行列式加法

行列式加法

戏曲舞台-缀网劳蛛

2023年2月21日发(作者：安全疏散距离)

计算n阶行列式的若干方法举例

n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某

一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目

的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面

介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算

例计算行列式

0010

0200

1000

000

n

D

n

n





解D

n

中不为零的项用一般形式表示为

112211

!

nnnnn

aaaan





.

该项列标排列的逆序数t（n－1n－2…1n）等于

(1)(2)

2

nn

，

故

(1)(2)

2(1)!.

nn

n

Dn





2．利用行列式的性质计算

例：一个n阶行列式

nij

Da

的元素满足

,,1,2,,,

ijji

aaijn

则称D

n

为

反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.

证明：由

ijji

aa知

iiii

aa，即0,1,2,,

ii

ain

故行列式D

n

可表示为

12131

12232

13233

123

0

0

0

0

n

n

nn

nnn

aaa

aaa

Daaa

aaa







，由行列式的性质AA



，

12131

12232

13233

123

0

0

0

0

n

n

nn

nnn

aaa

aaa

Daaa

aaa







12131

12232

13233

123

0

0

(1)0

0

n

n

n

n

nnn

aaa

aaa

aaa

aaa







(1)n

n

D

当n为奇数时，得D

n

=－D

n

，因而得D

n

=0.

3．化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘

积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。

这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角

形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。

原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列

式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其

作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

例1计算行列式

11231

33795

20421

357146

4410102

D













．

解这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．

例2计算n阶行列式

123

123

123

123

1

1

1

1

n

n

n

n

aaaa

aaaa

Daaaa

aaaa









．

解这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相

似，因此n列之和全同．将第2，3，…，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第

一列的元素全是1．

例3计算n阶行列式

abbb

babb

D

bbab

bbba



解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，

3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得

例4：浙江大学2004年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第2小题（重庆大学2004

年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第1小题）的解答中需要计算如下行列式的值：

[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性

质。注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，

先从第n-1列开始乘以－1加到第n列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘

以－1加到第2列。然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就

简单多了。

解：

4．降阶法（按行（列）展开法）

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉

斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列

式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

例1、计算20阶行列式

20

123181920

212171819

321161718

201918321

D

[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许

多多个2阶行列式计算，需进行20！*20－1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成

的，更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结

果。

注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：

解：

例2计算n阶行列式

0001

0000

0000

0000

1000

n

a

a

a

D

a

a



解将D

n

按第1行展开

1

000000

000000

(1)

000

000

0001000

n

n

aa

aa

Da

a

a

a



12(1)(1)nnnnaa2nnaa

.

例3计算n（n≥2）阶行列式

0001

0000

0000

1000

a

a

D

a

a



．

解按第一行展开，得

1

000

000

000

000

1

000

000

1000

n

a

a

a

a

Da

a

a



．

再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到

111

2222111nn

nnnnnDaaaaaa



．

5．递（逆）推公式法

递推法是根据行列式的构造特点，建立起与?的递推关系式，逐步推下去，

从而求出的值。有时也可以找到与，的递推关系，最后利用?，

得到??的值。

［注意］用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难

找出递推关系式，从而不能使用此方法。

例1计算行列式























1000

000

0010

001

000











n

D

.

解：将行列式按第n列展开,有

21

)(





nnn

DDD

,

得nn

nnnn

DDDDDD



)()(

12

2

32

2

1

。

同理得n

nn

DD

1

,





















.,

;,)1(

11









nn

n

n

n

D

例2计算

ayyy

xayy

xxay

xxxa

D

n













解

同理

1

1

)()(



n

nn

yaxDxaD

联立解得

)(,

)((

yx

yx

xayyax

D

nn

n









）

当yx时,

例3计算n阶行列式

1221

1000

0100

0000

0001

n

nnn

x

x

x

D

x

aaaaax













．

解首先建立递推关系式．按第一列展开，得：

这里

1n

D



与

n

D有相同的结构，但阶数是

1n

的行列式．

现在，利用递推关系式计算结果．对此，只需反复进行代换，得：

因

111

Dxaxa，故1

11

nn

nnn

Dxaxaxa



．

最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的．

当

1n

时，显然成立．设对

1n

阶的情形结果正确，往证对n阶的情形也正确．由

121

112111

nnnn

nnnnnnnn

DxDaxxaxaxaaxaxaxa



，

、

可知，对n阶的行列式结果也成立．根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．

例4证明n阶行列式

210000

121000

1

000121

000012

n

Dn

．

证明按第一列展开，得

210000100

121000121

2

000121000

000012000

n

D

．

其中，等号右边的第一个行列式是与

n

D有相同结构但阶数为

1n

的行列式，记作

1n

D



；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与

n

D有相同结构但阶数为

2n

的行列式，记作

2n

D



．

这样，就有递推关系式：

12

2

nnn

DDD



．

因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确

的．

当

1n

时，

1

2D，结论正确．当

2n

时，

2

21

3

12

D

，结论正确．

设对

1kn≤

的情形结论正确，往证

kn

时结论也正确．

由

12

2211

nnn

DDDnnn



可知，对n阶行列式结果也成立．

根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．

例5、2003年福州大学研究生入学考试试题第二大题第10小题要证如下行列式等式：

（虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之。）

［分析］此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素

都为零，这种行列式称“三对角”行列式[1]。从行列式的左上方往右下方看，即知D

n-1

与D

n

具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。

证明：D

n

按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：

这是由D

n-1

和D

n-2

表示D

n

的递推关系式。若由上面的递推关系式从n阶逐阶往低阶递

推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n阶行列式，因

此，可考虑将其变形为：

或

11212nnnnnn

DDDDDD

－－－－－

－＝－＝（－）

现可反复用低阶代替高阶，有：

同样有：

因此当时

由（1）（2）式可解得：

11nn

n

D











，证毕。

6．利用范德蒙行列式

根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行

（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去；...)把所求行列式化成已知的或简单的

形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。

例1计算行列式

12

222

1122

121212

1122

111

111

n

nn

nnnnnn

nn

xxx

Dxxxxxx

xxxxxx







解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到

把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式

例2计算

1n

阶行列式

1221

11111111

1221

22222222

1221

11111111

nnnnn

nnnnn

nnnnn

nnnnnnnn

aabababb

aabababb

D

aabababb











．其中

121

0

n

aaa



．

解这个行列式的每一行元素的形状都是

nkk

ii

ab

，

k

0，1，2，…，n．即

i

a按降幂

排列，

i

b按升幂排列，且次数之和都是n，又因0

i

a，若在第i行（i1，2，…，n）提

出公因子n

i

a，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即

例3计算行列式

xyxzyz

zyx

zyx

D222

.

解：

例4计算行列式

n

n

nn

n

n

nn

n

n

n

xxx

xxx

xxx

xxx

D













21

22

2

2

1

22

2

2

1

21

111





解作如下行列式,使之配成范德蒙行列式

nn

n

nn

nn

n

nn

nn

n

nn

n

n

yxxx

yxxx

yxxx

yxxx

yxxx

yP















21

111

2

1

1

222

2

2

1

222

2

2

1

21

1111

)(







=





nij

ji

n

i

i

xxxy

11

)()(

易知

n

D等于)(yP中1ny的系数的相反数,而)(yP中1ny的系数为











nij

ji

n

k

k

xxx

1

1

)(

,因此,









n

k

nij

jikn

xxxD

1

1

)(

例5、计算n阶行列式

解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把

它化为范德蒙行列式的类型。

先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式

的第n行与第n-1行，n-2行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行

对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到

上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：

7．加边法（升阶法）

加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。

它要求：1保持原行列式的值不变；2新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的

特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第

列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况。

例1计算n阶行列式

12

12

12

12

n

n

nn

n

xaaa

axaa

Daaa

aaxa









解：

1

1

0

0

n

n

n

aa

D

D



12

1

100

2,,1

100

100

n

i

aaa

x

in

x

x









第行减第1行

例2计算n（n≥2）阶行列式

1

2

3

1111

1111

1111

1111

n

n

a

a

Da

a









，其中

12

0

n

aaa．

解先将

n

D添上一行一列，变成下面的

1n

阶行列式：

1

12

1111

0111

0111

0111

n

n

a

Da

a









．显然，

1nn

DD



．

将

1n

D



的第一行乘以1后加到其余各行，得

1

12

1111

100

1010

100

n

n

a

Da

a









．

因0

i

a，将上面这个行列式第一列加第i（

2i

，…，

1n

）列的

1

1

i

a



倍，得：

8．数学归纳法

当与??是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。一般是利用不完全

归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般

是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其

值，然后再去证明。（数学归纳法的步骤大家都比较熟悉，这里就不再说了）

例1计算n阶行列式

1221

1000

0100

0001

n

nnn

x

x

D

x

aaaaax













解：用数学归纳法.当n=2时，

212

21

1

()

x

Dxxaa

axa







2

12

xaxa

假设n=k时，有12

121

kkk

kkk

Dxaxaxaxa





则当n=k+1时，把D

k+1

按第一列展开，得

由此，对任意的正整数n，有12

121

nn

nnnn

Dxaxaxaxa





例2计算行列式











cos21000

1cos2000

00cos210

001cos21

0001cos















n

D

.

解：

2cos,cos

21

DD,于是猜想

nD

n

cos.

证明：对级数用第二数学归纳法证明.

1n时,结论成立.假设对级数小于n时，结论成立.将n级行列式按第n行展开，有



















nn

nnn

nn

DD

DD

n

n

n

n

n

n

nn

cos])1cos[(

sin)1sin(cos)1cos()1cos(cos2

)2cos()1()1cos(cos2

)1(cos2

11000

0cos2000

00cos210

001cos21

0001cos

)1(cos2

12

2

12

1

1

12

1





































.

例3计算行列式

解：

猜测：

证明

（1）n=1,2,3时，命题成立。假设n≤k–1时命题成立,考察n=k的情形：

故命题对一切自然数n成立。

9．拆开法

拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的

性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的。使问题

简化以利计算。

例1计算行列式

n

D

112

122

12

n

n

nn

aaa

aaa

aaa













解：

n

D

12

122

12

n

n

nn

aaa

aaa

aaa









12

22

0

00

n

n

nn

aa

aa

a













12

2

0

00

n

n

n

aaa

a





11n

D





1211nn

aD



=……

12

1

1

n

i

n

i

i

a

















．

例2计算n（n≥2）阶行列式

11121

21222

12

12

12

12

n

n

n

nnnn

xyxynxy

xyxynxy

D

xyxynxy









．

解将

n

D按第一列拆成两个行列式的和，即

12111121

22221222

212

122

122

122

nn

nn

n

nnnnnnn

xynxyxyxynxy

xynxyxyxynxy

D

xynxyxyxynxy









．

再将上式等号右端的第一个行列式第i列（

2i

，3，…，n）减去第一列的i倍；第二个行

列式提出第一列的公因子

1

y，则可得到

当n≥3时，0

n

D．当

2n

时，

22121

2Dxxyy．

例3计算n阶行列式

n

xaaa

axaa

D

aaxa

aaax









，（

0a

）．

解将第一行的元素都表成两项的和，使

n

D变成两个行列式的和，即

将等号右端的第一个行列式按第一行展开，得：

1

000

n

xa

axaa

xaD

aaxa

aaax













．

这里

1n

D



是一个与

n

D有相同结构的

1n

阶行列式；将第二个行列式的第一行加到其余各

行，得：

于是有1

1

n

nn

DxaDaxa



（1）

另一方面，如果将

n

D的第一行元素用另一方式表成两项之和：

000xaaaaa

仿上可得：1

1

n

nn

DxaDaxa



（2）

将（1）式两边乘以xa，（2）式两边乘以xa，然后相减以消去

1n

D



，得：



2

nn

n

xaxa

D



．

．

计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算n阶行列式的常见

方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选

用方法。

总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用

的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用

多种方法求出行列式的值。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式

的计算。

5.消去法求三对角线型行列式的值

例6求n阶三对角线型行列式的值：

?????（1）

的构造是：主对角线元全为2，主对角线上方第一条次对角线与下方第一条次对角线的元全为1，其余的

元全为0。

解用消去法，把中主对角线下方第一条次对角线的元1全部消成0：首先从第二行减去第一行的倍，

于是第二行变为

其次从第三行减去第二行（指新的第二行，以下同）的倍，则第三行变为

再从第四行减去第三行的倍，则第四行变为

类似地做下去，直到第n行减去第n–1行的倍，则第n行变为

最后所得的行列式为

???????（2）

上面的行列式是三角型行列式，它的主对角线元顺次为

?????????93）

又主对角线下方的元全为0。故的值等于（3）中各数的连乘积，即。

注3一般的三对角线型行列式

???????????（4）

也可以按上述消去法把次对角线元全部消去，得到一个三角型行列式，它的值等于该三角型行

列式的主对角线元的连乘积。

9.因式分解法

如果行列式D是某个变数x的多项式)(xf，可对行列式施行某些变换，求出)(xf的互不相同的一次

因式，设这些一次因式的乘积为)(xg，则)()(xcgxfD，再比较)(xf与)(xg的某一项的系数，求

出c值.

例8计算行列式

1321

321

311

321









x

nx

nx

n

D

n











.

解:注意1x时，,0

n

D所以，

n

Dx|1.同理)1(,,2nxx均为

n

D的因式

又ix与)(jijx各不相同所以

n

Dnxxx|)1()2)(1(

但

n

D的展开式中最高次项1nx的系数为1，所以)1()2)(1(nxxxD

n



注：此题也可将的第行减去第一行化为三角形行列式计算.

三、行列式的计算方法