斜率的公式

斜率的公式

造句的格式-北京三博脑科医院

2023年2月22日发(作者：微博表白)

---

--优质资料

课题直线的倾斜角与斜率

教学目标

掌握倾斜角和斜率的概念，掌握倾斜角和斜率的关系。

教学内容

一、目标认知

1.了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的X围；

2．理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是时的直线没有斜率；

3．已知直线的倾斜角(或斜率)，会求直线的斜率(或倾斜角)；

4．掌握经过两点和的直线的斜率公式：()；

5．熟练掌握两条直线平行与垂直的充要条件.

二、知识要点梳理

知识点一：直线的倾斜角

平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最

小正角记为，则叫做直线的倾斜角.

规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的X围是．

要点诠释：

1.要清楚定义中含有的三个条件

①直线向上方向；②轴正向；③小于的角.

2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角.

3.倾斜角的X围是.当时，直线与轴平行或与轴重合.

4.直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有惟一的倾斜角和它对应.

5.已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线

的位置.

知识点二：直线的斜率

倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即．

要点诠释：

1.当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；

2.直线与x轴垂直时，=90°，k不存在.

---

--优质资料

由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.

知识点三：斜率公式

已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式.

要点诠释：

1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：

(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直；

(2)k与P1、P2的顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；

(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；

(4)当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合；

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：

(1)由、点的坐标求的值；

(2)已知及中的三个量可求第四个量；

(3)已知及、的横坐标(或纵坐标)可求；

(4)证明三点共线.

知识点四：两直线平行

设两条不重合的直线的斜率分别为.若，则与的倾斜角与相等.由，可得

，即.因此，若，则.反之，若，则.

要点诠释：

1.公式成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为；②不重合；

2.当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则.

知识点五：两直线垂直

设两条直线的斜率分别为.若，则.

例1．如图，直线

1

l的倾斜角

1

30

，直线

12

ll，求

1

l、

2

l的斜率。

解：

1

l的斜率

1

3

tan30

3

k，

∵

2

l的倾斜角

2

9030120

，

∴

2

l的斜率

22

tantan1203k．

---

--优质资料

例2．（1）已知直线l的倾斜角的变化X围为[,)

63



，求该直线斜率的变化X围；

（2）已知直线l的斜率

[1,3)k

，求该直线的倾斜角的X围.

解：（1）∵[,)

63



，∴

3

tan[,3)

3

．

（2）∵

tan[1,3)k

，

∴

3

[,)[0,)

43



．

例3．已知



和k分别是l的倾斜角和斜率，当（1）

3

sin

5

；（2）

3

cos

5

；（3）

3

cos

5

时，分别求直

线l的斜率k．

解：当

3

sin

5

时，∵0180，∴

3

tan

4

k．

当

3

cos

5

时，∵0180，∴090，∴

4

tan

3

k．

当

3

cos

5

时，∵0180，∴90180，∴

4

tan

3

k．

要点诠释：

1.公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；

2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.

三、规律方法指导

1．由斜率的定义可知，当在X围内时，直线的斜率大于零；当在X围内时，

直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜

率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和X围内分别与倾斜角的变

化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或X围内比较倾斜角的大小只

需比较斜率的大小即可，反之亦然．

2．直线的斜率可用于直线的平行(重合)、垂直等位置关系的判断，直线倾斜角的X围、大小的判断、求解及直线方

程的求解等．

3．我们在判断两直线的平行与垂直时，往往先判断直线的斜率是否存在，然后再根据具体情况进行判断；

4．判断两直线平行时，易忽略两直线重合的情况，需特别注意；

5．平行、垂直的判断中，斜率不存在的情况易忽略致错，需特别注意.

三：经典例题透析

类型一：倾斜角与斜率的关系

已知直线的倾斜角的变化X围为，求该直线斜率的变化X围；

类型二：斜率定义

---

--优质资料

已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线

的斜率

类型三：斜率公式的应用

求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为锐角还是钝角．

直线与方程：

一、知识要点:

1.倾斜角与斜率

2.直线方程式的5种形式:点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式（注意用前四种方程的条件及一般式与其它

形式转化的条件）

3．两条直线平行、垂直的条件(与斜率及系数的关系)

4．距离公式：两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式

练习

1.已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB的斜率为（）

A.3B.-2C.2D.不存在

2．过点(1,3)且平行于直线032yx的直线方程为（）

A．072yxB．012yxC．250xyD．052yx

3.在同一直角坐标系中，表示直线yax与yxa正确的是（）

x

y

Ox

y

Ox

y

Ox

y

O

ABCD

4．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a=（）

A．

3

2

B．

3

2

C．

2

3

D．

2

3

5.过(x1，y1)和(x2，y2)两点的直线的方程是()

---

--优质资料

11

2121

11

2112

211211

211211

.

.

.()()()()0

.()()()()0

yyxx

A

yyxx

yyxx

B

yyxx

Cyyxxxxyy

Dxxxxyyyy

















6、若图中的直线L1、L2、L3的斜率分别为K1、K2、K3则（）

A、K1﹤K2﹤K3

B、K2﹤K1﹤K3

C、K3﹤K2﹤K1

D、K1﹤K3﹤K2

7、直线2x+3y-5=0关于直线y=x对称的直线方程为（）

A、3x+2y-5=0B、2x-3y-5=0

C、3x+2y+5=0D、3x-2y-5=0

8、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（）

A.3x-2y-6=0B.2x+3y+7=0

C.3x-2y-12=0D.2x+3y+8=0

9、直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则（）

A.a=2,b=5;B.a=2,b=5;C.a=2,b=5;D.a=2,b=5.

10、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（）

A(3,-1)B(-1,3)C(-3,-1)D(3,1)

11、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（）

A4x+3y-13=0B4x-3y-19=0

C3x-4y-16=0D3x+4y-8=0

二填空题（共20分，每题5分）

12.过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程___________；

13两直线2x+3y－k=0和x－ky+12=0的交点在y轴上，则k的值是

14、两平行直线0962043yxyx与的距离是。

L

1

L

2

x

o

L

3

---

--优质资料

课后作业

一、选择题

1.设直线0axbyc的倾斜角为



，且sincos0，则,ab满足（）

A.1baB.1ba

C.0baD.0ba

2.过点(1,3)P且垂直于直线032yx的直线方程为（）

A.012yxB.052yx

C.052yxD.072yx

3.已知过点(2,)Am和(,4)Bm的直线与直线012yx平行，则

m

的值为（）

A.0B.8C.2D.10

4.已知0,0abbc，则直线axbyc通过（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限

5.直线1x的倾斜角和斜率分别是（）

A.045,1B.0135,1

C.090，不存在D.0180，不存在

6.若方程

014)()32(22mymmxmm

表示一条直线，则实数

m

满足（）A.B.

C.D.，，

课后检测：

一、选择题

1.若直线过点，,则此直线的倾斜角是（）

ＡＢＣＤ

2.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=

A、-3B、-6C、D、

3.点P（-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（）

A2BC1D

4.点Ｍ（４，m）关于点Ｎ（n,－3）的对称点为Ｐ（６，－９），则（）

---

--优质资料

Ａm＝－３，n＝１０Ｂm＝３，n＝１０

Ｃm＝－３，n＝５Ｄm＝３，n＝５

5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（）

Ａ3x-y-8=0B3x+y+4=0

C3x-y+6=0D3x+y+2=0

6.过点Ｍ（２,１）的直线与x轴，y轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜,

则l的方程是（）

Ａx-2y+3=0B2x-y-3=0

C2x+y-5=0Dx+2y-4=0

7.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是

A（-2，1）B（2，1）C（1，-2）D（1，2）

8.直线的位置关系是

（A）平行（B）垂直（C）相交但不垂直（D）不能确

定

9.如图1，直线l1

、l2

、l3

的斜率分别为k

1

、k

2

、k

3

，

则必有

A.k

1

3

2

B.k

3

1

2

C.k

1

2

3

D.k

3

2

1

10.已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（）

（A）x+5y-15=0(B)x=3(C)x-y+1=0(D)y-3=0

11．下列说法的正确的是（）

A．经过定点的直线都可以用方程表示

B．经过定点的直线都可以用方程表示

---

--优质资料

C．不经过原点的直线都可以用方程表示

D．经过任意两个不同的点的直线都可以用方程

表示

12．若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（）

A．B．

C．D．

二、填空题

13．过点Ｐ（１，２）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程是.

14．直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是.

三、解答题

16.①求平行于直线3x+4y-12=0,且与它的距离是7的直线的方程;

②求垂直于直线x+3y-5=0,且与点P(-1,0)的距离是的直线的方程.

17.直线x+m2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0没有公共点，XX数m的值.

18.已知点，，点在直线上，求取得最小值时点的坐标。