）=x
i
*（p
1
，p
2
，M）称为罗伊恒等式。利用该等式，
知道间接效用函数，可直接得到马歇尔需求函数。
3.2支出最小化
Mine=P
1
x
1
+P
2
x
2
S.t.U(x
1
,x
2
)＝U
L=P
1
x
1
+P
2
x
2
–θ(U(x
1
,x
2
)-U)
L’
x1
=P
1
–θðU/ðx
1
=0……………（1）
L’
x2
=P
2
–θðU/ðx
2
=0……………（2）
L’θ=U(x
1
,x
2
)-U=0……………（3）
x
1
*=x
1
h（p
1
，p
2
，U），x
2
*=x
2
h（p
1
，p
2
，U）；叫希克斯需求函数，区别于马歇
尔需求函数
满足MU
1
/P
1
=MU
2
/P
2
＝1/θ或MU
1
/MU
2
=P
1
/P
2
画图，区别效用最大化模型与支出最小化模型
把x
1
h（p
1
，p
2
，U），x
2
h（p
1
，p
2
，U）代入最小支出：
e*=P
1
x
1
h（p
1
，p
2
，U）+P
2
x
2
h（p
1
，p
2
，U）
e*=e（p
1
，p
2
，U）被称为支出函数，它告诉在既定价格条件下为了实现某一效
用所需要的最小支出。
例子5：
求U(x
1
,x
2
)=x
1
1/2x
2
1/2的支出函数
根据支出最小化模型得到：
x
1
h=p
1
-1/2p
2
1/2U，x
2
h=p
1
1/2p
2
-1/2U,
e=p
1
p
1
-1/2p
2
1/2U+p
2
p
1
1/2p
2
-1/2U=2p
1
1/2p
2
1/2U
如果U=2,p
1
=1,p
2
=4,e=?
征税U=2,p
1
+t=2,p
2
=4,e=?
必须至少补贴多少钱，消费者才不会反对征税？
画图表示
例子6：
ðe（p
1
，p
2
，U）/ðp
1
=？
ðe（p
1
，p
2
，U）/ðU=？
根据包络定理
ðe（p
1
，p
2
，U）/ðp
1
=ðL/ðp
1
=x
1
*=x
1
h（p
1
，p
2
，U），
ðe（p
1
，p
2
，U）/ðp
2
=ðL/ðp
2
=x
1
*=x
2
h（p
1
，p
2
，U），
这叫谢泼德引理。
ðe（p
1
，p
2
，U）/ðp
1
=x
1
h
ðe/ðp
1
是说，如果价格变化1单位，最小支出会变化多少？很直观的是，如果在
某一价格下，达到某一效用支出最小的商品购买量是x
1
h，那么如果此时价格下
降1单位，相当于每单位商品少花1单位货币，共节省x
1
h单位支出就可以达到原
来的U。如果价格上涨则相反。
ðe（p
1
，p
2
，U）/ðU=ðL/ðU=θ=1/ζ
3.3效用最大化与支出最小化：比较
MaxU＝U(x
1
,x
2
)
S.t.P
1
x
1
+P
2
x
2
=M
Mine=P
1
x
1
+P
2
x
2
S.t.U(x
1
,x
2
)＝U
x
1
=x
1
*（p
1
，p
2
，M）
x
2
=x
2
*（p
1
，p
2
，M）
V=V(p
1
,p
2
,m)
-（ðV/ðp
i
）/（ðV/ðm）
=x
i
*（p
1
，p
2
，M）
x
1
*=x
1
h（p
1
，p
2
，U）
x
2
*=x
2
h（p
1
，p
2
，U）
e=e（p
1
，p
2
，U）
ðe（p
1
，p
2
，U）/ðp
i
=x
i
h（p
1
，p
2
，U），
间接效用与
最小支出互
为反函数
例子：V=V(p
1
,p
2
,m)与e=e（p
1
，p
2
，U）互为反函数
V=V（p
1
,p
2
,m）=(1/2)p
1
-1/2p
2
-1/2m
e=e（p
1
，p
2
，U）=2p
1
1/2p
2
1/2U
画图：
四个恒等式：
e=e（p
1
，p
2
，V（p
1
，p
2
，m））=m
V（p
1
，p
2
，e（p
1
，p
2
，U））=U
x
i
（p
1
，p
2
，M）=x
i
h（p
1
，p
2
，V（p
1
，p
2
，m））
x
i
h（p
1
，p
2
，U）=x
i
（p
1
，p
2
，e（p
1
，p
2
，U））
希克斯需求不可观察，但是马歇尔需求是可以观察的
画图：
马歇尔需求函数，希克斯需求函数，边际替代率