曲边梯形的面积

曲边梯形的面积

voices-配电室管理制度

2023年2月21日发(作者：机房温度)

诚西郊市崇武区沿街学校东范大学附

属中学高中数学1.5.1,.2曲边梯形的

面积和汽车行驶的路程教案理A版选修

2-2

【教学目的】:⑴通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、以曲代直、

逼近、求和；

⑵进一步感受有限与无限的联络和极限的思想在数学和理论中的应用；

⑶通过求曲边梯形的面积，掌握划归和极限的数学思想方法运用。

【教学重点】：求曲边梯形的面积。

【教学难点】：深化理解“分割、以曲代直、求和、逼近〞的思想。

【教学过程】：

1.求以下图中阴影局部的面积：

2.对于哪些图形的面积，大家会求呢？

【交流点拨】

〔一〕问题引入：对于0x，1x，0y，

2yx围成的图形〔曲边三角形〕的面积如何来求呢？

〔一问激起千层浪，开门见山，让学生明确本节课的所要学习的内容，对于学生未知的东西，学生往往

比较好奇，激发他们的求知欲〕

今天我们一起来探究这种曲边图形的面积的求法。

〔二〕学生活动

1、让学生自己探求，讨论〔3—4分钟〕

2、让学生说出自己的想法

希望学生说出以⊿OAB的面积近似代替曲边三角形的面积，但误差很大，如何减小误差呢？希望学生讨论

得出将曲边三角形进展分割，形成假设干个曲边梯形。〔在讨论的过程中浸透分割的思想〕

问题：如何计算每个曲边梯形的面积呢？〔通过讨论希望学生能出以下三种方案，在讨论

方案一方案二方案三

方案一：用一个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，小矩形的

面积就可以近视代替曲边梯形的面积。

方案二：用一个大矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，梯形分割的越多，三角形的面积越小，大矩

形的面积来近似代替曲边梯形的面积。

方案三：以梯形的面积来近似代替曲边梯形的面积。

〔对于其中的任意一个曲边梯形，我们可以用“直边〞来代替“曲边〞〔即在很小的范围内以直代曲〕，

这三种方案是本节课内容的核心，故多花点时间是是引导学生探求，讨论得出，让学生体会“以曲代直〞

的思想，从近似中认识准确，给学生探求的时机〕

总结：这样，我们就可以计算出任意一个小曲边梯形的面积的近似值，从而可以计算出整个曲边三角形

面积的近似值，〔求和〕，并且分割越细，面积的近似值就越准确，当分割无限变细时，这个近似值就无

限逼近所求的曲边三角形的面积。如何求这个曲边三角形的面积，以方案一为例：

⑴分割细化

将区间0,1等分成n个小区间

1

0,

n







，

12

,

nn







，…，

1

,

ii

nn









，…，

1

,

nn

nn









，每个区间的

长度为

11ii

x

nnn



〔学生答复〕，过各个区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，

它们的面积分别记作，.,,,

21ni

SSSS。

⑵以直代曲

对区间

1

,

ii

nn









上的小曲边梯形，以区间左端点

1i

n



对应的函数值

211ii

f

nn











为一边的

长，以

n

x

1

为邻边的长的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积。

即

nn

i

x

n

i

fS

i

1

)

1

()

1

(2•









〔当分割很细时，在

1

,

ii

nn









上任一点的函数值作为矩形的一边长都可以，常取左右端点或者者中点，

这样为以后定积分的定义埋下了伏笔，为学生的解题提供了方法〕

⑶作和

因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形面积之和就是所求曲边三角

形面积S的近似值：

n

SSSS

21

=





n

i

i

S

1

〔复习符号的运用〕

2

1

11n

i

i

nn















⑷逼近

当分割无限变细时，即x无限趋近于0〔n趋向于〕

当n趋向时，

1

1

n

无限趋近于1，

1

2

n

无限趋近于2，故上式的结果无限趋近于

1

3

，

1

3

S，

即所求曲边三角形面积是

1

3

。〔在逼近的过程中，难点是求

2222

1

123121

6

nnnn在此应给学生一些时间是是探求自然数的平方和，

最好在讲数列知识时补充进去。新教材有很多知识点前后顺序编排的有所不妥，有好多知识应该先有伏

笔，而不是要用到什么就补充什么，在研究解析几何中直线局部时，这个问题也有所表达〕

3、分成两组，分别以方案二、方案三按上述四个步骤重新计算曲边三角形的面积，并将操作过程和计算

结果与方案一进展比较。

【拓展建构】

例1.求由直线y=2x+1与直线x=0,x=1和y=0所围成的平面图形的面积S

【解】〔1〕分割

在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点，将它等分成n个小区间：

].1,

1

[],

1

[,],

2

,

1

[],

1

,0[

n

n

n

i

n

i

nnn



•••



•••分别过上述n-1个分点作垂线，把曲边梯形分成n个

小曲边梯形。它们的面积记作

;,,,,

1

21



••••••

n

i

ini

sSssss则

〔2〕近似代替

记f(x)=2x+1,当n很大时，第i个小曲边梯形的面积

i

s

可以用小矩形〔以

n

1

为底，)

1

(

n

i

f



为高〕

的面积

'

i

s近似代替，那么有：

;),,,2,1(

1

)1(

21

)1

1

2(

1

)

1

(

1

''

2

'



•



••





n

i

inii

SSni

n

i

nn

n

nn

i

fSS

n

记

〔3〕求和

〔4〕取极限

当n趋向于无穷大时，Sn

'

趋向于S,从而有：

S=

.2)

1

2(lim

1

)

1

(limlim

1

'•











n

i

nn

n

innn

i

fS

【梯度训练】

1.函数f(x)=x2在区间【〔i-1〕/n,i/n】上〔〕

A.f(x)的值变化很小B．f(x)的值变化很大

C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小

2.由y=x,x=0,x=1,y=0围成图形的面积为

3.求直线x=0,y=0与曲线

2xy所围成的曲边梯形的面积。

六、跟进反思：

1.5.2汽车行驶的路程

【教学过程】：

1．连续函数的概念；

2．求曲边梯形面积的根本思想和步骤；

利用导数我们解决了“物体运动路程与时间是是的关系，求物体运动速度〞的问题．反之，假设物

体的速度与时间是是的关系，如何求其在一定时间是是内经过的路程呢？

三、交流点拨

问题引入：

汽车以速度v组匀速直线运动时，经过时间是是t所行驶的路程为Svt．假设汽车作变速直线运

动，在时刻t的速度为22vtt〔单位：km/h〕，那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间是是内行

驶的路程S〔单位：km〕是多少？

分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变〞的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归

为匀速直线运动的路程问题．把区间0,1分成n个小区间，在每个小区间上，由于vt的变化很小，

可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得S〔单

位：km〕的近似值，最后让n趋紧于无穷大就得到S〔单位：km〕的准确值．〔思想：用化归为各个小

区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程〕．

1．分割

在时间是是区间0,1上等间隔地插入1n个点，将区间0,1等分成n个小区间：

1

0,

n







，

12

,

nn







，…，

1

,1

n

n









记第i个区间为

1

,(1,2,,)

ii

in

nn











，其长度为

把汽车在时间是是段

1

0,

n







，

12

,

nn







，…，

1

,1

n

n









上行驶的路程分别记作：

1

S，

2

S，…，

n

S

显然，

1

n

i

i

SS





2.近似代替

当n很大，即t很小时，在区间

1

,

ii

nn









上，可以认为函数22vtt的值变化很小，

近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点

1i

n



处的函数值

211

2

ii

v

nn











，从

物理意义上看，即使汽车在时间是是段

1

,(1,2,,)

ii

in

nn











上的速度变化很小，不妨认为它

近似地以时刻

1i

n



处的速度

211

2

ii

v

nn











作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速

代变速〞，于是的用小矩形的面积

i

S



近似的代替

i

S，即在局部范围内“以直代取〞，那么有

2111

2

ii

ii

SSvt

nnn





















2112

(1,2,,)

i

in

nnn











①

3.求和

由①，

2

111

1112nnn

ni

iii

ii

SSvt

nnnn

























=

2211111

02

n

nnnnn











=2

22

3

1

1212n

n







=



3

121

1

2

6

nnn

n



=

111

112

32nn









从而得到S的近似值

111

112

32n

SS

nn









4.取极限

当n趋向于无穷大时，即t趋向于0时，

111

112

32n

S

nn









趋向于S，从而有

考虑：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S与由直线0,1,0ttv和曲线

22vt所围成的曲边梯形的面积有什么关系？

结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程lim

n

n

SS



在数据上等于由直线0,1,0ttv和曲线

22vt所围成的曲边梯形的面积．

一般地，假设物体做变速直线运动，速度函数为vvt，那么我们也可以采用分割、近似代替、

求和、取极限的方法，利用“以不变代变〞的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤t≤b内所作的位移S．

四、拓展建构

例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力Fxkx〔k为常数，

x

是伸长量〕，求弹簧

从平衡位置拉长b所作的功．

分析：利用“以不变代变〞的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．

解：将物体用常力F沿力的方向挪动间隔x，那么所作的功为WFx．

〔1〕分割

在区间0,b上等间隔地插入1n个点，将区间0,1等分成n个小区间：

0,

b

n







，

2

,

bb

nn







，…，

1

,

nb

b

n









记第i个区间为

1

,(1,2,,)

ib

ib

in

nn













，其长度为

把在分段0,

b

n







，

2

,

bb

nn







，…，

1

,

nb

b

n









上所作的功分别记作：

1

W，

2

W，…，

n

W

〔2〕近似代替

有条件知：

11

i

ibib

b

WFxk

nnn











(1,2,,)in

〔3〕求和

=

222

22

1

1

01211

22

nn

kbkbkb

n

nnn















从而得到W的近似值

21

1

2n

kb

WW

n









〔4〕取极限

所以得到弹簧从平衡位置拉长b所作的功为：

2

2

kb