函数与方程
稻草人好词好句摘抄-白鹭鸶
2023年2月21日发(作者：保护水资源手抄报)1
函数与方程知识点总结
1、函数零点的定义
（1）对于函数
)(xfy
，我们把方程
0)(xf
的实数根叫做函数)(xfy的零点。
（2）方程
0)(xf
有实根函数()yfx的图像与x轴有交点函数()yfx有零点。因此判断一个函数是
否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(xf是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(xf，
所得实数根就是()fx的零点
（3）变号零点与不变号零点
①若函数()fx在零点
0
x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()fx的变号零点。
②若函数()fx在零点
0
x
左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()fx的不变号零点。
③若函数()fx在区间,ab
上的图像是一条连续的曲线，则
0)()(bfaf
是()fx在区间,ab
内有零点的充分不必要
条件。
2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：如果函数
)(xfy
在区间],[ba上的图象是连续不断的曲线，并且有
()()0fafb
，那么，
函数
)(xfy
在区间,ab
内有零点，即存在),(
0
bax，使得
0)(
0
xf
，这个
0
x也就是方程0)(xf的根。
（2）函数)(xfy零点个数（或方程0)(xf实数根的个数）确定方法
①代数法：函数
)(xfy
的零点0)(xf的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
)(xfy
的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）二次函数零点个数确定
0)(xfy
有2个零点0)(xf有两个不等实根；
0)(xfy
有1个零点0)(xf有两个相等实根；
0)(xfy
无零点0)(xf无实根；对于二次函数在区间,ab
上的零点个数，要结合图像进行确定.
1、二分法
（1）二分法的定义:对于在区间[,]ab上连续不断且
()()0fafb
的函数
()yfx
,通过不断地把函数
()yfx
的零点
所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
2
①确定区间[,]ab,验证
()()0fafb
,给定精确度;②求区间(,)ab的中点c;③计算()fc;
(ⅰ)若
()0fc
,则c就是函数的零点;(ⅱ)若
()()0fafc
,则令
bc
(此时零点
0
(,)xac);
(ⅲ)若
()()0fcfb
,则令ac(此时零点
0
(,)xcb
);
④判断是否达到精确度,即ab,则得到零点近似值为a(或
b
);否则重复②至④步.
【经典例题】
【例1】函数3()=2+2xfxx在区间(0,1)内的零点个数是（B）
A、0B、1C、2D、3
【解析】解法1：因为(0)=1+02=1f，3(1)=2+22=8f，即(0)(1)<0ff且函数()fx在(0,1)内连续不断，
故()fx在(0,1)内的零点个数是1.
解法2：设
1
=2xy，3
2
=2yx，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.
4
2
2
4
6
8
510
【例2】函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(B)
A、(－2，－1)B、(－1,0)C、(0,1)D、(1,2)
【解析】∵f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－
5
2
0，∴f(－1)f(0)<0.
∴f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间为(－1,0)．
【例3】下列函数中能用二分法求零点的是(C)
3
【例
4
】若函数
)(xfxaxa(0a且1a)
有两个零点，则实数
a
的取值范围是），（1.
【解析】
函数
)(xf
=xaxa(0a且1a)
有两个零点，
方程0axax有两个不相等的实数根，即
两个函数xay与
axy
的图像有两个不同的交点，当10a时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不
合题意；当1a时，两个函数的图像有两个交点，满足题意
.
【例5】函数
223,0
()
2ln,0
xxx
fx
xx
，零点个数为（B）
A、3B、2C、1D、0
【例6】若函数32()22fxxxx的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f(1)=－2
f(1.5)=0.625
f(1.25)=－0.984
f(1.375)=－0.260
f(1.4375)=0.162
f(1.40625)=－0.054
那么方程32220xxx
的一个近似根（精确到0.1）为（C）
A、1.2B、1.3C、1.4D、1.5
【例7】如果二次函数23yxxm有两个不同的零点，则m的取值范围是（C）
A、
11
(,)
4
B、
11
(,)
2
C、
11
(,)
4
D、
11
(,)
2
【例8】方程0lgxx根的个数为（D）
A、无穷多B、
3
C、
1
D、
0
【例9】用二分法研究函数13)(3xxxf的零点时，第一次经计算
0)5.0(0)0(ff，
，可得其中一个零点
0
x，第二次应计算.以上横线上应填的内容为(A)
A、（0，0.5），)25.0(fB、（0，1），)25.0(f
C、（0.5，1），)75.0(fD、（0，0.5），)125.0(f
反思：(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；
③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数
形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．
(2)提醒：函数的零点不是点，是方程0)(xf的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的
零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．