热传导方程
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2023年2月22日发(作者：品牌logo图片)1
§2热传导方程的初值问题
一维热传导方程的初值问题(或Cauchy问题)
xxxu
txtxf
x
u
a
t
u
),()0,(
0,),,(
2
2
2
（）
偏导数的多种记号
xxxt
u
x
u
u
x
u
u
t
u
2
2
,,.
问题也可记为
xxxu
txtxfuau
xxt
),()0,(
0,,),(2
.
Fourier变换
我们将用Fourier变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier变换
的基本知识.Fourier变换在许多学科中是重要使用工具.
可积函数,设)(xff是定义在),(上的函数,且对任意AB，
()fx
在
[,]AB上可积，若积分
dxxf)(收敛,则称)(xf在),(上绝对可积。
将),(上绝对可积函数形成的集合记为),(1L或),(L，
即
dxxffLL)(|),(),(1，称为可积函数空间.
连续函数空间:),(上全体连续函数构成的集合,记为),(C,
上连续在),(|),(ffC，
上连续在),(,|),(1
fffC。
定义若),(Lf,那么积分
),(
ˆ
)(
2
1
fdxexfxi
有意义,称为Fourier变换,
)(
ˆ
f
称为)(xf的Fourier变式(或Fourier变换的象).
dxexffFfxi
)(
2
1
)(
ˆ
)(
定理(Fourier积分定理)若
),(),(1CLf,那么我们有
2
),()(
ˆ
2
1
limxfdefN
N
xi
N
公式称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy主值.
通常将由积分)()(
2
1
xgdegxi
所定义的变换称为Fourier逆变换.
因此亦可写成
ffˆ
即一个属于),(),(1CL的函数作了一次Fourier变换以后,再接着作一次
Fourier逆变换,就回到这个函数本身.
在应用科学中经常把
)(
ˆ
f称为)(xf的频谱.Fourier变换的重要性亦远远超出求解偏
微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应
用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.
定理的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<>)
定理设),(Lf，
dxexffxi
)(
2
1
)(
ˆ
，则
)(
ˆ
f是有界连续函数,且
.0)(
ˆ
lim
f
在运用Fourier变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier变换的性质.
Fourier变换的性质：
1.（线性性质）
若
.2,1,),,(jCLf
jj
则
,
ˆˆ
22112211
ffff
2.（微商性质）
若),,(),()(),(
LCxfxf则.
ˆ
fi
dx
df
证明由假设),,(),()(),(
LCxfxf故0)(lim
xf
x
,
事实上由),()(
Cxf,则
dttffxf
x
0
)()0()(,
因为),()(
Lxf,故有
0
)()0()(limdttffaxf
x
又因),()(Lxf,必有0
a.
3
由0)(lim
xf
x
,利用分部积分公式
dxexf
dx
df
xi
)(
2
1
dxeixfexfxixi))(()(
2
1
).(
ˆ
)(
2
fidxexf
i
xi
附注这个性质说明微商运算经Fourier变换转化为乘积运算,因此利用Fourier变换可
把常系数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原
因,Fourier变换成为解微分方程的重要工具.
3.（乘多项式）
若),()(),(Lxxfxf则有)(
ˆ
)(
f
d
d
ixxf
.
证明由于),()(),(Lxxfxf,故
)(
ˆ
f是的连续可微函数,且有
)()())((
2
1
)(
ˆ
xxfidxeixxff
d
d
xi
附注作为性质2,3的推论,若),,(),()(),(),()(
LCxfxfxfm则
)1(,)(
ˆ
mfi
dx
fd
m
m
m
若),,()(),(),(Lxfxxxfxfm则
)1(,)(
ˆ
)(mf
d
d
ixfx
m
m
mm
4．（平移性质）
若),,()(Lxf则
)1()(
ˆ
)(
mfeaxfai
证明
)(
ˆ
)(
2
1
)(
2
1
)(
)(
fedyeyfyax
dxeaxfaxf
aiayi
xi
5.（伸缩性质）
若),,()(Lxf则
4
)0(,)(
ˆ
1
)(k
k
f
k
kxf
证明无妨设,0k由定义
)(
ˆ
1
1
)(
1
2
1
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
k
f
k
dy
k
eyf
k
dy
k
eyfykx
dxekxfkxf
k
y
i
k
y
i
xi
6.（对称性质）
若),,()(Lxf则
,)(
ˆ
)(ff
证明
dxexffxi
)(
2
1
)(
dxexfxi)()(
2
1
.)(
ˆ
f
7.（卷积定理）
若),,()(),(Lxgxf
dttgtxfxgf)()()(称为f与g的卷积,
则),()(Lxgf,且有).(
ˆ
)(
ˆ
2)(gfgf
证明由积分交换次序定理
dxdttgtxfdxxgf|)()(|)(
dtdxtgtxf)()(
dtdxtxftg)()(
dttgdxxf)()(
故),()(Lxgf,又由积分交换次序定理
.
ˆ
ˆ
2
)(
2
1
)(
2
1
2
)()(
2
1
)()(
2
1
)(
gf
dyeyfdtetg
dxetxfdtetg
dttgtxfdxegf
yiti
txiti
xi
下面作为例子,我们根据Fourier变换的定义与性质求一些具体函数的Fourier变换.
例1设
Ax
Ax
xf
,0
,1
)(
1
,(其中常数0A).
求
)(
ˆ
1
f.
5
解由定义
A
A
xi
A
A
xidxedxexff
2
1
)(
2
1
)(
ˆ
11
A
A
xie
i
1
2
1
Asin2
.
例2设
0,0
0,
)(
2x
xe
xf
x
,
求
)(
ˆ
2
f.
0
22
1
)(
ˆ
dxeefxix
0
)1(
2
1
dxexi
0
)1(
1
1
2
1
xie
i
i
1
1
2
1
.
例3设,)(
3
xexf求)(
ˆ
3
f
dxeefxi
x
2
1
)(
ˆ
3
0
)1(
0
)1(
2
1
dxedxexixi
ii1
1
1
1
2
1
21
2
2
1
.
例4设,)(2
4
xexf求)(
ˆ
4
f
dxeefxix
2
2
1
)(
ˆ
4
dxe
i
exix
1
2
12
dxexe
i
ee
i
xixxxi
2221
2
1
22
xxe
i
)(
ˆ
2
4
f
d
d
，
上面最后一个等式应用了性质3.因为)(
ˆ
4
f作为的函数适合下面常微分方程初值问
题：
2
1
2
1
)0(
ˆ
,)(
ˆ
2
)(
ˆ
2
4
4
4
dxef
f
d
fd
x
,
解之得
6
4
4
2
2
1
)(
ˆ
ef.
例5设,)(2
5
Axexf（0A）,求)(
ˆ
5
f.
由性质5
Ae
AA
f
A
xAfxff4
4455
2
2
1
)(
ˆ
1
)()()(
ˆ
.
例6),()(
46
2
2
B
x
feexfB
x
B
x
(0B)
4
466
2
2
)
/1
(
ˆ
/1
1
()(
ˆ
B
e
B
B
f
B
xff
.
degfxgfxi)(
2
1
)(
dedyygyfxi)()(
2
1
dydeygyfxi
)()(
2
1
dydeyfeygxyiiyx
)()()(
2
1
)()(2xgxf,
gfgfgf
ˆ
ˆ
2
2
1
2
1
,
于是gfgf
2
1
,
因为gfgf
ˆ
ˆ
2,
所以gfgfgf
2
1
2
1
ˆ
ˆ
.
最后我们简单地介绍一些有关多维Fourier变换的基本知识
定义设
),(),,,()(
21
n
n
RLxxxfxf
那么积分
7
)(
ˆ
)(
2
1
fdxexf
nR
xi
n
,
有意义,称为)(xf的Fourier变换,
)(
ˆ
f称为)(xf的Fourier变式.
定理（反演公式）若)()()(1nnRLRCxf,则有
)()(
ˆ
2
1
limxfdef
N
xi
n
N
.
nR
xi
n
degxg
)(
2
1
)(称为)(g的Fourier逆变换.
定理表明ffff＝
,
ˆ
容易证明关于一维Fourier变换的性质1—7对于多维
Fourier变换依然成立.根据上面Fourier变换的定义,我们还有下面的结论：
8.若),()()()(
2211nn
xfxfxfxf其中),,()(Lxf
ii
则有
)(
ˆ
)(
ˆ
1
ii
n
i
ff
（）
利用这一性质,我们可求出函数2
2
1
)(i
Ax
n
i
xAeexf
的Fourier变式.
事实上A
Ax
i
ie
A
e4
2
2
2
1
,
A
n
A
n
i
Ax
n
i
Ax
n
i
e
A
e
A
eefi
ii44
111
2
2
22
2
1
2
1
)(
ˆ
.
Poisson公式
在这一小节中我们应用Fourier变换解初值问题
xxxu
txtxf
x
u
a
t
u
),()0,(
0,),,(
2
2
2
（）
在方程（）两边关于变量
x
作Fourier变换,
dxetxutuxi
),(
2
1
),(
ˆ
,
利用性质1和性质2,得到
),(
ˆ
ˆ
),,(
ˆ
ˆ
ˆ
0
22
t
u
tfua
dt
ud
其中
dxetxutuxi
),(
2
1
),(
ˆ
,
dxexxi
)(
2
1
)(
ˆ
8
),(),(
ˆ
txftf.
解之得
t
tatadefetu
0
)(2222),(
ˆ
ˆ
),(
ˆ,
现在对上式两边求反演,由反演公式,得
t
tatadefetxu
0
)(2222),(
ˆ
ˆ
),(（）
由,
2
1
4
2
2
A
Axe
A
ei
取
ta
A
24
1
则ta
x
tae
ta
e22
2
2
2
4
1
2
1
1
,
即ta
x
taee
ta
22
2
24
1
2
1
,
令
2
24
1
2
1
),(
x
tae
ta
txg
,taetxg22),(
,
从而有ggeta*
2
1
ˆ
ˆˆ22
dxg)()(
2
1
d
ta
ta
x
2
2
4
)(
)(
2
1
（）
同理我们有
gftgfefta*
2
1
),(
ˆ
),(
ˆ
),(
ˆ)(22
def
ta
ta
x
)(4
)(
2
2
),(
)(2
1
（）
于是得
de
ta
fdd
ta
txuta
x
t
ta
x
)(4
)(
0
4
)(
2
2
2
2
)(2
1
),()(
2
1
),(
在一定条件下,可以证明上述表达式的函数是方程问题的解.
定理若),()(Cx,且)(x有界,则
de
ta
txuta
x
2
2
4
)(
)(
2
1
),(
9
在),0(R上连续,且在),0(R上具有任意阶的连续偏导数，
),(txu是问题
xxxu
tx
x
u
a
t
u
),()0,(
0,,0
2
2
2
的解,
即),(txu满足方程和)(),(lim
0
0
0
xtxu
xx
t
.
de
ta
txuta
x
2
2
4
)(
)(
2
1
),(
detaxtax2)2(
1
2/)(
特别说明：当)(x连续,)(x是某些无界函数时,),(txu的表达式亦是解（)(x无界
时，也可以是解）.
例1求解
xu
x
u
a
t
u
t
sin
,
0
2
2
2
解1、直接观察xetxutasin),(2是解.
2、
detaxtxu2)2(
1
),(
detax2)2sin(
1
detaxetax222sincos2cossin
1
detax22cossin
1
deextai22
2
1
2sin
4
42
2
1
2sin
ta
ex
4
42
2
1
2sin
ta
ex
xetasin2
,4
2
2
2
1
ee.
例2求初值问题
xu
x
u
a
t
u
t
cos
,
0
2
2
2
的解xetxutacos),(2.
10
例3求初值问题
1
,
2
0
2
xu
uau
t
xxt
的解.
解1直接观察taxtxu2221),(
2.
detaxtxu21)2(
1
),(2
detataxx2144
1
222
tax2221
从这几个实例上,更直观明显的证明求解公式的正确,对模型方程的正确性,提供保证.
1cos
,
2
0
2
xxu
uau
t
xxt
定理设)(x在),(上连续且有界，
),(txf，(,)
x
fxt在],0[),(T上连续且有界，
令
de
ta
txuta
x
2
2
4
)(
)(
2
1
),(
de
t
fd
a
ta
x
t
)(4
)(
0
2
21
),(
2
1
，
其中常数0a，则有)(),(lim
0
0
,
0
xtxu
t
xx
；(,)uxt问题
xxxu
txtxf
x
u
a
t
u
),()0,(
0,),,(
2
2
2
的解。
证明由于
detaxtxu2)2(
1
),(
detaxfdt
2),2(
1
0
，
利用控制收敛定理，得),(lim
0
,
0
txu
t
xx
)(0)(
1
00
2xdex
；
2
2
()
4
(,)1
()()
2
x
at
uxt
ed
tt
at
2
2
()
4()
0
11
(,)()
2
x
t
atdfed
t
at
(,)fxt；
11
2
2
()
22
4
22
(,)1
()()
2
x
at
uxt
ed
xx
at
2
2
()
2
4()
2
0
11
(,)()
2
x
t
atdfed
x
at
，
显然成立
2
2
2
(,)
uu
afxt
tx
，结论得证。
定理假设函数),(txf，)(x关于
x
都是解析的，则问题
xxxu
txtxf
x
u
a
t
u
),()0,(
0,),,(
2
2
2
的解可以写成
0
0
)2(
2
0
)2(
2
),(
!
)]([
)(
!
)(
),(
n
t
n
x
n
n
n
n
dxf
n
ta
x
n
ta
txu
其中)()2(xn和
),()2(xfn
x
分别是)(x和),(xf关于
x
的n2阶导数。
证明：
detaxtxu2)2(
1
),(
tddetaxf
0
2),2(
1
deta
k
x
k
k
k
2
0
)(
)2(
!
)(1
t
k
k
k
xddet
k
xf
0
0
)(
2)(
!
),(
1
0
0
)2(
2
0
)2(
2
),(
!
)]([
)(
!
)(
n
t
n
x
n
n
n
n
dxf
n
ta
x
n
ta
。
例求解定解问题
2
2
2
,(,0),
(,0)cos,().
uu
aAxxt
tx
uxxx
其中,A是常数。
解方法一：
21
(,)cos(2)uxtxated
12
tddetaxA
0
2)2(
1
21
coscos2xatedAxt
22cosatexAxt；
方法二：
2
(2)
0
()
(,)(cos)
!
n
n
n
at
uxtxAxt
n
22
0
()
(1)cos
!
n
n
n
at
xAxt
n
22cosatexAxt。
解的性质与物理解释（对齐次方程
),()0,(
,0
2
2
2
xxu
x
u
a
t
u
1.（奇偶性与周期性）
若是奇（偶,周期为l的）函数,则解
de
ta
txuta
x
2
2
4
)(
)(
2
1
),(亦是x的奇（偶,
周期为l的）函数.
2.（无限传播速度）
如果杆的初始温度)(x只在小段
),(
00
xx上不为零,不妨假设0)(x,即
),(,0)(
00
xxxx,其它处0)(x.那么当0t,杆上各点的温度
0)(
2
1
)(
2
1
),(0
0
2
2
2
2
4
)(
4
)(
x
x
ta
x
ta
x
de
ta
de
ta
txu
也就是说在顷刻之间,热量就传递到杆上的任意一点,当然在
0
x附近的点所受到的影响较
大（ta
x
e2
2
4
)(
来定）,而离
0
x较远的点受到的影响较小.这与我们知道的物理现象一致.
初值问题解的渐近性态
讨论当t时,热传导方程初值问题解的渐近性态.由前面的讨论可知,当)(x为有
界连续函数时,热传导方程的初值问题
)(
,
0
2
xu
uau
t
xxt
的解的唯一性,由下列Possion积分给出
13
de
ta
txuta
x
2
2
4
)(
)(
2
1
),(.
为了讨论解的渐近性态,还需要对)(x加进一步的条件.
如果
dxx)(收敛,则称),(1RL并记
dxx
RL
)(
)(1.
定理设是有界连续函数,且),(1RL则初值问题的唯一经典解（古典解）具有如下的
渐近性态：对一切0,tRx当t时,一致地成立
0),(2
1
Cttxu,（t）.
其中C为一个仅与
a
与
)(1RL
有关的正常数.
证明由
de
ta
txuta
x
2
2
4
)(
)(
2
1
),(,
de
ta
txuta
x
2
2
4
)(
)(
2
1
),(
d
ta
)(
2
1
2
1
2
1
)(12
1Ctt
aRL
证毕.
物理现象符合,高温
变低温,以至冷却到0.
热的不可逆性：
),()0,(
0,,0
2
2
2
xxu
tx
x
u
a
t
u
对一般的)(x,解不存在,说明热的逆现象是不确定的.