Tanx公式
母亲的名言-阿甘正传影评
2023年2月21日发(作者：耳诊)....
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高中三角函数公式大全[图]
1三角函数的定义1.1三角形中的定义
图1在直角三角形中定义三角函数的示意图
在直角三角形ABC，如下定义六个三角函数：
•正弦函数
•余弦函数
•正切函数
•余切函数
•正割函数
•余割函数
1.2直角坐标系中的定义
....
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图2在直角坐标系中定义三角函数示意图
在直角坐标系中，如下定义六个三角函数：
•正弦函数
•余弦函数
•正切函数
•余切函数
•正割函数
r
....
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•余割函数
2转化关系2.1倒数关系
2.2平方关系
2和角公式
3倍角公式、半角公式
3.1倍角公式
3.2半角公式
....
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3.3万能公式
4积化和差、和差化积
4.1积化和差公式
....
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证明过程
首先，sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》）
因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα（正弦和角公式）
则
sin(α-β)
=sin[α+(-β)]
=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα
=sinαcosβ-sinβcosα
于是
sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα（正弦差角公式）
将正弦的和角、差角公式相加，得到
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ
则
sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2（“积化和差公式”之一）
同样地，运用诱导公式cosα=sin(π/2-α)，有
cos(α+β)=
sin[π/2-(α+β)]
=sin(π/2-α-β)
=sin[(π/2-α)+(-β)]
=sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α)
=cosαcosβ-sinαsinβ
于是
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ（余弦和角公式）
那么
cos(α-β)
=cos[α+(-β)]
=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)
=cosαcosβ+sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ（余弦差角公式）
将余弦的和角、差角公式相减，得到
cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ
则
....
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sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2（“积化和差公式”之二）
将余弦的和角、差角公式相加，得到
cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ
则
cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2（“积化和差公式”之三）
这就是积化和差公式：
sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2
sinαsinβ=cos(α-β)/2-cos(α+β)/2
cosαcosβ=cos(α+β)/2+cos(α-β)/2
4.2和差化积公式
部分证明过程：
sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα
cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)=(sinαcosβ+sinβcosα)/(cosαcosβ-sinαsinβ)=(cosαtanαcosβ+cosβtanβcosα)/(
cosαcosβ-cosαtanαcosβtanβ)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=tan[α+(-β)]=[tanα+tan(-β)]/[1-tanαtan(-β)]=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
诱导公式
•sin(-a)=-sin(a)
•cos(-a)=cos(a)
....
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•sin(pi/2-a)=cos(a)
•cos(pi/2-a)=sin(a)
•sin(pi/2+a)=cos(a)
•cos(pi/2+a)=-sin(a)
•sin(pi-a)=sin(a)
•cos(pi-a)=-cos(a)
•sin(pi+a)=-sin(a)
•cos(pi+a)=-cos(a)
•tgA=tanA=sinA/cosA
两角和与差的三角函数
•sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)
•cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
•sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
•cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
•tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))
•tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))
三角函数和差化积公式
•sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)
•sin(a)−sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)
•cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2)
....
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•cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2)
积化和差公式
•sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
•cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
•sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
二倍角公式
•sin(2a)=2sin(a)cos(a)
•cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)
半角公式
•sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
•cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
•tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
万能公式
•sin(a)=(2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
•cos(a)=(1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
•tan(a)=(2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
其它公式
....
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•a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c)[其中，
tan(c)=b/a]
•a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c)[其中，
tan(c)=a/b]
•1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2
•1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2
其他非重点三角函数
•csc(a)=1/sin(a)
•sec(a)=1/cos(a)
双曲函数
•sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2
•cosh(a)=(e^a+e^(-a))/2
•tgh(a)=sinh(a)/cosh(a)
常用公式表（一）
1。乘法公式
（1）（a+b）²=a2+2ab+b2(2)(a-b)²=a²-2ab+b²(3)(a+b)(a-b)=a
²-b²
(4)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)(5)a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
2、指数公式：
(1)a0=1（a≠0）（2）aP=Pa
1
（a≠0）（3）am
n
=m
na
（4）aman=anm（5）am÷an=n
m
a
a
=anm（6）（am）n=amn
....
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（7）（ab）n=anbn（8）（
b
a
）
n=n
n
b
a
（9）（
a
）
2=a
（10）2a=|a|
3、指数与对数关系：
（1）若a
b=N，则Nb
a
log（2）若10
b=N，则b=lgN
（3）若be
=N，则b=㏑N
4、对数公式：
（1）bab
a
log,㏑e
b=b（2）
NaaNlog，e
Nln=N
（3）
a
N
N
aln
ln
log
（4）abbealn
（5）NMMNlnlnln
（6）
NM
N
M
lnlnln
（7）MnMnlnln（8）㏑
nM
=
M
n
ln
1
5、三角恒等式：
（1）（Sinα）²+（Cosα）²=1（2）1+（tanα）²=(secα)²
（3）1+(cotα)²=(cscα)²（4）
tan
cos
sin
（5）
cot
sin
cos
（6）
tan
1
cot
（7）
cos
1
csc
（8）
cos
1
sec
6、特殊角三角函数值：
α0
6
4
3
2
2
sina0
2
1
2
2
2
3
10--10
cosa1
2
3
2
2
2
1
0--101
tana0
3
3
1
3
∞0--∞0
cota∞
3
1
3
3
0--∞0∞
7.倍角公式：
（1）cossin22sin（2）
2tan1
tan2
2tan
....
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（3）2222sin211cos2sincos2cos
8.半角公式（降幂公式）：
（1）（
2
sin
）2=
2
cos1a
（2）（
2
cos
）
2=
2
cos1a
（3）
2
tan
=
a
a
sin
cos1
=
a
a
cos1
sin
9、三角函数与反三角函数关系：
（1）若x=siny，则y=arcsinx（2）若x=cosy，则y=arccosx
（3）若x=tany，则y=arctanx（4）若x=coty，则y=arccotx
10、函数定义域求法：
（1）分式中的分母不能为0，（
a
1
α≠0）
（2）负数不能开偶次方，（
a
α≥0）
（3）对数中的真数必须大于0，（N
a
logN>0）
（4）反三角函数中arcsinx，arccosx的x满足：（--1≤x≤1）
（5）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。
11、直线形式及直线位置关系：
（1）直线形式：点斜式：
00
xxkyy
斜截式：y=kx+b
两点式：12
1
12
1
xx
xx
yy
yy
（2）直线关系：
111
:bxkyl
222
:bxkyl
平行：若
21
//ll，则
21
kk
垂直：若
21
ll
，则
1
21
kk
....
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常用公式表（二）
1、求导法则：（1）（u+v）/=u/+v/（2）（u-v）/=u/-v/
（3）（cu）
/=cu/（4）（uv）/=uv/+u/v（5）
2v
vuvu
v
u
2、基本求导公式：
（1）（c）
/=0（2）（xa
）
/=ax1a（3）（ax
）
/=axlna
（4）（e
x
）
/=ex（5）（㏒ax）/=
axln
1
（6）（lnx）/=
x
1
（7）（sinx）
/=cosx（8）（cosx）/=-sinx
（9）（tanx）
/=
2)(cos
1
x
=（secx）2
（10）（cotx）
/=-
2)(sin
1
x
=-（cscx）2
(11)(secx)/=secx*tanx(12)(cscx)/=-cscx*cotx
(13)(arcsinx)/=
21
1
x
(14)(arccosx)/=-
21
1
x
(15)(arctanx)/=21
1
x
(16)
21
1
cot
x
xarc
3、微分
（1）函数的微分：dy=y
/dx
（2）近似计算：|Δx|很小时，fxx
0
=f（x0）+f
/
（x0）*
x
4、基本积分公式
（1）kdx=kx+c（2）
Cx
a
dxxaa
1
1
1
（3）
cxdx
x
ln
1
（4）
C
a
a
dxa
x
x
ln
....
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（5）
cedxexx
（6）Cxxdxcossin
（7）Cxxdxsincos
（8）
Cxdx
x
xdxtan
cos
1
sec
2
2
（9）
cxdx
x
xdxcot
sin
1
csc
2
2
（10）
cxdx
x
arcsin
1
1
2
（11）
cxdx
x
arctan
1
1
2
5、定积分公式：
（1）
b
a
b
a
dttfdxxf)()(
（2）
a
a
dxxf0)(
（3）dxxfdxxf
a
b
b
a（4）
b
a
c
a
b
c
dxxfdxxfdxxf)()()(
（5）若f（x）是[-a,a]的连续奇函数，则
a
a
dxxf0)(
（6）若f（x）是[-a,a]的连续偶函数，则:
6、积分定理：
（1）xfdttf
x
a
xaxafxbxbfdttfxb
xa
2
（3）若F（x）是f（x）的一个原函数，则
)()()()(aFbFxFdxxfb
a
b
a
7.积分表
Cxxxdxtanseclnsec1Cxxxdxcotcsclncsc2
C
a
x
a
dx
xa
arctan
11
3
22
C
a
x
dx
xa
arcsin
1
4
22
a
a
a
dxxfdxxf
0
)(2)(
....
..资.料...
C
ax
ax
a
dx
ax
ln
2
11
5
22
8．积分方法
baxxf1；设：tbax
222xaxf；设：
taxsin
22axxf；设：taxsec
22xaxf；设：taxtan
3分部积分法：vduuvudv
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