对数平均不等式

对数平均不等式

工程招标文件-古筝曲渔舟唱晚

对数平均数不等式链的几何证明及变式探究

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对数平均数不等式链的几何证明及变式探究

中学数学教育专家安振平在剖析2013年陕西高考数学压轴题时指出，其理论背景是：

设0ba，则

2

11

2lnln

abba

baba

ba

ab

，其中

lnln

ab

ab





被称为“对数

平均数”.

安振平老师通过构造函数，借助导数，证明了上述对数平均数不等式链，难度较大.基于此，笔者进

行了深入的探讨，给出对数平均数不等式链的几何证明，形象直观，易于理解.

1对数平均数不等式链的几何证明

如图，先画反比例函数

1

0fxx

x

的图象，再画其他的辅助线，其中APBCTUKV，

MNCDx轴，,0,Aa

1

,,Pa

a









1

,0,,BbQb

b







,

1

,Tab

ab







.设函数fx在点

2

,

2

ab

K

ab











处的切线分别与直线,APBQ交于点,EF，则根据左图可知：

因为

ABNM

ABQPABFE

SSS

矩形

曲边梯形梯形

，

所以

12

lnln

b

a

dxbaba

xab

.①

因为

1

lnln

ab

AUTP

a

Sdxaba

x曲边梯形

11

lnln

22ABQP

baS

曲边梯形

，

11111

222AUTPABCD

ba

SabaS

a

abab梯形梯形

，

对数平均数不等式链的几何证明及变式探究

2/42/42

而根据右图可知：

AUTPAUTP

SS

曲边梯形梯形

，所以

lnln

ba

ba

ab

.②

另外，根据

ABQXABYP

ABQPABQP

SSSS

矩形矩形

曲边梯形梯形

，可得：

11111

lnln

2

babababa

baba

.③

综上，结合重要不等式可知：

2

11111

lnln

2

ba

ba

babababa

bababa

ab

，

即

2

0

11

2lnln

abba

bababa

ba

ab

.④

2对数平均数不等式链的变式探究

近年来，以对数平均数不等式链为落点的压轴试题层出不穷，如2010年湖北卷、2012年天津、2013

年新课标Ⅰ、2014年陕西卷、2014福建预赛、2014年绵阳一、三诊、2015合肥最后一卷等等，因此关注

对数平均数不等式链的变式探究是十分必要的.

为了行文叙述的方便，将对数平均数不等式链中的不等式

2lnln

abba

ba

，记为①式；将

lnln

ba

ab

ba

，记为②式；将

2

11

lnln

ba

b

ba

ab

，记为③式.

变式探究1：取

12

,axbx，则由①知：1221

21

2lnln







xxxx

xx

.于是，可编制如下试题：已知

21

0xx，求证：21

21

12

2()

lnln







xx

xx

xx

.

变式探究2：取

12

,axbx，则由②知：21

12

21

lnln







xx

xx

xx

.于是，可编制如下试题：已知

21

0xx，求证：21

21

12

lnln





xx

xx

xx

.

变式探究3：取

12

,axbx，则由③知：21

2

21

12

2

11

lnln









xx

x

xx

xx

.于是，可编制如下试题：已

知

21

0xx，求证：

22

121

21

212

1lnln

2





xxx

xx

xxx

.

对数平均数不等式链的几何证明及变式探究

3/43/43

变式探究4：取

12

1,1axbx，则由①知：1221

21

(1)(1)(1)(1)

2ln(1)ln(1)







xxxx

xx

.于是，可

编制如下试题：对任意

12

,(1,)xx，且

12

xx，求证：2112

21

1

ln(1)ln(1)2







xxxx

xx

.

变式探究5：取

12

1,1axbx，则由②知：21

12

21

(1)(1)

(1)(1)

ln(1)ln(1)







xx

xx

xx

.于是，可

编制如下试题：对任意

12

,(1,)xx，且

12

xx，求证：21

1212

21

1

ln(1)ln(1)







xx

xxxx

xx

.

变式探究6：取

12

1,1axbx，则由③知：21

2

21

12

(1)(1)

2

1

11

ln(1)ln(1)

11











xx

x

xx

xx

.于

是，可编制如下试题：对任意

12

,(1,)xx，且

12

xx，求证：

2112

2

2112

2(1)(1)

1

ln(1)ln(1)2







xxxx

x

xxxx

.

变式探究7：取

12

1,1axbx，则由①知：1221

21

(1)(1)(1)(1)

2ln(1)ln(1)







xxxx

xx

.于是，可

编制如下试题：对任意

12

,(1,)xx，且

12

xx，求证：2112

21

1

ln(1)ln(1)2







xxxx

xx

.

变式探究8：取

12

1,1axbx，则由②知：21

12

21

(1)(1)

(1)(1)

ln(1)ln(1)







xx

xx

xx

.于是，可

编制如下试题：对任意

12

,(1,)xx，且

12

xx，求证：21

1212

21

1

ln(1)ln(1)







xx

xxxx

xx

.

变式探究9：取

12

1,1axbx，则由③知：21

2

21

12

(1)(1)

2

1

11

ln(1)ln(1)

11











xx

x

xx

xx

.于是，

可编制如下试题：对任意

12

,(1,)xx，且

12

xx，求证：

2112

2

2112

(1)(1)2(1)(1)

1

ln(1)ln(1)2







xxxx

x

xxxx

.

变式探究10：取12,xxaebe，则由①知：

1221

21

2







xxxxeeee

xx

.于是，可编制如下试题：对任意

对数平均数不等式链的几何证明及变式探究

4/44/44

12

,xxR，且

21

xx，求证：

21

12

21

2









xx

xx

xx

ee

ee

.

变式探究11：取12,xxaebe，则由②知：

21

12

21







xx

xx

ee

ee

xx

.于是，可编制如下试题：对任意

12

,xxR，且

21

xx，求证：1221

2

2

21

xxxxxxeee.

变式探究12：取12,xxaebe，则由③知：

21

2

12

21

2

11









xx

x

xx

ee

e

xx

ee

.于是，可编制如下试题：对

任意

12

,xxR，且

21

xx，求证：

2112112

2

1212

2121

221

1







xxxxxxx

x

xxxx

eeeee

e

xxeeeexx

.

…………

总之，对数平均数不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，

正如陕西师范大学罗增儒教授所言：我们可以通过有限的典型考题的学习，去领悟那种解无限道题的数学

机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我

们对问题信息的审视和挖掘.水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法，方是提升数学

思维素养的有效途径.