向量三点共线定理
教师见习期工作总结-浙江福利
2023年2月21日发(作者：儿童头围)利用共线向量巧解三点共线
例题：如图，A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一
点，若点C在直线AB上，则存在实数，使得PC=PA+
（1-）PB．
证法探究：
分析：初看欲证目标，始感实难下手。我们不妨从结论出
发探寻线路，欲证PC=PA+（1-）PB，只需证
PC=PA+PB-PBPC-PB=（PA-PB）
BC=BABC∥BA．这样证明思路有了。
证法：∵向量BC与向量BA共线，∴BC=BA，即PC-PB=（PA
-PB），PC=PA+PB-PB，∴PC=PA+（1-）PB．
证毕，再思考一下实数的几何意义究竟如何。考察向量等
式BC=BA，结合图形，易知，当点C在线段AB上时，则BC
与BA同向，有0≤≤1；当点C在线段AB延长线上时，则BC
与BA反向，有<0；当点C在线段BA延长线上时，则BC与BA
同向，有＞1．
此例题逆命题亦成立，即
已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若存
在实数，，有PC=PA+PB，且+=1，则A，B，C三
点共线．
故此逆命题可作三点共线判定方法。
为方便起见，我们将两命题作为性质叙述如下：
性质1：已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一
点，若A，B，C三点共线，则存在实数，使得PC=PA+
（1-）PB．
或叙述为：
已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一点，若A，
B，C三点共线，则存在实数，，使得PC=PA+PB，
则有+=1．
性质2：已知A，B，C是平面内三个点，P是平面内任意一
点，若存在实数，，有PC=PA+PB，且+=1，则A，
B，C三点共线．
三点共线性质在解题中的应用：
例1如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别
交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB=AMm，AC=ANn，
则nm的值为．
解析：连结AO，因为点O是BC的中点，所以有AO=
ACAB
2
1
2
1
=ANnAMm
2
1
2
1
，又因为M、O、N三点共线，所以1
2
1
2
1
nm，
故2nm．
点评：因为点O是BC的中点，所以=
2
1
||
||
CB
CO，由性质1，
=1-=
2
1，简便求出nm的值．
例2如图2，在△ABC中，1
3
ANNC，点P是BC上的一点，
若2
11
APmABAC，则实数m的值为（）
A．9
11
B.5
11
C.3
11
D.2
11
解：,,BPN三点共线，又
228
4
111111
APmABACmABANmABAN
8
1
11
m
3
11
m，故选C
例3所示：点是△的重心，、分别是边、上的
动点，且、、三点共线．设，，证明：
是定值；
证明：因为G是OAB的重心，
211
()()
323
OGOAOBOAOB
1
OPxOAOAOP
x
1
OQyOBOBOQ
y
111111
()()
3333
OGOAOBOPOQOGOPOQ
xyxy
又,,PGQ三点共线，11
1
33xy
11
3
xy
11
xy
为定值3
GOAB
PQ
OAOB
P
G
Q
OAxOP
OByOQ
yx
11
例4．如图，在ABC中，OAOC
4
1
，OBOD
2
1
，
AD与BC交于M点，设bOBaOA,．
（Ⅰ）用a，b表示OM；
（Ⅱ）在已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，
使EF过点M．设OApOE，OBqOF．求证：1
7
3
7
1
qp
．
解析：(Ⅰ)因为B、M、C三点共线，所以存在实数m使得OM
=OBmOCm)1(
=OBmOAm)1(
4
1
=bmam)1(
4
1
；又因为A、M、D三点共线，
所以存在实数n使得OM=ODnOAn)1(=
bnan)1(
2
1
．由于a，b
不共线，所以有
),1(
2
1
1
,
4
1
nm
nm解得，
．n
m
7
1
,
7
4
故OM=ba
7
3
7
1
．
（Ⅱ）因为E、M、F三点共线，所以存在实数使得OM=
OFOE)1(
=bqap)1(．结合（Ⅰ），易得出
,
7
3
)1(
,
7
1
q
p
消去得，1
7
3
7
1
qp
．
点评：本题是以a，b作为一组基底，其他向量都由它们线性
表示．解（Ⅰ）中的实数m，n的几何意义为：m=
||
||
BC
BM=
7
4，
n=
||
||
DA
DM=
7
1，m，n∈（0，1）；解（Ⅱ）中的实数=
||
||
FE
FM
=
p7
1．
例5．如图，平行四边形ABCD中，点P在线段AB上，且
m
PB
AP
，Q在线段AD上，且n
QD
AQ
，BQ与CP相交于点R，
求
RC
PR的值．
解析：设
RC
PR=，则
PC
PR=
1
，BR=
1
BC+（1-
1
）BP．因
为m
PB
AP
，所以
BA
m
BP
1
1
，且BR=
1
BC+
1
1
·BA
m1
1
．
又n
QD
AQ
，∴AD
n
n
AQ
1
=BC
n
n
1
，∴AQBABQ，即
BABC
n
n
BQ
1
．又∵BR与BQ共线，∴
1
-
)1)(1(
1
1
mn
n
=0，解得=
)1)(1(nm
n．
点评：我们先要确定好一组基底BCBA,，看准BR,BQ如何由它
们线性表示；而欲求目标数值，因CRP,,三点共线，中途要以
BCBP,作基底，BR由它们线性表出时，分析清楚该两基底系
数所表示的几何意义，由性质1，得BR=
1
BC+（1-
1
）
BP；最终BR与BQ都得转化到由BCBA,两基底线性表示，此时
容易由共线向量性质列出等式，从而求出结果．
例6所示,在平行四边形ABCD中，1
3
AEAB,1
4
AFAD,CE与
BF相交于G点，记ABa，ADb，则AG_______
A．21
77
abB.23
77
abC.31
77
abD.42
77
ab
分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，
所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直
线上，可用平面内三点共线定理求解。
解：,,EGC三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在
唯一的一对实数x使得(1)AGxAExAC,11
33
AEABa,
ACab
12
(1)()(1)(1)
33
x
AGxaxabaxb…………………①
又,,FGB三点共线，由平面内三点共线定理可得：存在唯
一的一对实数使得
(1)AGABAF
11
44
AFADb，，1
(1)
4
AGab……………
②
由①②两式可得：
2
1
3
1
1
4
x
x
6
7
3
7
x
31
77
AGab
点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G、B以及E,G,C
三点在一条直线上），利用平面内三点共线定理构造方程组
求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题
的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。