月牙定理
巨竹-王后雄教育
2023年2月22日发(作者：nihss评分量表)上海市顾路中学拓展型、探究型课程实施教案
2014学年度第__1___学期
课程名称勾股定理运用-月牙定理课时1
课程类别执教教师周晶适用年级初二
课程内容
勾股定理运用
课程目标
1、了解勾股定理的地延伸拓展；
2、寻求多种方法；
3、通过拓展的学习能够培养积极学习，努力思考的态度。
课程实施
面积法与勾股定理
1面积法的源起
利用面积关系来说明数学中的某些恒等式、不等式，或证明某些定理，这是一个古老而又年
轻的方法。
说它古老，是因为：早在三千多年前，在几何学还没形成一门系统学科时，人们已经会用这
种方法来解决某些问题了。
说它年轻，是因为：直到今天，人们并没有给它足够的重视，因为这种方法的潜力远没有得
到发挥。它广泛的、五花八门的用途，虽然已经逐步被各种竞赛教材所吸收，但还很少在正式的
教科书、教学参考书和各种学生读物中得到系统的阐述。
几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要。翻开任何一本关于数学史的通俗读物，差
不多都记载着这样的故事：在古埃及，尼罗河每年定期泛滥。洪水带来了尼罗河肥沃的淤积泥土，
这让人们在干旱的沙漠地区种植农作物提供了很好的条件。随之也带来了一个问题，因为洪水在
带来肥沃土壤的同时，也抹掉了田地之间的界限标志。洪水消退后，人们要重新画出田地的界限，
这就必须丈量和计算田地的面积。年复一年，这就积累了最基本的几何知识。
这样看来，从一开始，几何学就和面积结下不解之缘。英文中的“几何”——“Geometry”，
这个单词的字头“Geo-”，便含有土地的意思。
利用面积关系证明几何定理，最早的例子是勾股定理的证明。勾股定理是几何学中的一颗璀
璨明珠，历史悠久，证法繁多。千百年来对它的探讨从未停止过，人们不断提出新的证法，其中
有著名的数学家，也有业余的数学爱好者；既有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国
家总统。
图1-1和图1-2都是勾股定理的经典证明。图1-1取自趙爽（三国时代人，生活于公元3世
纪）注《周髀算經》（1213年宋版），此证法一般被称为赵爽弦图证法；图1-2取自徐光启、利玛
窦合译的《几何原本》，该证法一般被称为欧几里得证法。
图1-1图1-2
2002年8月20-28日，世界数学家大会在北京召开。大会所使用的会标就是赵爽弦图(图
3)。
图3图4
勾股定理相当重要，被称为是几何学的基石。经过不断探索研究，据说到现在，已经有400
多种证法了，无疑成为数学中证法最多的定理。
勾股定理被发现之后，数学家们除了不断寻找新证法，也在寻找应用。
勾股定理的一个直接应用就是希波克拉底发现了月牙定理。如图4，直角三角形的面积等于
两个月牙面积之和。
就是这么一个简单的图形，掀起了很大的风波，误导了很多数学爱好者。
月牙形是曲线形，直角三角形是直线形，直线和曲线是如此地不同，因此很容易使人产生错
觉，似乎直线形的面积是不可能等于曲线形的面积的。然而正是希波克拉底的这个月牙图形，证
明了直线形的面积是完全可能等于曲线形的面积的。这在当时，数学发展的初期，对开阔大家的
眼界，有着极大的意义。同时，月牙图形的出现也让很多数学研究者，包括希波克拉底在内，陷
入了一个死胡同，他们“坚信”化圆为方问题是可以实现的。其实，希波克拉底只是解决了化月
牙形为方这一特殊情况，而该方法很难推广解决直线形图形和曲线形图形等面积转化的一般情
况。
古代数学，不管是东方还是西方，都擅长用几何图形来说明问题。这可看作是无字证明
（withoutwordsproof）的源头。很大程度上，是由于当时代数研究很不系统，缺乏能够方便
使用的符号工具。图5是月牙定理的图形证明，多个小图片连在一起，生动再现了面积转化的过
程，十分直观。如果利用现代信息技术，譬如用超级画板作成动画形式，或以gif格式的动态图
片展示，则更有趣了。
图5
面积割补的证明大多可以如此处理。图6和图7也是将多幅小图片连在一起，构成勾股定理
的动画证明。这两种证明多次用到了等底等高平行四边形面积相等。
图6
图7
而化圆为方问题实质上等价于用直尺圆规作出线段π的问题。1882年，法国数学家林德曼证
明了π是超越数，而尺规作图所能完成的线段是代数数，所以化圆为方问题是尺规作图所不能完
成的。
但假若不受尺规作图的限制，化圆为方问题并非难事。如图8，将一个半径为R的圆作一滚
动，得到的正方形面积与之相等。设正方形的边长为
a
，根据射影定理可得22*aRRR。
图8
勾股定理证明很多，但多数来之不易，可谓是古今中外数学爱好者集体智慧的结晶。很多
的巧证，都是冥思苦想而成。本书中，我们会给出两种批量生成勾股定理证明方法，一种是拿两
个三角形拼摆，另一种则需借助计算机（见24章），所得证法之多，让人惊讶。