高次方程
日本财团-青蛙的习性
2023年2月22日发(作者：三别)特殊的高次方程的解法
教学目标
1．根据方程的特征，运用适当的因式分解法求解一元高次方程.
2．通过学习增强分析问题和解决问题的能力.
教学重点及难点
用因式分解法求解一元高次方程.
教学流程设计
复习引入例题分析巩固练习
布置作业课堂小结
教学过程设计
一、情景引入
1．复习
（1）将下列各式在实数范围内分解因式：
①x2-4x+3；②x4-4；
③x3-2x2-15x；④x4-6x2+5；
⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12.
教师指出：
在分解④、⑤题时，应利用换元的思想，分别把x2和x2-x看成
y，于是就有y2-6y+5和y2-4y-12.从而把四次多项式转化为二次三项
式，使问题易于解决.
（2）提问：
①解二项方程的基本方法是什么？（开方）
②解双二次方程的基本方法是什么？（换元）
分析：不管是开方还是换元都是通过“降次”达到化归目的.
2．观察：
（1）若令①x2-4x+3；②x4-4；③x3-2x2-15x；④x4-6x2+5；
⑤（x2-x）2-4（x2-x）-12的右边都为0，请指出哪些是高次方程？
（2）这些高次方程如何求解？
分析：后面四个都是高次方程，②x4-4=0是二项方程，利用开方法求
解；④、⑤都可以利用换元法把它转化为一元二次方程；而③
x3-2x2-15x=0则是利用因式分解法降次.
所以，这节课我们一起来学习用因式分解法把一元高次方程转化成一
元一次方程或一元二次方程.
二、学习新课
1．例题分析
例6解下列方程
（1）5x3=4x2；（2）2x3+x2-6x=0.
[说明]只有方程整理成一边为零时，才能用因式分解法解方程.
例7解下列方程
（1）x3-5x2+x-5=0；（2）x3-6=x-6x2.
2．问题拓展
（1）解方程
x3-2x2-4x＋8=0．
解原方程可变形为
x2(x-2)-4(x-2)=0，
(x-2)(x2-4)=0，
(x-2)2(x+2)=0．
所以
x1＝x2＝2，x3=-2．
（2）归纳：
当ad=bc≠0时，形如ax3＋bx2＋cx＋d=0的方程可这样解决：
令0k
d
c
b
a
，则a=bk,c=dk,于是方程ax3+bx2+cx+d=0
可化为
bkx3+bx2+dkx+d=0，
即(kx+1)(bx2+d)=0．
三、巩固练习
1．直接写出方程x(x+5)(x-4)=0的根，它们是__________________.
2．解下列方程：
（1）3x3-2x=0;（2）y3-6y2+5y=0.
3．解下列方程：
（1）2x3+7x2-4x=0;（2）x3-2x2+x-2=0
4．拓展：
（1）（x2-x-6）（x2-x＋2）=0，
（2）（x-3）（x＋2）（x2-x＋2）=0.
分析：
在具体操作过程中，把x2-x当作一个“整体”，可直接利用十字相
乘法分解，这样省略了许多代换程序.
（3）解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．
解把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第
三个因式相乘，得
(x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．
设
则
(y-9)(y+9)=19，
即y2-81＝19．
[说明]在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用
换元法解之．在换元时也可以令y=x2+5x，因为换元的目的是为了降
次.拓展部分是学有余力的学生选做，教师可根据学生的实际进行选
择.
四、课堂小结
（学生总结，教师归纳）
1．解一元高次方程的基本方法是什么？
2．我们现在学习了哪些方法能把高次方程“降次”？
3．用因式分解法解高次方程时要注意些什么？
五、作业布置
1．练习册：习题21.2（3）
2．选做题：解下列方程：
（1）x3+3x2+3x+1=0
（2）(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24
（3）x(x+1)(x-3)=x+1
（4）(x+5)2+(2x-1)2=(x+5)(2x-1)+67
教学设计说明
1．本节课学习的是用因式分解法求解一元高次方程，所以在情景引
入部分复习了实数范围内的因式分解，为后面的新授课做准备.并在
此环节中还复习了二项方程和双二次方程的解法，由此自然地过渡到
本节课的内容：用因式分解法求解一元高次方程.
2．新授课中的问题拓展是对常见的能用因式分解法求解的一元三次
方程做了一个简单的归纳.使学生感知从具体到抽象、从特殊到一般
的事物发展规律，提高他们自己解决问题的能力.
3．在巩固练习部分，增加了一些用因式分解解一元高次方程的特殊
类型，是对书本例题的一个补充和提高，同时也是课堂分层教学的需
要.
4．作业同样采取了分层设计，尽可能使所有学生都能通过作业巩固
新知.选做题的类型与难度相当于巩固练习中的四星级和五星级，是
针对一些学有余力的同学设计，帮助他们进一步巩固提高.