对数函数的图像
hohner-安全环保标语
2023年2月21日发(作者：一箪食一豆羹)中小学个性化辅导专家
天材教育
天材教育学科教师辅导讲义
学员姓名：储晓倩年级：高一课时数：3
辅导科目：数学学科教师：吕莹莹
学科组长签名及日期教务长签名及日期
课题函数定义域，值域，解析式
授课时间：2011年1月25日13：00-15：00备课时间：2011年1月20日
教学目标
理解对数函数的概念，掌握它们的基本性质，进一步领会研究函数的基本方法
复习与实例引入、利用互为反函数的关系研究图像与性质
体会对数函数的应用价值，体验数学建模、求解和解释的过程
重点、难点
对数函数的概念；对数函数的性质；研究函数的方法，对数函数的性质
考点及考试要求函数的考纲要求
教学内容
一．复习：反函数的概念；通过实例和反函数的概念导出对数函数的概念
通过关于细胞分裂的具体实例，直接了解对数函数模型所刻画的数量关系，使学生科学的发展源于实际生活，感
受到指数函数与对数函数的密切关系：它们是从不同角度、不同需求看待同一个客观事实，前者根据细胞分裂次
数，获得分裂后的细胞数；后者根据分裂后的细胞数，获得分裂的次数.前者用指数函数2xy表示，后者用对
数函数
2
logyx.
（1）引入：在我们学习研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题.某种细胞分裂时，得到的细胞的个数
y
是分裂次数x的函数，这个函数可用指数函数2xy表示.
现在来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，可以得到1万个、10万个、„„细胞，那么
分裂次数x就是要得到的细胞个数
y
的函数.根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式，就是
2
logxy.
如果用x表示自变量，
y
表示函数，这个函数就是
2
logyx
由反函数的概念，可知函数
2
logyx与指数函数2xy互为反函数.
（2）定义：一般地，函数log
a
yx（0,a且
1a
）就是指数函数xya（0,a且
1a
）的反函数.
中小学个性化辅导专家
天材教育
因为xya的值域是0,，所以，函数log
a
yx的定义域是0,.
二．通过对数函数和指数函数的关系利用互为反函数的两函数的关系探求对数函数的图像和性质
提问绘制图像的方法：（1）利用反函数的关系；（2）描点绘图
图像
Ｙ
ＯＸ
性质
对数函数log
a
yx
1a01a
性质1.对数函数log
a
yx的图像都在Ｙ轴的右方.
性质2.对数函数log
a
yx的图像都经过点（1，0）
性质3.当
1x
时，0y；当
1x
时，0y；
当
01x
时，0y.当
01x
时，0y.
性质4.对数函数在0,上是增函数.对数函数在0,上是减函数.
三．掌握对数函数的图像和性质———巩固与应用对数函数的性质解决简单问题
例1.求下列函数的定义域：
21log
a
yx；（2）2log(4)
a
yx；（3）log
4a
x
y
x
.
解（1）因为20x，即
0x
，所以函数2log
a
yx的定义域是,00,.
（2）因为240x，即240x，所以函数2log(4)
a
yx的定义域是2,2.
（3）因为
0
4
x
x
，即40xx，所以函数
log
4a
x
y
x
的定义域是0,4.
例2.利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）
3
log5和
3
log7;(2)
0.5
log3和
0.5
log；（3）
1
log
2a
和
1
log
3a
，其中0,1aa
解（1）因为对数函数
3
logyx在0,上是增函数，又
57
，所以
3
log5<
3
log7.
（2）因为对数函数
0.5
logyx在0,上是减函数，又3<,所以
0.5
log3>
0.5
log.
中小学个性化辅导专家
天材教育
(3)①当1a时，因为对数函数log
a
yx在0,上是增函数，又
11
23
，所以
1
log
2a
>
1
log
3a
.
②当
01a
时，因为对数函数log
a
yx在0,上是减函数，又
11
23
，所以
1
log
2a
<
1
log
3a
.
例3.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数144lg1
90
N
t
中，t表示达到某一英文打字水
平（字/分）所需的学习时间（时），
N
表示每分钟打出的字数（字/分）.
（1）计算要达到20字/分、40字/分所需的学习时间；（精确到“时”）
（2）利用（1）的结果，结合对数性质的分析，作出函数的大致图像
解（1）用计算器计算，得
N
＝20时，t＝16；
N
＝40时，t＝37.
所以，要达到这两个水平分别需要时间16小时和37小时.
(2)由1
90
N
>0，得
N
<90.当
N
增大时，1
90
N
随
N
得增大而减小.
又lgyx为递增函数，lg1
90
N
随
N
得增大而减小.
从而有144lg1
90
N
随
N
得增大而增大，所以144lg1
90
N
t
为递增函数.
由（1）知函数图像过点（20，16）、（40，37）.
另外，当
N
=0时t＝0，所以函数图像过点（0，0）.Ｏ
根据上述这些点得坐标描点作图
【生活实际运用】
美国的物价从1939年的100增加到40年后1979年的500.如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几?(注
意：自然对数lnx是以e=2.718„为底的对数.本题中增长率x＜0.1，可用自然对数的近似公式：ln(1+x)≈x,取
lg2=0.3，ln10=2.3来计算＝
美国物价每年增长约百分之四.
【知识探究学习】
某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：
(1)写出该城市人口总数x(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年).
解：(1)1年后该城市人口总数
y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)
2年后该城市人口总数为
y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%
=100×(1+1.2%)2
同理，3年后该市人口总数为y＝100×(1+1.2%)3.
x年后该城市人口总数为y＝100×(1+1.2%)x；
中小学个性化辅导专家
天材教育
(2)10年后该城市人口总数为y＝100×(1+1.2%)10＝100×1.01210≈112.7(万人)
(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即
100×(1+1.2%)x=120,
x=log1.012100
120
=log1.012
1.20≈15(年)
例4.已知logm5＞logn5，试确定m和n的大小关系.
n＞m＞1，或0＜m＜n＜1，或0＜n＜1＜m.
例5.设常数a＞1＞b＞0，则当a,b满足什么关系时，lg(ax-bx)＞0的解集为｛x｜x＞1｝.a=b+1
例6：已知
x
x
xf
a
1
1
log)(（1,0aa）
(1)求f(x)的定义域(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(3)求使f(x)＞0的x的取值范围．
解：（1）令,0
1
1
x
x
得
0
1
1
x
x
，
即(x+1)(x-1)＜0，
故f(x)的定义域为(-1，1)．
又因为f(x)的定义域关于原点对称，所以f(x)是奇函数．
变式：求函数)183(log2
2
1
xxy的单调区间，并用单调定义给予证明。
解：定义域3601832xxxx或
单调区间是),6(设
2121
),6(,xxxx且则
)183(log
1
2
1
2
11
xxy)183(log
2
2
2
2
12
xxy
)183(
1
2
1
xx)183(
2
2
2
xx=)3)((
1212
xxxx
中小学个性化辅导专家
天材教育
∵6
12
xx∴0
12
xx03
12
xx
∴183
2
2
2
xx183
1
2
1
xx又底数1
2
1
0
∴0
12
yy
12
yy
∴
y
在),6(上是减函数。
练习：
1.求下列函数的定义域
（1）2log
a
yx（2）log(4)
a
yx（a＞0且a≠1）
（3）
0.2
log(6)yx；(4))(log2xxy
a
(5))52(log2
2
xxy
(6))54(log2
3
1
xxy
2.比较下列各组数中的两个值大小
22
log3.4,log8.5
0.30.3
log1.8,log2.7log5.1,log5.9
aa
（a＞0，且a≠1）
22
log3log3.5和
0.30.2
log4log0.7和
0.70.7
log1.6log1.8和
3.求函数f(x)=loga(ax+1)(a＞1且a≠1)的反函数.
(i)当a＞1时，由ax-1＞0x＞0；loga(ax+1)的反函数为f-1(x)=loga(ax-1)，x＞0；当0＜a＜1时，f-1(x)=loga(ax-1)，
x＜0.
回家作业：
一、选择题
1.函数y=(0.2)-x+1的反函数是()
A.y=log5x+1B.y=klogx5+1
C.y=log5(x-1)D.y=log5x-1
中小学个性化辅导专家
天材教育
2.函数y=log0.5(1-x)(x＜1＝的反函数是().
A.y=1+2-x(x∈R)B.y=1-2-x(x∈R)
C.y=1+2x(x∈R)D.y=1-2x(x∈R)
3.当a＞1时，函数y=logax和y=(1-a)x的图像只可能是()
4.函数f(x)=lg(x2-3x+2)的定义域为F，函数g(x)=lg(x-1)+lg(x-2)定义域为G，那么()
A.F∩G=B.F=
5.已知0＜a＜1,b＞1，且ab＞1，则下列不等式中成立的是()
1
＜logab＜logab
1
＜logbb
1
＜logab
1
＜logab
1
＜logbb
1
1
＜logab
1
＜logab
6.函数f(x)=2log
2
1
x的值域是［-1，1］，则函数f-1(x)的值域是()
A.［
2
2
，2］B.［-1，1］C.［
2
1
，2］D.(-∞，
2
2
)∪2，+∞)
7.函数f(x)=log
3
1
(5-4x-x2)的单调减区间为()
A.(-∞，-2)B.［-2，+∞］C.(-5，-2)D.［-2，1］
8.a=log0.50.6，b=log
2
0.5，c=log
3
5，则()
A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.a＜c＜bD.c＜a＜b
二、填空题
1.将(
6
1
)0，2，log2
2
1
,log0.5
2
3
由小到大排顺序：
2.已知函数f(x)=(log
4
1
x)2-log
4
1
x+5,x∈［2，4］，则当x=，f(x)有最大值；当x=
时，f(x)有最小值.
3.函数y=
)xlog1(log2
2
2
1
的定义域为，值域为.
4.函数y=log
3
1
2x+log
3
1
x的单调递减区间是.
三、解答题
1.求函数y=log
2
1
(x2-x-2)的单调递减区间.
中小学个性化辅导专家
天材教育
2.求函数f(x)=log21
1
x
x
+log2(x-1)+log2(p-x)的值域.
答案：
一、1.C2.B3.B4.D5.B6.A7.C8.B
二、0.52
1
＜(log23
2
)＜(
6
1
)0＜22.4，7，2，
4
23
3.(
2
2
，1)∪［-1，-
2
2
］，［0，+∞］4.(0，
3
3
)
三、1.(
2
1
，+∞)2.(-∞，2log2(p+1)-2］.
中小学个性化辅导专家
天材教育