直线两点式
日记100字初中-水闸设计规范
2023年2月21日发(作者：咳嗽不能吃的东西)1
数学（高二上）导学案
教学内容3.2.2直线的两点式方程3．2.3直线的一般式方程
编制人审核人
执教教师
学习
目标
1．会根据条件写出直线的两点式方程和截距式方程．
2．了解二元一次方程与直线的对应关系，掌握直线方程的一般形式．
学情分析
教学措施
重点难
点分析
重点：直线的两点式方程和截距式方程．
难点：二元一次方程与直线的对应关系．
教学过程
一、自主预习教学思路（二次备课）
[知识链接]
1．直线的点斜式方程为y－y
0
＝k(x－x
0
)．
2．直线的斜截式方程为y＝kx＋b.
3．经过两点P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)的直线的斜率k＝
y
2
－y
1
x
2
－x
1
(x
1
≠x
2
)．
[预习导引]
1．直线的两点式、截距式方程
(1)经过两点P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)且x
1
≠x
2
，y
1
≠y
2
的直线方程
y－y
1
y
2
－y
1
＝
x－x
1
x
2
－x
1
，叫做直线的两点式方程．
(2)直线l与x轴交点A(a,0)；与y轴交点B(0，b)，其中a≠0，b≠0，
2
则得直线方程
x
a
＋
y
b
＝1，叫做直线的截距式方程．
(3)若点P
1
，P
2
的坐标分别为(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)且线段P
1
P
2
的中点
M的坐标为(x，y)，则
x＝
x
1
＋x
2
2
y＝
y
1
＋y
2
2
.
2．直线的一般式方程
(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示
这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一
次方程都表示一条直线．方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为
0)叫做直线方程的一般式．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－
A
B
，在
y轴上的截距为－
C
B
；当B＝0时，在x轴上的截距为－
C
A
；当AB≠0
时，在两轴上的截距分别为－
C
A
，－
C
B
.
二、合作探究归纳展示
要点一直线的两点式方程
例1已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
解(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
∴由两点式得
y－－4
－2－－4
＝
x－5
0－5
，即2x＋5y＋10＝0.
故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
(2)BC中点M(x
0
，y
0
)，则x
0
＝
5＋0
2
＝
5
2
，y
0
＝
－4＋－2
2
＝－3.
∴M
5
2
，－3
，又BC边上的中线经过点A(－3,2)．
∴由两点式得
y－2
－3－2
＝
x－－3
5
2
－－3
，即10x＋11y＋8＝0.
故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
3
跟踪演练1(2014·绍兴高一检测)已知△ABC三个顶点坐标A(2，
－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的直线方程．
解∵A(2，－1)，B(2,2)，A、B两点横坐标相同，
∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.
∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得直线AC的
方程为
y－1
－1－1
＝
x－4
2－4
，即x－y－3＝0.
同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为
y－2
1－2
＝
x－2
4－2
，
即x＋2y－6＝0.
要点二直线的截距式方程
例2求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l
的方程．
解法一设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为
x
a
＋
y
b
＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴
4
a
＋
－3
b
＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线的方程为x＋y－1＝0.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，直线的方程为x－y－7＝0.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上，所求l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
法二显然直线l的斜率存在且不为0.
设直线l的方程为y＋3＝k(x－4)，k≠0.
令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝
4k＋3
k
.
又∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
∴|－4k－3|＝
4k＋3
k
，解得k＝1或k＝－1或k＝－
3
4
.
∴所求直线的方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
4
跟踪演练2求过点A(5,2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2
倍的直线l的方程．
解由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，
直线l的方程为y＝
2
5
x；
当直线l在坐标轴上的截距不为零时，设l的方程为
x
2a
＋
y
a
＝1，
将点(5,2)代入方程得
5
2a
＋
2
a
＝1，解得a＝
9
2
，
所以直线l的方程为x＋2y－9＝0.
综上知，所求直线l的方程为y＝
2
5
x，或x＋2y－9＝0.
要点三直线的一般式方程
例3根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．
(1)斜率是－
1
2
，经过点A(8，－2)；
(2)经过点B(4,2)，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是
3
2
、－3；
(4)经过两点P
1
(3，－2)，P
2
(5，－4)．
解选择合适的直线方程形式．
(1)由点斜式得y－(－2)＝－
1
2
(x－8)，即x＋2y－4＝0.
(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.
(3)由截距式得
x
3
2
＋
y
－3
＝1，即2x－y－3＝0.
(4)由两点式得
y－－2
－4－－2
＝
x－3
5－3
，即x＋y－1＝0.
跟踪演练3已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求直线l′的
一般式方程，l′满足
(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)过点(－1,3)，且与l垂直．
解法一由题设l的方程可化为y＝－
3
4
x＋3，∴l的斜率为－
3
4
.
5
(1)由l′与l平行，∴l′的斜率为－
3
4
.
又∵l′过(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－
3
4
(x＋1)，即
3x＋4y－9＝0.
（2）由l′与l垂直，∴l′的斜率为
4
3
，又过(－1,3)，
由点斜式可得方程为y－3＝
4
3
(x＋1)，即4x－3y＋13＝0.
法二(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0.
将点(－1,3)代入上式得m＝－9.∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.
三、讨论交流点拨提升
1．当直线没有斜率(x
1
＝x
2
)或斜率为0(y
1
＝y
2
)时，不能用两点式
y－y
1
y
2
－y
1
＝
x－x
1
x
2
－x
1
求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x
1
和y＝y
1
，
而它们都适合(x
2
－x
1
)(y－y
1
)＝(y
2
－y
1
)(x－x
1
)，即两点式的整式形
式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x
2
－x
1
)(y－y
1
)＝(y
2
－y
1
)(x－x
1
)的形式．
2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判
断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方
便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直
线过原点时两截距存在且同时等于零．
四、学能展示课堂闯关
1．过两点(5,2)，(－5,2)的直线方程是()
A．x＝5B．y＝2C．x＋y＝2D．x＝2
答案B
2．过P
1
(2,0)、P
2
(0,3)两点的直线方程是()
A.
x
3
＋
y
2
＝0B.
x
2
＋
y
3
＝0C.
x
2
＋
y
3
＝1D.
x
2
－
y
3
＝1
答案C
6
3．直线x－3y＋1＝0的倾斜角为()
A．30°B．60°C．120°D．150°
答案A
4．(2014·宿州高一检测)直线3x－2y＝4的截距式方程是()
A.
3x
4
－
y
2
＝1B.
x
1
3
－
y
1
2
＝4C.
3x
4
－
y
－2
＝1D.
x
4
3
＋
y
－2
＝1
答案D
5．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为
________．答案A2＋B2≠0
五．作业
课本习题
教学反思