高中数学基本公式

高中数学基本公式

辩证思维方法-春秋战国

2023年2月21日发(作者：设施园艺)

高中数学常用公式及常用结论

1.包含关系

ABAABBIU

UU

ABCBCA

U

ACBI

U

CABRU

2．集合

12

{,,,}

n

aaaL的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2

个.

3.充要条件

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

4.函数的单调性

(1)设

2121

,,xxbaxx那么



1212

()()()0xxfxfxbaxf

xx

xfxf

,)(0

)()(

21

21在





上是增函数；



1212

()()()0xxfxfxbaxf

xx

xfxf

,)(0

)()(

21

21在





上是减函数.

(2)设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(



xf，则)(xf为增函数；如果0)(



xf，则)(xf为减函

数.

5.如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减函数;如果函数

)(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([xgfy是增函数.

6．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么

这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

7.对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是函数

2

ba

x



;两个函

数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线

2

ba

x



对称.

8.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）)()(axfxf，则)(xf的周期T=a；

（2），)0)((

)(

1

)(xf

xf

axf，或

1

()

()

fxa

fx



(()0)fx,则)(xf的周期T=2a；

9.分数指数幂

(1)

1m

n

n

m

a

a

（0,,amnN，且1n）.(2)

1m

n

m

n

a

a

（0,,amnN，且1n）.

10．根式的性质

（1）

()n

naa

.（2）当

n

为奇数时，n

naa；当

n

为偶数时，

,0

||

,0

n

n

aa

aa

aa













.

11．有理指数幂的运算性质

(1)

(0,,)rsrsaaaarsQ.(2)()(0,,)rsrsaaarsQ.(3)()(0,0,)rrrabababrQ.

12.指数式与对数式的互化式logb

a

NbaN(0,1,0)aaN.

①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：

01log

a

，③.底的对数等于1：

1loga

a

，

④.积的对数：

NMMN

aaa

loglog)(log，商的对数：NM

N

M

aaa

logloglog，

幂的对数：

MnM

a

n

a

loglog

；b

m

n

b

a

n

amloglog

13.对数的换底公式

log

log

log

m

a

m

N

N

a

(0a,且1a,0m,且1m,0N).

推论loglog

m

n

a

a

n

bb

m

(0a,且1a,,0mn,且1m,1n,0N).

15.1

1

,1

,2n

nn

sn

a

ssn















(数列{}

n

a的前n项的和为

12nn

saaaL).

16.等差数列的通项公式*

11

(1)()

n

aanddnadnN；

其前n项和公式为1

()

2

n

n

naa

s





1

(1)

2

nn

nad



2

1

1

()

22

d

nadn.

17.等比数列的通项公式1*

1

1

()nn

n

a

aaqqnN

q

；

其前n项的和公式为

1

1

(1)

,1

1

,1

n

n

aq

q

s

q

naq





















或

1

1

,1

1

,1

n

n

aaq

q

q

s

naq





















.

18.同角三角函数的基本关系式

22sincos1，tan=





cos

sin

19正弦、余弦的诱导公式

2

1

2

(1)sin,

sin()

2

(1)s,

n

n

n

co



























20和角与差角公式sin()sincoscossin;

cos()coscossinsinm;

tantan

tan()

1tantan











m

.

sincosab=22sin()ab(辅助角所在象限由点(,)ab的象限决定,tan

b

a

).

21、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sincos．

⑵2222cos2cossin2cos112sin（2

1cos2

cos

2







，2

1cos2

sin

2







）．

⑶

2

2tan

tan2

1tan











．

22.三角函数的周期公式

函数sin()yx，x∈R及函数cos()yx，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期

2

T





；

函数tan()yx，,

2

xkkZ



(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T





.

23.正弦定理

2

sinsinsin

abc

R

ABC

.

24.余弦定理

2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC.

(n为偶数)

(n为奇数)

25.面积定理

111

sinsinsin

222

SabCbcAcaB（2）.

26.三角形内角和定理

在△ABC中，有()ABCCAB

222

CAB

222()CAB.

27.实数与向量的积的运算律

设λ、μ为实数，那么

(1)结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

28.向量的数量积的运算律：

(1)a·b=b·a（交换律）;(2)（a）·b=（a·b）=a·b=a·（b）;(3)（a+b）·c=a·c+b·c.

30．向量平行的坐标表示

设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，且b



0，则aPb(b



0)

1221

0xyxy.

31.a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ．

32.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

33.平面向量的坐标运算

(1)设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，则a+b=

1212

(,)xxyy.

(2)设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，则a-b=

1212

(,)xxyy.

(3)设A

11

(,)xy，B

22

(,)xy,则

2121

(,)ABOBOAxxyy

uuuruuuruuur

.

(4)设a=(,),xyR，则a=(,)xy.

(5)设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，则a·b=

1212

()xxyy.

34.两向量的夹角公式1212

2222

1122

cos

xxyy

xyxy









(a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy).

35.平面两点间的距离公式

,AB

d

=||ABABAB

uuuruuuruuur

22

2121

()()xxyy(A

11

(,)xy，B

22

(,)xy).

36.向量的平行与垂直

设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，且b



0，则

A||bb=λa

1221

0xyxy.

ab(a



0)a·b=0

1212

0xxyy.

37.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为

11

A(x,y)

、

22

B(x,y)

、

33

C(x,y)

,则△ABC的重心的坐标是

123123(,)

33

xxxyyy

G



.

设O为ABC所在平面上一点，角,,ABC所对边长分别为,,abc，则

（1）O为ABC的外心

222OAOBOC

uuuruuuruuur

.（2）O为ABC的重心0OAOBOC

uuuruuuruuurr

.

（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA

uuuruuuruuuruuuruuuruuur

.

38.常用不等式：

（1）,abR222abab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（2）

,abR

2

ab

ab



(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（3）bababa.

39已知yx,都是正数，则有（1）若积xy是定值p，则当yx时和yx有最小值p2；

（2）若和yx是定值

s

，则当yx时积xy有最大值2

4

1

s.

40.含有绝对值的不等式当a>0时，有22xaxaaxa.

22xaxaxa或

xa

.

41.斜率公式21

21

yy

k

xx







（

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy）.

42.直线的五种方程

（1）点斜式

11

()yykxx(直线l过点

111

(,)Pxy，且斜率为k)．

（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

（3）两点式11

2121

yyxx

yyxx







(

12

yy)(

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy(

12

xx)).

(4)截距式1

xy

ab

(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)

（5）一般式0AxByC(其中A、B不同时为0).

43.两条直线的平行和垂直

(1)若

111

:lykxb，

222

:lykxb①

121212

||,llkkbb;

②

1212

1llkk.

(2)若

1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC,且A

1

、A

2

、B

1

、B

2

都不为零,

①111

12

222

||

ABC

ll

ABC

；②

121212

0llAABB；

(

1111

:0lAxByC,

2222

:0lAxByC,

1212

0AABB).

直线

12

ll时，直线l

1

与l

2

的夹角是

2



.

45.点到直线的距离00

22

||AxByC

d

AB







(点

00

(,)Pxy,直线l：0AxByC).

46.圆的四种方程

（1）圆的标准方程222()()xaybr.

（2）圆的一般方程220xyDxEyF(224DEF＞0).

47.直线与圆的位置关系

直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:

0相离rd;0相切rd;

0相交rd.其中

22BA

CBbAa

d





.

48.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO

21

条公切线外离4

21

rrd;条公切线外切3

21

rrd;

条公切线相交2

2121

rrdrr;条公切线内切1

21

rrd;

无公切线内含

21

0rrd.

49.圆的切线方程

(1)已知圆220xyDxEyF．(2)已知圆222xyr．

①过圆上的

000

(,)Pxy点的切线方程为2

00

xxyyr

;

50.椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的参数方程是

cos

sin

xa

yb















.

51.椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

焦半径公式)(

2

1c

a

xePF，)(

2

2

x

c

a

ePF.

52．椭圆的的内外部

（1）点

00

(,)Pxy在椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的内部

22

00

22

1

xy

ab

.

（2）点

00

(,)Pxy在椭圆

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的外部

22

00

22

1

xy

ab

.

53.双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的焦半径公式

2

1

|()|

a

PFex

c

，

2

2

|()|

a

PFex

c

.

54.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为1

2

2

2

2



b

y

a

x

渐近线方程：

22

22

0

xy

ab



x

a

b

y.

(2)若渐近线方程为x

a

b

y

0

b

y

a

x

双曲线可设为

2

2

2

2

b

y

a

x

.

(3)若双曲线与1

2

2

2

2



b

y

a

x

有公共渐近线，可设为

2

2

2

2

b

y

a

x

（0，焦点在x轴上，0，焦点在y轴上）.

55.抛物线pxy22的焦半径公式

抛物线22(0)ypxp焦半径

02

p

CFx.

过焦点弦长pxx

p

x

p

xCD

212122

.

56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式22

1212

()()ABxxyy或

2222

211212

(1)()||1tan||1tABkxxxxyyco（弦端点A),(),,(

2211

yxByx，由方

程











0)y,x(F

bkxy

消去y得到02cbxax，0,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率）.

57(1)加法交换律：a＋b=b＋a．(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

59共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b存在实数λ使a=λb．

PAB、、三点共线||APABAPtAB

uuuruuur

(1)OPtOAtOB

uuuruuuruuur

.

60.向量的直角坐标运算

设a＝

123

(,,)aaa，b＝

123

(,,)bbb则

(1)a＋b＝

112233

(,,)ababab；(2)a－b＝

112233

(,,)ababab；(3)λa＝

123

(,,)aaa(λ∈R)；

(4)a·b＝

112233

ababab；

61.设A

111

(,,)xyz，B

222

(,,)xyz，则ABOBOA

uuuruuuruuur

=

212121

(,,)xxyyzz.

62．空间的线线平行或垂直

设

111

(,,)axyz

r

，

222

(,,)bxyz

r

，则

ab

rr

0ab

rr



121212

0xxyyzz.

63.夹角公式

设a＝

123

(,,)aaa，b＝

123

(,,)bbb，则cos〈a，b〉=112233

222222

123123

ababab

aaabbb





.

64．异面直线所成角cos|cos,|ab

rr

=121212

222222

111222

||

||

||||

xxyyzz

ab

ab

xyzxyz











rr

rr

（其中（090oo）为异面直线ab,所成角，,ab

rr

分别表示异面直线ab,的方向向量）

65.直线AB与平面所成角

sin

||||

ABm

arc

ABm







uuurur

uuurur

(m

ur

为平面



的法向量).

66.二面角l的平面角cos

||||

mn

arc

mn







urr

urr

或cos

||||

mn

arc

mn







urr

urr

（m

ur

，n

r

为平面



，的法向量）.

134.空间两点间的距离公式

若A

111

(,,)xyz，B

222

(,,)xyz，则

,AB

d

=||ABABAB

uuuruuuruuur

222

212121

()()()xxyyzz.

67.球的半径是R，则

其体积3

4

3

VR,其表面积24SR．

(3)球与正四面体的组合体:

棱长为

a

的正四面体的内切球的半径为

6

12

a,外接球的半径为

6

4

a.

68

1

3

VSh

柱体

（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

1

3

VSh

锥体

（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

69.分类计数原理（加法原理）

12n

NmmmL.

70.排列数公式m

n

A=)1()1(mnnn=

！

！

)(mn

n



.(

n

，

m

∈N*，且mn)．注:规定1!0.

71.组合数公式m

n

C=

m

n

m

m

A

A

=

m

mnnn









21

)1()1(

=

！！

！

)(mnm

n



(

n

∈N*，mN，且mn).

72.组合数的两个性质(1)m

n

C=mn

n

C;(2)m

n

C+1m

n

C=m

n

C

1

.注:规定

10

n

C.

155.组合恒等式（1）1

1

mm

nn

nm

CC

m





;（2）

1

mm

nn

n

CC

nm





;（3）1

1

mm

nn

n

CC

m





;（4）



n

r

r

n

C

0

=n2;

73.排列数与组合数的关系mm

nn

AmC！.

74．单条件排列以下各条的大前提是从

n

个元素中取

m

个元素的排列.

（1）“在位”与“不在位”

①某（特）元必在某位有1

1





m

n

A种；②某（特）元不在某位有1

1





m

n

m

n

AA（补集思想）1

1

1

1





m

nn

AA（着眼位置）

1

1

1

11





m

nm

m

n

AAA（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：)(nmkk个元在固定位的排列有km

kn

k

k

AA



种.

②浮动紧贴：

n

个元素的全排列把k个元排在一起的排法有k

k

kn

kn

AA1

1





种.注：此类问题常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个（1hk），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排

列数有k

h

h

h

AA

1

种.

（3）两组元素各相同的插空

m

个大球

n

个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

当1mn时，无解；当1mn时，有n

m

n

n

n

mC

A

A

1

1



种排法.

（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为n

nm

C



.

75．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的

m

、

n

个物件等分给

m

个人，各得

n

件，其分配方法数共有

m

n

n

n

n

n

nmn

n

nmn

n

mnn

mn

CCCCCN

)!(

)!(

22





.

（2）(平均分组无归属问题)将相异的

m·n

个物体等分为无记号或无顺序的

m

堆，其分配方法数共有

m

n

n

n

n

n

nmn

n

nmn

n

mn

nm

mn

m

CCCCC

N

)!(!

)!(

!

...

22



.

（3）(非平均分组有归属问题)将相异的

)L

12m

P(P=n+n++n

个物体分给

m

个人，物件必须被分完，分别得到

1

n，

2

n，…，

m

n件，且

1

n，

2

n，…，

m

n这

m

个数彼此不相等，则其分配方法数共有

!!...!

!!

!...

21

2

1

1

m

n

n

n

np

n

pnnn

mp

mCCCNm

m





.

76.二项式定理nn

n

rrnr

n

n

n

n

n

n

n

nbCbaCbaCbaCaCba222110)(;

二项展开式的通项公式rrnr

nr

baCT





1

)210(nr，，，.

77.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

()(1).kknk

nn

PkCPP

78.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）

0(1,2,)

i

PiL;（2）

12

1PPL.

79.数学期望

1122nn

ExPxPxPLL

80..数学期望的性质（1）()()EabaEb.（2）若～(,)Bnp,则Enp.

81.方差222

1122nn

DxEpxEpxEpLL标准差=D.

82.方差的性质(1)2DabaD；(2）若～(,)Bnp，则(1)Dnpp.

83..)(xf在),(ba的导数()

dydf

fxy

dxdx





00

()()

limlim

xx

yfxxfx

xx







.

84..函数)(xfy在点

0

x处的导数的几何意义

函数)(xfy在点

0

x处的导数是曲线)(xfy在))(,(

00

xfxP处的切线的斜率)(

0

xf



，相应的切线方程是

))((

000

xxxfyy



.

85..几种常见函数的导数

(1)0



C（C为常数）.(2)'1()()n

n

xnxnQ.(3)xxcos)(sin



.

(4)xxsin)(cos



(5)

x

x

1

)(ln



；

ax

ax

ln

1

)(log



(6)xxee



)(;aaaxxln)(



.

86..导数的运算法则

（1）'''()uvuv.（2）'''()uvuvuv.（3）

''

'

2

()(0)

uuvuv

v

vv



.

87..复合函数的求导法则

设函数()ux在点

x

处有导数''()

x

ux，函数)(ufy在点

x

处的对应点U处有导数''()

u

yfu，则复合函

数(())yfx在点

x

处有导数，且'''

xux

yyu

，或写作'''(())()()

x

fxfux

.

89.复数的相等,abicdiacbd.（,,,abcdR）

90.复数zabi的模（或绝对值）||z=||abi=22ab.

91.复数的四则运算法(1)()()()()abicdiacbdi(2)()()()()abicdiacbdi;

(3)()()()()abicdiacbdbcadi;(4)

2222

()()(0)

acbdbcad

abicdiicdi

cdcd







.

的角度030456090120135150180270360

的弧度0

6



4



3



2



3

2

4

3

6

5



2

3

2

sin0

2

1

2

2

2

3

1

2

3

2

2

2

1

0

1

0

cos

1

2

3

2

2

2

1

0

2

1



2

2



2

3

1

0

1

tan

0

3

3

1

3

无31

3

3



0无0

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

sinyx

cosyx

tanyx

图象

函

数

性

质

定义域

RR

,

2

xxkk













值域1,11,1

R

最值

当

2

2

xk



k时，

max

1y；当

2

2

xk





k时，

min

1y．

当2xkk时，

max

1y；当

2xk

k时，

min

1y．

既无最大值也无最小值

周期性

22



奇偶性奇函数偶函数奇函数

单调性

在2,2

22

kk













k上是增函数；在

3

2,2

22

kk













k上是减函数．

在2,2kkk上是

增函数；在2,2kk

k上是减函数．

在,

22

kk













k上是增函数．

对称性

对称中心,0kk

对称轴

2

xkk





对称中心,0

2

kk













对称轴xkk

对称中心,0

2

k

k











无对称轴