小信号模型
长辛店镇-藏族乐器
2023年2月21日发(作者：桐乡新闻)Boost电路的⼩信号数学模型的建⽴
Boost电路的⼩信号数学模型的建⽴
（西南交通⼤学，四川峨眉614202）欧阳露瑶
摘要主要介绍了Boost电路⼩信号模型建模的基本过程，确定⼩信号模型必要的前提，对电感电流和电感电压的关系与电容
电流和电容电压的关系⽤平均变量、分离扰动与线性化的思路进⾏分析，根据变换器的解析模型建⽴等效电路模型，从⽽得出
传递函数，为变换器低频动态特性的分析提供⽅便。
关键字变换器⼩信号模型传递函数
0.引⾔
为了研究含有交流⼩信号分量的直流—直流变换器动态，⽬前已经提出了多种直流——直流变换器的交流⼩信号分析⽅法，这
些⽅法可以为变换器建⽴解析模型或等效电路模型，并分析变换器的低频动态特性等。本⽂对Boost电路⼩信号模型基本建模
⽅法进⾏介绍，⽤解析模型建⽴交流⼩信号的等效电路模型。
1.⼩信号分析必须具备的前提条件
(1)、低频假设：交流⼩信号的频率gf应远⼩于开关频率sf，即sgff<<。
(2)、⼩纹波假设：变换器的转折频率0f应远⼩于开关频率sf，即s0
ff<<
(3)、⼩信号假设：要求电路中各变量的交流分量的幅值必须远远⼩于相应的直流分量。
在以上前提下，我们可以近似认为状态变量的平均值等于瞬时值，从⽽不会引起较⼤的误差。⽤平均值代替瞬时值，还可以消
除开关纹波的影响，⼜可以保留有⽤的直流分量与低频交流分量的信息。
1.1平均变量
⽤平均值代替瞬时值，将输⼊变量与状态变量表⽰为在⼀个周期内的平均变量，和其他变量建⽴⼀个开关周期内统⼀的平均变
量表达式。
Boost变换器基本电路形式如图1所⽰
图1Boost变换器基本电路
在boost电路中,gV是输⼊电压，L是滤波电感,1、2为开关器件，C是滤波电容,RL为负载电阻，)(tiL是流过电感的电流，)
(tiC是流过电容的电流，V是输出电压。该电路有两种⼯作状态；
⼀种为开关接到1的⼯作状态，如图2所⽰
图2Boost电路开关1状态
分析可知
gLVV=；
R
VtiC-=)(（1）另⼀种开关接到2的⼯作状态,如图3所⽰
图3Boost电路开关1状态
其中
VVVgL-=；
R
V
iiLC-=（2）根据电压定理作)(tVL与时间的函数关系，如图4所⽰
图4电感电压与时间的函数关系
SgSgS
LTDVVDTVT0
dttV'
)()(-+?=?即)()(''SSSgTVDTDDTV0-++?=
可得；
D11D
1VVDMg-==='
)(（3）
可以画出Boost变换器输出特性线性化⽰意图，如图5所⽰
图5Boost变换器输出特性
根据电流定理作)(tiC与时间的函数关系，如图6所⽰
图6电容电流与时间的函数关系
SLSSCTDRViDTRVdtT0ti'
)()()(-+?-=?
即LSSSiTDTDDTRV0?++?-='')()(
可得；
R
D1Vg
i2
L)(-=
（4）通过对理想Boost变换器在⼀个开关
周期内两个⼯作阶段的分析，得到电感电压的分段函数：
()()??
+=
ττττdVdVT1VS
TD
LD
0LSL
（5）
⽤平均变量代替瞬时变量,化简得
()()VVD1DVVggL--+=
（6）⼜因为
()()dt
tdiL
dVT
1
VLT0
LLS
==
ττ（7）
将上式带⼊（5）得电感电压平均值的表达式
()()VD1Vdt
tdiL
gL--=（8）同理可得电容电流平均值的分段表达式()()()R
V
tiD1dttdvC
L--=（9）
2.2分离扰动
为了将上式⾮线性问题线性化，找到变换器的静态⼯作点，对上⾯式⼦分离扰动，表⽰为直流分量和⼩信号分量之和，直流分
量描述变换器的稳态解，交流⼩信号分量描述变换器在静态⼯作点处的动态性能。
)()(_____
tvVtvggg∧
+=
)()(____
tiIti∧
+=
)()(____
tvVtv∧
+=
（10）
)(td中含有同频交流分量，所以
)()(tdDtd∧
+=
将（10）式代⼊（8）式和（9）式，等式左右交流项相等得；
根据电感⼯作特性确定的交流⼩信号的状态⽅程：
)()()()()()('
tvtdtdVtvDtvdt
tidLg∧
∧∧∧∧∧
++-=（11）
根据电感⼯作特性确定的交流⼩信号的状态⽅程
)()()()()()('tvtdtdIR
tvtiDdttvdC∧
∧∧∧
∧
∧
---=
（12）
2.3线性化
由上式可以看出还存在⾮线性项，对上式进⼀步线性化
因为
)()()()()('
tdVTvDtvtvtdg∧
∧
∧
∧
∧
+-<<
将上式中⼆阶微分项)()(tv
td∧
∧的从等式中略去，不会有太⼤误差，可得
)()()()('tvtdVtvDdt
tidLg∧∧∧∧
++-=（13）)()()()('tdIR
tvtiDdttvdC∧
∧
∧
∧
--=（14）3.⼩信号等效电路的建⽴
可以根据式（13）建⽴⼀个单回路电路，该回路中有以下四个原件，如图7所⽰
图7电感回路的⼩信号等效电路
对应()dt
tdiL
应包含电感L，且回路电流
即是电感电流)(tiL；对应)('tvD∧
应包含⼀个受控电压源，该受控电压源受输出电压)
(tv
∧
的控制，系数为'
D；对应)(tvg∧
应包含⼀个独
⽴电压源，其参数即为)(tvg∧；对应)(tdV∧
应再设⼀个独⽴电压源，)(tdV∧
不受电路中其他变量的影响，只能⽤独⽴电压源表⽰。
其中，直流量V是确定量，为控制量，由外界决定。
可以根据式（14）建⽴⼀个含有⼀对节点的电路，该回路中有以下四个原件，如图8所⽰；
图8电容电路的⼩信号等效电路
对应dttvdC)(∧
，应设置⼀条包含电容C
的⽀路，该电容端电压就是该节点电压)(tv∧
对应)('
tiD∧
，应设置⼀条包含受控电流源
)('tiD∧
的⽀路；对应R
tv)(∧
，应设置⼀条包含
电阻R的⽀路，由于节点间的电压为)(tv∧
，
该电路电流为R
tv)(∧
；对应)(tdI∧
，应设置⼀
条包含独⽴电流源)(tdI∧
的⽀路。
4.⼩信号等效电路的分析
将图7、图8所⽰的两个电路结合起来，可得到Boost变换器的交流⼩信号等效电
路模型,从⽽得到Boost变换器的交流⼩信号s域等效电路模型，如图9所⽰
图9理想Boost电路CCM模式下交流⼩信
号s域等效电路
由图9可以得到；
输出电压)(tv∧
对输⼊电压)(tvg∧
的传递函数
+
===∧
∧∧
RsC1DsLRsC1DD
10sdsvsvsG22gvg////)()()()('''2
2
2
DLCsR
DLs
11
D1
'
''
++=
输出电压)(tv∧
对控制变量)(sd∧
的传递函数
2
2222ggvdDLCsRDLs1RDsL
1DV0svsdsvsG'
''')()()
()(++-
??===∧∧∧
开环输⼊阻抗
??+===∧∧∧
RsL1DsL0sdsisvsZ2
//)()
()
()('
sCR
1DLCsR
DL
s1R
D2
2
2
2
+++='''
开环输出阻抗
2
2222goutoutDLCsRDLs1s
DLRsL1DsL
0sv0sdsisvsZ'
'''////)(,)()()
()(++??????=====∧∧∧∧
R
sL
1DsL0
sv0sdsisvsZ2
goutout////
)(,)()()
()('
=
===
∧
∧
∧
∧
2222DLC
sRDLs1sDL'
''++?
??=5.结论
本⽂提出⼀种Boost电路⼩信号模型建模的基本过程，对电感电流和电感电压的关系与电容电流和电容电压的关系⽤平均变
量、分离扰动与线性化的思路进⾏分析，得到最后函数关系，⽅便变换器低频动态特性的分析。
参考⽂献
[1]李宏、王崇武，现代电⼒电⼦技术基础,北京：机械⼯业出
版社，2008.12;
[2]张卫平，开关变换器的建模与控制.北京：中国电⼒出版
社，2005；
作者简介：欧阳露瑶，现就读西南交通⼤学峨眉校区，专业⽅向：机械制造⼯艺及设备.联系⽅式：152********