直线方程两点式
聪明伶俐的反义词-大老师语录
2023年2月21日发(作者：sgp)3.2.2直线的两点式方程
［学习目标】1•掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围2了解直线方程截距式的形式、
特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.
西问题导学------------------------------------
知识点一直线方程的两点式
思考1已知两点Pi(xi,yi),P2(X2,y2),其中xi^X2,yi^y2,求通过这两点的直线方程.
答案y—yi=业—严(x-xi),
X2—Xi'八
即j=口!.
y2—yiX2—Xi
思考2过点(i,3)和(i,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3),(5,3)的直线呢？
答案不能，因为i—i=0，而0不能做分母.过点(2,3),(5,3)的直线也不能用两点式表示.
梳理
名称已知条件示意图方程使用范围
两点式
Pi(xi,yi),P2(x2,y2),
其中Xix2,yiy2
y
Vi
y—yix—xi
y2—yiX2—xi
斜率存在且不为0
K
知识点二直线方程的截距式
思考i过点(5,0)和(0,7)的直线能用X+y=i表示吗？
57
答案能.由直线方程的两点式得曰=X
—
5,
7—00—5
即5+7=i.
57
思考2已知两点Pi(a,0),P2(0,b)，其中0,b丰0,求通过这两点的直线方程.答案由直线方程的两点式，得㈡
=X
—
a,
b—00—a
即x+y=
梳理
名称已知条件示意图方程使用范围
题型探究
类型一直线的两点式方程
例1已知A(—3,2),B(5,—4),C(0,—2)，在△ABC中,
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
解(1)BC边过两点B(5,—4),C(0,—2),
y—(—4X—5
由两点式，得=,即2x+5y+10=0,
—2—(—4)0—5
故BC边的方程是2x+5y+10=0(0wX<5).
⑵设BC的中点M(a,b),则a=*=5,b=^^=-3,所以M(|,—3),又BC边的中线过点A(—3,2),
y一2x一f一3)
所以=,即10x+11y+8=0,
-3-22--3
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x+11y+8=0.
引申探究若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程.
—4—(—2)kBC
=
5—0
则BC的垂直平分线的斜率为5
知识点三线段的中点坐标公式
Xi+X2
X=
若点Pl,P2的坐标分别为(Xi,yi),(X2,y2),设P(x,y)是线段PiP2的中点,
yi+y2
2
2
5
5
又BC的中点坐标为(2，—3),
55
由点斜式方程可得y+3=^(x—2),
即10x—4y—37=0.
反思与感悟(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方
程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错
误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即X2与y2是同一点坐标，而
X1与yi是另一点坐标.
跟踪训练1若点P(3,m)在过点A(2,—1),B(—3,4)的直线上，则m=_________________________.
答案—2
x—2
•••直线AB的方程为y+1=—x+2,
•/点P(3,m)在直线AB上，
•m+1=—3+2,得m=—2.
类型二直线的截距式方程
命题角度1与三角形有关的直线方程
例2过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是()
A.3x+y—6=0B.x+3y—10=0
C.3x—y=0D.x—3y+8=0
答案A
解析设所求的直线方程为x+y=1(a>0,b>0),
ab
解析
由直线方程的两点式得
y——1x—2
4-----1—3—
珀詐1,
6,因此有
J
!?ab=6,
由于过点P(1,3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积等于
得a=2,b=6,
故所求直线的方程为3x+y—6=0，故选A.
反思与感悟求解此类题需过双关：一是待定系数法关，即根据题中条件设出直线方程，如
在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a^0,b丰0）的直线方程常设为彳+*=1；二是方程想关，即
根据已知条件，寻找关于参数的方程（组），解方程（组），得参数的值.
跟踪训练2直线I过点P（3,2），且与两坐标正半轴围成的三角形周长为12,求直线
3
程.
解设直线I的方程为|+b=i（a>o,b>0）,
由题意知，a+b+1a+b=12.
442
又因为直线i过点P（3,2），所以3^+b=i,
2a
i=4，
即5a2—32a+48=0，解得
bi=3,
£
所以直线I的方程为3x+4y—12=0或15x+8y—36=0.
命题角度2判断直线的条数-
例3过点A（3,—1）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）
A.2条B.3条C.4条D.无数多条
答案B
1
解析当截距都为零时满足题意要求，直线为y=-^x,
当截距不为零时，设直线方程为：+b=1,
a=2,a=4,
二或
b=2b=—4,
（组）思
I的方
.b2=9,
3+二=1a十
b'，
|a|=|b|,
即直线方程为x+y=1或x+=1,
224一4
•••满足条件的直线共有3条.故选B.
反思与感悟如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一
坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m倍(m>0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，
则一定要注意考虑“零截距”的情况.
跟踪训练3过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有()
A.1条B.2条C.3条D.无数多条
答案B
解析设直线的两截距都是a,则有
3
①当a=0时，直线设为y=kx,将P(2,3)代入得k=刁
•直线I的方程为3x—2y=0;
②当0时，直线设为x+y=1,即x+y=a,
aa
把P(2,3)代入得a=5,
•直线I的方程为x+y=5.
•直线I的方程为3x—2y=0或x+y—5=0.
类型三直线方程的应用
例4设直线I的方程为y=(—a—1)x+a—2.
(1)若I在两坐标轴上的截距相等，求I的方程；
⑵若I不经过第二象限，求实数a的取值范围.
解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0,
•a—2=0,•a=2,此时直线方程为3x+y=0;
a—2
当直线不过原点时，a丰2,由=a—2，得a=0,
a+1
直线方程为x+y+2=0.
故所求的直线方程为3x+y=0或x+y+2=0.
⑵由I的方程为y=—(a+1)x+a—2,欲使I不经过第二象限，
(a+1戸0
,
当且仅当解得aw—1.
|a—2w0,
故所求的a的取值范围为(—g,—1].
反思与感悟(1)由直线方程求出直线在两坐标轴上的截距应先分类讨论，再列方程求解.
(2)根据斜率和截距的取值列式求解.
跟踪训练4已知三角形的顶点坐标是A(—5,0),B(3,—3),C(0,2)，试求这个三角形的三条
边所在的斜截式方程.
—3—03
解直线AB的斜率kA
B==—5,过点A(—5,0),
3—(—5)8
3
直线AB的点斜式方程为y=—8(x+5),
315
即所求的斜截式方程为y=—8x—"8".
55
同理，直线BC的方程为y—2=—§x,即卩y=—§x+2.
22
直线AC的方程为y—2=£x,即y=£x+2.
31552
•••直线AB,BC,AC的斜截式方程分别为y=—§x—"^,y=—§x+2,y=£x+2.
当堂训练
1.直线土+七=1在x轴，y轴上的截距分别为()
—2—3
A.2,3
C.—2,3
答案B
2.过两点（一2,1）和（1,4）的直线方程为（）
A.y=x+3B.y=—x+1
C.y=x+2D.y=—x—2
答案A
B.—2,—3
D.2,—3
解析
代入两点式得直线方程
y—1x+2
4—11+2
整理得y=x+3.
3.经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为()
A.x=2B.y=2
C.x=3
答案B
解析由M,N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y=2,故选B.
4.已知点A(3,2),B(—1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为_______________________.
答案2x—y+1=0
解析AB的中点坐标为(1,3),
y一3x—1
由直线的两点式方程可得=-,
5—32—1
即2x—y+1=0.
5.直线I过点(1,2)和第一、二、四象限，若直线I的横截距与纵截距之和为6,求直线I的方
程.
解设直线I的横截距为a,由题意可得纵截距为6—a,
所以直线I的方程为X+J=1,
a6—a
12
因为点(1,2)在直线I上，所以~+=1,
a6—a
解得a1=2,a2=3,
当a=2时，直线的方程为2x+y—4=0，直线经过第一、二、四象限;
当a=3时，直线的方程为x+y—3=0,直线经过第一、二、四象限.
综上所述，所求直线方程为2x+y—4=0或x+y—3=0.
r-规律与方法------------------------------------------■
y—y1x—X1
1.当直线没有斜率(X1=X2)或斜率为0(y1=y2)时，不能用两点式=求它的方程,
y2—y1X2—X1
D.x=6
此时直线的方程分别是x=X1和y=y1,而它们都适合(X2—X1)(-y—y1)=(y2—y1)(x—X1)，即两点式的整
式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(X2—X1)(y—y1)=(y2—y”(x—
X1)的形式.
2.直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线
与坐标轴围成的三角形的面积比较方便•注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点
时两截距存在且同时等于零.
i
、选择题
1.下列说法正确的是()
A.经过定点Po(xo,yo)的直线都可以用方程y—yo=k(x—xo)表示
B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
C.不经过原点的直线都可以用方程|+b=1表示
D.经过任意两个不同的点Pi(xi,yi),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y—yi)(x2—x"=(x—xi)(y2
—yi)表示
答案D
解析斜率有可能不存在，截距也有可能为0，故选D.
2.若直线l的横截距与纵截距都是负数，则()
A.l的倾斜角为锐角且不过第二象限
B.l的倾斜角为钝角且不过第一象限
C.l的倾斜角为锐角且不过第四象限
D.l的倾斜角为钝角且不过第三象限
答案B
解析依题意知，直线1的截距式方程为-
x
+
乂=i(a>0,b>0)，显然直线l只能过第二、
—a—b
三、四象限，而不会过第一象限，且倾斜角为钝角，故选B.
3.直线拿―器=i在y轴上的截距是()
A.|b|B.—b2
2
.±3
答案B
解析令x=0得，y=—b2.
4.以A(i,3),B(—5,i)为端点的线段的垂直平分线方程是()
课时作业
解析因为
i—3
kAB=3'
A.3x—y—8=0B.3x+y+4=0
C.3x—y+6=0D.3x+y+2=0
答案B
AB的中点坐标为(一2,2),
所以所求直线方程为y—2=-3(x+2),
化简为3x+y+4=0.
5•过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是()
A•x—y+1=0
B•x—y+1=0或3x—2y=0
C•x+y—5=0
D•x+y—5=0或3x—2y=0
答案B
解析设直线方程为x+-^=1或y=kx,
a—a
3
将P(2,3)代入求出a=—1或k=
所以所求的直线方程为x—y+1=0或3x—2y=0.
6.利用斜二测画法，作出直线AB的直观图如图所示，若O'A'=O'B'=1,则直线AB
在直角坐标系中的方程为()
A•x+y=1
C•x+2=1
答案D
B•x—y=1
D
•x
-2=1
解析由斜二测画法可知在直角坐标系中,
A(1,0),B(0,—2)，由两点坐标可得直线方程为
=1.
x
7•两条直线da
b=1和l2：b-a=1在同一直角坐标系中的图象可以是
B
答案A
解析两条直线化为截距式分别为x+=1,=1假定li,判断a,b,确定l2的位置，
a—bb—a
知A项符合.
二、填空题
8.已知直线X+y=1与坐标轴围成的图形面积为6,则a的值为______________.
a6
答案±2
XV1
解析由a+6=1知S=2|a||6|=6,
所以a=±2.
9.过点P(3,—1)，且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线I的方程是______________________.
答案x+2y—1=0或x+3y=0
解析设直线I在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b，当a=0时，b=0,此时直线I
的方程为；=—厂，所以x+3y=0;当0时，a=2b，此时直线I的方程为盘+f=1,代入
(3,—1)得x+2y—1=0.
10.过(3,0)点且与x轴垂直的直线方程为________________，纵截距为—2且与y轴垂直的直线方程
为__________.
答案x=3y=—2
11.过点P(1,3)的直线I分别与两坐标轴交于A,B两点，若
P为AB的中点，则直线I的截
距式方程是_______________________________________________________________________________.
答案x+6=1
26
解析设A(m,0),B(0,n),由P(1,3)是AB的中点可得m=2,n=6,
即A,B的坐标分别为(2,0),(0,6).
则I的方程为彳+y=1.
26
三、解答题
12.求经过点P(-5,-4)且与两坐标轴围成的面积
为5的直线方程.
解设所求直线方程为丹y=「
•••直线过点P(—5,-4),
=1,
于是得4a+5b=—ab,
1
又由已知，得2|a||b|=5，即|ab|=10.
4a+5b=-ab,
由①②，得
ljab|=10,
a=-2，a=5,
解得或
b=4、b=-2.
故所求直线方程为土+y=1或-+丄=1.
-
545—2
2
即8x-5y+20=0或2x-5y-10=0.
13.在△ABC中，已知A(5,-2),B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程.
解(1)设C(x。，y。),
X0+5
因为M在y轴上，所以~2—=0,得X0=-5.
yo+3
又因为N在x轴上，所以一=0,
则AC边的中点为M
.,,,.,X0+7
BC边的中点为N「T，
yo+3ii
X0+5
所以y°=—3.即C(—5,—3).
⑵由(1)可得M0,-；,N(1,0),
所以直线MN的方程为X+弋=1，
—2
即5x—2y—5=0.
四、探究与拓展
14•若直线I与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18,则直线I的方
程为___________•
答案x+y±5=0,x—y±5=0
解析因为直线I与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线I在两坐标轴上的截距相
等或互为相反数且不为0.
若I在两坐标轴上的截距相等，且设为a,
则直线方程为X+y=1，即x+y—a=0.
12T2旧1•=18，即a=36,/•a=±5,
•••直线方程为x+y±6=0.
若I在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a,则纵截距为-a,
故直线方程为x+丄=1,即卩x—y—a=0.
a—a
12
T2—a||a|=18，即a=36,•a=±5,
•直线方程为x—y±5=0.
综上所述，直线I的方程为x+y±5=0或x—y±）=0.
15.已知直线I:x—y+3=0,一束光线从点A（1,2）处射向x轴上一点B，又从B点反射到I
上的一点C,最后从C点反射回A点，求直线BC的方程.
解作点A关于x轴的对称点A2，贝UA2（1,—2）.
设点A关于I:x—y+3=0的对称点为A1（xo,yo）,贝U
-xo+1yo+2
xo—1
X0=—1,
解得yo=4,
即Ai点坐标为（一1,4）.
由已知条件知点Ai,A2均在直线BC上,
即3x+y—1=0.
故直线BC的方程为3x+y—1=0.
•••由直线的两点式方程得
y—4x+1
—2—41+
1’