两点式直线方程
脑分为哪几个部分-浪之歌
2023年2月21日发(作者：胡艳杰)2.2.2直线的两点式方程
学习目标核心素养
1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范
围．(重点)
2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范
围．(重点)
3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.
1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数
学素养.
2.通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培
养直观想象和数学运算的数学素养.
某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，
如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1km和4km.现在要在公园前修建一条直线大道
分别与东大街、北大街交汇于A、B两处，并使区商业中心O到A、B两处的距离之和最短．
在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A、B能否确定？
1．直线的两点式和截距式方程
名称两点式方程截距式方程
已知条件P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)其中x
1
≠x
2
，y
1
≠y
2
在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且a≠0，
b≠0.
示意图
直线方程
y－y
1
y
2
－y
1
＝
x－x
1
x
2
－x
1
x
a
＋
y
b
＝1
适用范围斜率存在且不为零斜率存在且不为零，不过原点
思考：方程
y－y
1
y
2
－y
1
＝
x－x
1
x
2
－x
1
和方程(y－y
1
)(x
2
－x
1
)＝(x－x
1
)(y
2
－y
1
)的适用范围相同吗？
[提示]不同．前者为分式形式方程，它不表示垂直于坐标轴的直线，后者为整式形式方程，它
表示过任何两点的直线．
2．线段的中点坐标公式
若点P
1
，P
2
的坐标分别为(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，设P(x，y)是线段P
1
P
2
的中点，则
x＝
x
1
＋x
2
2
，
y＝
y
1
＋y
2
2
.
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的两点式方程也可以用
y－y
1
x－x
1
＝
y
2
－y
1
x
2
－x
1
(x
1
≠x
2
，y
1
≠y
2
)表示．()
(2)任何直线都可以用方程
x
a
＋
y
b
＝1表示．()
(3)能用两点式写出的直线方程，也可以用点斜式方程写出．()
[提示](1)×(2)×(3)√
2．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是()
A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝0
D[由直线的两点式方程，得
y－2
3－2
＝
x－3
4－3
，化简，得x－y－1＝0.]
3．若直线l经过点A(2,5)，B(2,7)，则直线l的方程为________．
x＝2[因为两点的横坐标相等，都是2，所以直线方程是x＝2.]
4．直线y＝3x＋2在x轴上的截距是________．
－
2
3
[令y＝0得x＝－
2
3
，即在x轴上的截距为－
2
3
.]
直线的两点式方程
【例1】(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．
(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.
(1)x＝2(2)－2[(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线
方程为x＝2.
(2)由直线方程的两点式得
y－－1
4－－1
＝
x－2
－3－2
，
即
y＋1
5
＝
x－2
－5
.
∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2，
∵点P(3，m)在直线AB上，
则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.]
由两点式求直线方程的步骤
(1)设出直线所经过点的坐标．
(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．
(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．
提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：
两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．
[跟进训练]
1．求经过两点A(2，m)和B(n,3)的直线方程．
[解]当m＝3时，直线垂直于y轴，方程为y＝3，
当n＝2时，直线垂直于x轴，方程为x＝2.
当m≠3且n≠2时，由两点式得
直线方程为
y－m
3－m
＝
x－2
n－2
.
直线的截距式方程
【例2】求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．
[
思路探究
]
[解]设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为
x
a
＋
y
b
＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴
4
a
＋
－3
b
＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
1．[变条件]本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”，求直线l的方程．
[解]当截距均为零时，设直线方程为y＝kx，把点(4，－3)代入得－3＝4k，解得k＝－
3
4
，所求
的直线方程为y＝－
3
4
x，即3x＋4y＝0.
当截距均不为零且相反时，可设直线方程为
x
a
＋
y
－a
＝1，把点(4，－3)代入得
4
a
＋
－3
－a
＝1，解得a
＝7，所求直线方程为
x
7
＋
y
－7
＝1，即x－y－7＝0，
故所求l的方程为x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
2．[变条件]本例中把“相等”改为“绝对值相等呢？”
[解]当直线在两轴上的截距的绝对值相等时，包括：
①两截距均为零，即3x＋4y＝0
②两截距均不为零且相等即x＋y－1＝0.
③两截距均不为零且相反即x－y－7＝0.
故所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.
利用截距式求直线方程的注意事项
(1)用截距式求直线方程时，纵截距和横截距都必须存在且都不为0.
①若a＝0，b≠0，则直线方程为x＝0；
②若a≠0，b＝0，则直线方程为y＝0；
③若a＝0，b＝0，则直线方程为y＝kx(k≠0)．
(2)截距相等且不为零，可设x＋y＝a；
截距相反且不为零，可设x－y＝a；
截距相等且均为零，可设y＝kx.
直线方程的灵活应用
[探究问题]
1.若已知直线过定点，选择什么形式较好？过两点呢？
[提示]点斜式.若直线过两定点可选择两点式或点斜式．
2．若已知直线的斜率，选哪种形式的方程？
[提示]可选择斜截式．
3．若已知直线与两坐标轴相交，选哪种形式的方程较好？
[提示]选择截距式较好．
【例3】已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．
[思路探究](1)B，C两点坐标――→
两点式
求方程
(2)求中点坐标――→
两点式
求直线方程
[解](1)BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
由两点式，得
y－－4
－2－－4
＝
x－5
0－5
，即2x＋5y＋10＝0，
故BC边的方程是2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．
(2)设BC的中点为M(a，b)，
则a＝
5＋0
2
＝
5
2
，b＝
－4＋－2
2
＝－3，
所以M
5
2
，－3
，
又BC边的中线过点A(－3,2)，
所以
y－2
－3－2
＝
x－－3
5
2
－－3
，即10x＋11y＋8＝0，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
1．本例中条件不变，试求AB边上的高线所在直线的方程．
[解]设AB边上的高线所在直线斜率为k，
∵k
AB
＝
2－－4
－3－5
＝－
3
4
，
∴k＝
4
3
，
又高线过点C(0，－2)，
∴由点斜式方程得高线所在直线方程为
y＋2＝
4
3
(x－0)，即4x－3y－6＝0.
2．本例中条件不变，试求与AB平行的中位线所在直线的方程．
[解]由探究1知k
AB
＝－
3
4
，即中位线所在直线斜率为－
3
4
，由例题知BC的中点为
5
2
，－3
，
所以由点斜式方程可得，中位线所在直线方程为
y＋3＝－
3
4
x－
5
2
，即6x＋8y＋9＝0.
直线方程的选择技巧
(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜
率．
(2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距．
(3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程．
(4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论
解决．
1．当直线没有斜率(x
1
＝x
2
)或斜率为0(y
1
＝y
2
)时，不能用两点式
y－y
1
y
2
－y
1
＝
x－x
1
x
2
－x
1
求它的方程，此时
直线的方程分别是x＝x
1
和y＝y
1
，而它们都适合(x
2
－x
1
)(y－y
1
)＝(y
2
－y
1
)(x－x
1
)，即两点式的整式形
式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x
2
－x
1
)(y－y
1
)＝(y
2
－y
1
)(x－x
1
)的形式．
2．直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与
坐标轴围成的三角形的面积比较方便．注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线
过原点时两截距存在且同时等于零．
1．过P
1
(2,0)，P
2
(0,3)两点的直线方程是()
A．
x
3
＋
y
2
＝0B．
x
2
＋
y
3
＝0
C．
x
2
＋
y
3
＝1D．
x
3
＋
y
2
＝1
C[由条件可知，直线在x轴、y轴上的截距分别为2,3，所以方程为
x
2
＋
y
3
＝1.]
2．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是________．
－
3
2
[由两点式得
y－1
9－1
＝
x＋1
3＋1
，即y－1＝2(x＋1)，令y＝0得x＝－
3
2
，所以直线在x轴上的截距
为－
3
2
.]
3．经过点(－1,5)，且与直线
x
2
＋
y
6
＝1垂直的直线方程是________．
x－3y＋16＝0[直线
x
2
＋
y
6
＝1的斜率是－3，所以所求直线的斜率是
1
3
，所以所求直线方程是y－
5＝
1
3
(x＋1)，即x－3y＋16＝0.]
4．求过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程．
[解]设直线方程的截距式为
x
a＋1
＋
y
a
＝1.
则
6
a＋1
＋
－2
a
＝1，解得a＝2或a＝1，
则直线方程是
x
2＋1
＋
y
2
＝1或
x
1＋1
＋
y
1
＝1，
即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.