圆锥曲线第三定义

圆锥曲线第三定义

单位估价表-冲击成本

2023年2月21日发(作者：英语从句的类型与用法)

高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究

问题与知识提出：

圆锥曲线的第三定义：

平面内的动点到两定点

1

,0Aa

2

,0Aa的斜率乘积等于常数21e点的轨迹叫做椭

圆或双曲线,

其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数211e时，轨迹为双曲线，如果

211,0e时，轨迹为椭圆。

圆锥曲线的第三定义的有关结论：

1.椭圆方程中有关

2

2

b

a

的经典结论

(1).AB是椭圆

22

22

1

xy

ab

的不平行于对称轴的弦，M),(

00

yx为AB的中点，则

2

2

OMAB

b

kk

a

.

(2).椭圆的方程为

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0），

12

,AA为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异

于长轴顶点的任一点，则有

12

2

2

PAPA

b

KK

a



(3).椭圆的方程为

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0），

12

,BB为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异

于短轴顶点的任一点，则有

12

2

2

PBPB

b

KK

a



(4).椭圆的方程为

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于,AB两点，P点是椭

圆上异于,AB两点的任一点，则有

2

2

PAPB

b

KK

a



2.双曲线方程中有关

2

2

b

a

的经典结论

(1)AB是双曲线

22

22

1

xy

ab

的不平行于对称轴的弦，M),(

00

yx为AB的中点，则

2

2

OMAB

b

kk

a

，

即

2

0

2

0

AB

bx

K

ay

。

(2)双曲线的方程为

22

22

1

xy

ab

（a＞0，b＞0），

12

,AA为双曲线的实轴顶点，P点是双

曲线上异于实轴顶点的任一点，则有

12

2

2

PAPA

b

KK

a



(3)双曲线的方程为

22

22

1

xy

ab

（a＞0，b＞0），

12

,BB为双曲线的虚轴端点，P点是双

曲线上异于虚轴端点的任一点，则有

12

2

2

PBPB

b

KK

a



(4)双曲线的方程为

22

22

1

xy

ab

（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于,AB两点，P

点是双曲线上异于,AB两点的任一点，则有

2

2

PAPB

b

KK

a



典型例题：

例

1

．（

2019

全国卷

2

理科数学第

21

题）已知点

A(

−

2,0)

，

B(2,0)

，动点

M(x,y)

满足直线

AM

与

BM

的斜率

之积为−

1

2

.

记

M

的轨迹为曲线

C.

（

1

）求

C

的方程，并说明

C

是什么曲线；

（

2

）过坐标原点的直线交

C

于

P

，

Q

两点，点

P

在第一象限，

PE

⊥

x

轴，垂足为

E

，连结

QE

并延长交

C

于点

G.

（

i

）证明：

PQG△

是直角三角形；

（

ii

）求

PQG△

面积的最大值

.

例2.已知平行四边形ABCD内接于椭圆22

22

:10

xy

ab

ab

，且AB，AD斜率之

积的范围为

32

,

43









，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.

13

,

23









B.

32

,

32









C.

13

,

43









D.

11

,

43







例3.设椭圆01

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

C：的左右顶点为A,B.P是椭圆上不同于A,B的一点，设

直线AP,BP的斜率分别为m,n，则当||ln||ln3

2

3

2

3nm

mnmnb

a















取得最小值时，

椭圆C的离心率为（）

A.

5

1

B.

2

2

C.

5

4

D.

2

3

例4.已知椭圆22

22

:10

xy

Cab

ab

的左,右焦点分别为

1

F

，

2

F

，

12

23FF

，经

过点

1

F

的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，△

2

ABF

的周长为8.

（1）求椭圆C的方程；

（2）经过椭圆C上的一点Q作斜率为

1

k

，

2

k

（

1

0k

，

2

0k

）的两条直线分别与椭圆C相

交于异于点Q的M，N两点.若M，N关于坐标原点对称，求

12

kk

的值

巩固提升：

1．已知椭圆C：

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的长轴长为4，A，B是其长轴顶点，M是

椭圆上异于A，B的动点，且

3

4MAMB

kk.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，若动点R在直线6x上，直线AR，BR分别交椭圆C于P，Q两点.请问：

直线PQ是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

2.如图,设点,AB的坐标分别为3,0,3,0,直线,APBP相交于点P,且它们的斜率

之积为

2

3

．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点P的轨迹为C,点MN、是轨迹为C上不同于,AB的两点,且满足

//,//APOMBPON,求证：MON的面积为定值．

3．已知椭圆C：

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的短轴长为25，离心率为

3

2

，圆E的圆心

在椭圆C上，半径为2，直线

1

ykx与直线

2

ykx为圆E的两条切线．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）试问：

12

*kk是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

22

22

:1

xy

C

ab



(0)ab

的离心率为

1

2

，右准

线的方程为

4,x

1

,F

2

F

分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．

（

1

）求椭圆

C

的标准方程；

（

2

）过

(,0)Tt()ta

作斜率为k

(0)k

的直线

l

交椭圆

C

于

M

，

N

两点（点

M

在点

N

的

左侧），且

12

//FMFN

，设直线

AM

，

BN

的斜率分别为

1

,k

2

k

，求

12

kk

的值．

5

．已知椭圆C：22

22

10

xy

ab

ab

的离心率为

3

2

，点2,1M

在椭圆上，O为坐

标原点．

（

1

）求椭圆C的标准方程；

（

2

）已知A､B为椭圆上不同的两点．①设线段AB的中点为点T，证明：直线AB､

OT

的

斜率之积为定值；②若A､B两点满足0OAOBOM，当OAB的面积最大时，

求的值．

6

．已知椭圆

E

：，直线

l

不过原点

O

且不平行于坐标轴，

l

与

E

有

两个交点

A

，

B

，线段

AB

的中点为

M

．

若，点

K

在椭圆

E

上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；

证明：直线

OM

的斜率与

l

的斜率的乘积为定值；

若

l

过点，射线

OM

与椭圆

E

交于点

P

，四边形

OAPB

能否为平行四边形？若

能，求此时直线

l

斜率；若不能，说明理由．

2229(0)xymm

1

3m

1

F

2

F

12

KFKF

2

3,

3

m

m







高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究

问题与知识提出：

圆锥曲线的第三定义：

平面内的动点到两定点

1

,0Aa

2

,0Aa的斜率乘积等于常数21e点的轨迹叫做椭

圆或双曲线,

其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数211e时，轨迹为双曲线，如果

211,0e时，轨迹为椭圆。

圆锥曲线的第三定义的有关结论：

1.椭圆方程中有关

2

2

b

a

的经典结论

(1).AB是椭圆

22

22

1

xy

ab

的不平行于对称轴的弦，M),(

00

yx为AB的中点，则

2

2

OMAB

b

kk

a

.

(2).椭圆的方程为

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0），

12

,AA为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异

于长轴顶点的任一点，则有

12

2

2

PAPA

b

KK

a



(3).椭圆的方程为

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0），

12

,BB为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异

于短轴顶点的任一点，则有

12

2

2

PBPB

b

KK

a



(4).椭圆的方程为

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于,AB两点，P点是椭

圆上异于,AB两点的任一点，则有

2

2

PAPB

b

KK

a



2.双曲线方程中有关

2

2

b

a

的经典结论

(1)AB是双曲线

22

22

1

xy

ab

的不平行于对称轴的弦，M),(

00

yx为AB的中点，则

2

2

OMAB

b

kk

a

，

即

2

0

2

0

AB

bx

K

ay

。

(2)双曲线的方程为

22

22

1

xy

ab

（a＞0，b＞0），

12

,AA为双曲线的实轴顶点，P点是双

曲线上异于实轴顶点的任一点，则有

12

2

2

PAPA

b

KK

a



(3)双曲线的方程为

22

22

1

xy

ab

（a＞0，b＞0），

12

,BB为双曲线的虚轴端点，P点是双

曲线上异于虚轴端点的任一点，则有

12

2

2

PBPB

b

KK

a



(4)双曲线的方程为

22

22

1

xy

ab

（a＞0，b＞0），过原点的直线交双曲线于,AB两点，P

点是双曲线上异于,AB两点的任一点，则有

2

2

PAPB

b

KK

a



典型例题：

例

1

．（

2019

全国卷

2

理科数学第

21

题）已知点

A(

−

2,0)

，

B(2,0)

，动点

M(x,y)

满足直线

AM

与

BM

的斜率

之积为−

1

2

.

记

M

的轨迹为曲线

C.

（

1

）求

C

的方程，并说明

C

是什么曲线；

（

2

）过坐标原点的直线交

C

于

P

，

Q

两点，点

P

在第一象限，

PE

⊥

x

轴，垂足为

E

，连结

QE

并延长交

C

于点

G.

（

i

）证明：

PQG△

是直角三角形；

（

ii

）求

PQG△

面积的最大值

.

【解析】（1）由题设得

1

222

yy

xx





，化简得

22

1(||2)

42

xy

x，所以C为中心在

坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点．

（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为(0)ykxk．由22

1

42

ykx

xy















得

2

2

12

x

k





．

记

2

2

12

u

k





，则(,),(,),(,0)PuukQuukEu．于是直线QG的斜率为

2

k

，方程为

()

2

k

yxu．

由

22

(),

2

1

42

k

yxu

xy



















得22222(2)280kxukxku．①

设

(,)

GG

Gxy，则

u

和

G

x是方程①的解，故

2

2

(32)

2G

uk

x

k







，由此得

3

22G

uk

y

k





．

从而直线PG的斜率为

3

2

2

2

1

2

(32)

2

uk

uk

k

uk

k

u

k













．所以PQPG，即PQG△是直角三角形．

（ii）由（i）得2||21PQuk，

2

2

21

||

2

ukk

PG

k







，所以△PQG的面积

2

22

2

1

8()

18(1)

||

1

2(12)(2)

12()

k

kk

k

SPQPG

kk

k

k











‖．

设

t=k+

1

k

，则由

k>0

得

t≥2

，当且仅当

k=1

时取等号．

因为

2

8

12

t

S

t





在

[2

，

+

∞）单调递减，所以当

t=2

，即

k=1

时，

S

取得最大值，最大值为

16

9

．

因此，△

PQG

面积的最大值为

16

9

．

例2.已知平行四边形ABCD内接于椭圆22

22

:10

xy

ab

ab

，且AB，AD斜率之

积的范围为

32

,

43









，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.

13

,

23









B.

32

,

32









C.

13

,

43









D.

11

,

43







【答案】A

【解析】由圆锥曲线的经典结论得：

2

2

ABAD

b

kk

a

•，

22

22

3223

4334

bb

aa



13

23

c

a



例3.设椭圆01

2

2

2

2

ba

b

y

a

x

C：的左右顶点为A,B.P是椭圆上不同于A,B的一点，设

直线AP,BP的斜率分别为m,n，则当||ln||ln3

2

3

2

3nm

mnmnb

a















取得最小值时，

椭圆C的离心率为（）

A.

5

1

B.

2

2

C.

5

4

D.

2

3

【答案】D

【解析】设,,,0,,0,

00

yxPaBaA，点P在双曲线上，得01

2

2

0

2

2

0ba

b

y

a

x

C：，

2

2

0

22

2

0

)(

a

xab

y



，所以

ax

y

m





0

0，

ax

y

m





0

0，化简,

2

2

a

b

mn

原式





































































































b

a

b

a

b

a

b

a

a

b

a

b

a

b

b

a

ln632

3

2

ln6

2

3

2

3

23

2

2

2

2

所以设1

b

a

t，构造函数tttttfln632

3

2

)(23，求导可以得到：

2t时，函数取得最小值=)2(f，2

b

a

，

2

3

e。

例4.已知椭圆22

22

:10

xy

Cab

ab

的左,右焦点分别为

1

F

，

2

F

，

12

23FF

，经

过点

1

F

的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，△

2

ABF

的周长为8.

（2）求椭圆C的方程；

（2）经过椭圆C上的一点Q作斜率为

1

k

，

2

k

（

1

0k

，

2

0k

）的两条直线分别与椭圆C相

交于异于点Q的M，N两点.若M，N关于坐标原点对称，求

12

kk

的值

【答案】（1）

2

21

4

x

y（2）

12

1

4

kk.

【解析】

解:(I)∵

12

23FF

，∴

3c

.

∵△

2

ABF

的周长为8，∴48a，2a.

∵222abc，∴1b

∴椭圆C的方程为

2

21

4

x

y.

（2）设

11

,Mxy

，

00

,Qxy

.∴

11

,Nxy

，

01

xx

，

01

yy

.

∴

2

2

1

1

1

4

x

y

，

2

2

0

0

1

4

x

y

两式相减，得

2

2

22

0

1

10

0

44

x

x

yy

∵01

xx

，

01

yy

，∴1010

1010

1

4

yyyy

xxxx







1010

12

1010

1

4

yyyy

kk

xxxx







巩固提升：

1．已知椭圆C：

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的长轴长为4，A，B是其长轴顶点，M是

椭圆上异于A，B的动点，且

3

4MAMB

kk.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，若动点R在直线6x上，直线AR，BR分别交椭圆C于P，Q两点.请问：

直线PQ是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.

【解析】

（1）由题意知24a则2a，

设

00

,Mxy，,0Aa，,0Ba，则00

00

MAMB

yy

kk

xaxa





2

0

22

00

y

xa





，

由

22

00

22

1

xy

ab

，则

2

22

0

0

2

1

x

yb

a









，则

2

2

3

4MAMB

b

kk

a

，则23b，由此可得

椭圆C的标准方程为

22

1

43

xy

.

（2）设6,Rm，则直线AP的方程为2

4

m

yx；则直线BQ的方程为2

8

m

yx

联立得



22

2

8

{

1

43

m

yx

xy





消去y得：22224844480mxmxm，则

2

2

448

2

48Q

m

x

m







，即

2

2

248

48Q

m

x

m







代入直线BQ的方程得

2

24

48Q

m

y

m





，故

2

22

248

24

,

4848

m

m

Q

mm













.

联立得



22

2

4

{

1

43

m

yx

xy





消去y得：22221244120mxmxm，则

2

2

412

2

12P

m

x

m







，即

2

2

212

12P

m

x

m







代入直线AP的方程得

2

12

12P

m

y

m







，故

2

22

212

12

,

1212

m

m

P

mm















.

当

22

22

248212

4812

mm

mm







，即224m，则PQ与

x

轴交点为

2

,0

3

T







，

当

22

22

248212

4812

mm

mm







，即224m时，下证直线PQ过点

2

,0

3

T







，

由2

2

2

12

0

12

212

2

123

PTQT

m

m

kk

m

m















2

2

2

24

0

48

248

2

483

m

m

m

m













22

99

0

2424

mm

mm







，

故直线PQ过定点

2

,0

3

T







.

2.如图,设点,AB的坐标分别为3,0,3,0,直线,APBP相交于点P,且它们的斜率

之积为

2

3

．

（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点P的轨迹为C,点MN、是轨迹为C上不同于,AB的两点,且满足

//,//APOMBPON,求证：MON的面积为定值．

【答案】（

1

）22

13

32

xy

x（

2

）

6

2

【解析】（

1

）由已知设点P的坐标为,xy

,

由题意知

2

3

3

33APBP

yy

kkx

xx





,

化简得P的轨迹方程为22

13

32

xy

x．

（

2

）证明：由题意MN、是椭圆C上非顶点的两点

,

且

//,//ONAPOMBP

,

则直线

,APBP

斜率必存在且不为

0,

又由已知

2

3APBP

kk

．

因为

//,//APOMBPON

,

所以

2

3OMON

kk

．

设直线MN的方程为

xmyt

,

代入椭圆方程

22

32

xy

,

得

222324260mymtyt

．．．．

①,

．

设

,MN

的坐标分别为

1122

,,,xyxy,

则

2

1212

22

426

,

3232

mtt

yyyy

mm







．

又

2

1212

2222

121212

26

36OMON

yyyy

t

kk

xxmyymtyyttm







,

所以

2

22

262

363

t

tm







,

得22223tm．

又

22

12

2

244872

11

2232MON

tm

Styy

m







,

所以

2

2

26

6

42MON

tt

S

t

,

即MON的面积为定值

6

2

．

3．已知椭圆C：

22

22

1(0)

xy

ab

ab

的短轴长为25，离心率为

3

2

，圆E的圆心

在椭圆C上，半径为2，直线

1

ykx与直线

2

ykx为圆E的两条切线．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）试问：

12

*kk是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

【答案】（1）

22

1

205

xy

；（2）

1

4



【思路引导】

（1）由椭圆22

22

:10

xy

Cab

ab

焦点在

x

轴上，5b，离心率

2

22

53

11

2

cb

e

aaa

，则2220,5ab，即可求得椭圆C的标准方程；（2）

设

00

,Exy，圆E的方程为22

00

4xxyy，由直线

1

ykx与圆

22

00

:4Exxyy相切，根据点到直线的距离公式可得

12

,kk为方程

222

0000

4240xxxyxy，的两个根，由韦达定理可知：

2

0

12

2

0

4

4

y

kk

x







，由E在

椭圆上即可求得

12

1

4

kk．

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

22

22

:1

xy

C

ab



(0)ab

的离心率为

1

2

，右准

线的方程为

4,x

1

,F

2

F

分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．

（

1

）求椭圆

C

的标准方程；

（

2

）过

(,0)Tt()ta

作斜率为k

(0)k

的直线

l

交椭圆

C

于

M

，

N

两点（点

M

在点

N

的

左侧），且

12

//FMFN

，设直线

AM

，

BN

的斜率分别为

1

,k

2

k

，求

12

kk

的值．

【解析】（

1

）因为椭圆

C

的离心率为

1

2

，所以

1

2

c

a



①，

因为椭圆

C

的右准线的方程为4x，所以

2

4

a

c

②，联立①②，解得

2,a

1c，

所以24,a2223bac，所以椭圆

C

的标准方程为

22

1

43

xy

．

（

2

）设

11

,,Mxy

22

,Nxy

，

因为过

(,0)Tt()ta

作斜率为k

(0)k

的直线

l

交椭圆

C

于

M

，

N

两点，所以

:()lykxt

，

由

22

()

3412

ykxt

xy











，得222223484120kxktxkt

，所以

2

12

2

22

12

2

8

34

412

34

kt

xx

k

kt

xx

k

























，

因为

1

(1,0),F

2

(1,0)F

，所以

111

1,,FMxy

222

1,FNxy．

因为

12

//FMFN

，所以

1221

11xyxy

，即

1221

11kxxtkxxt

，

整理得

2112

2txxxxt

，所以12

21

2

xx

xx

t





2

2

8

2

34

k

k



2

6

34k





，

又22

122112

4xxxxxx，所以

2

2

222

222

86412

4

343434

ktkt

kkk



















，

即42222643644334ktktk

，即422221694334ktktk

，整理得

22449(*)kt

．

因为直线

AM

，

BN

的斜率分别为

12

,kk

，且

(2,0),A(2,0)B

，

所以

12

12

12

22

yy

kk

xx









2

12

12

22

kxtxt

xx











22

1212

1221

24

kxxtxxt

xxxx











222

22

22

22

22

4128

3434

4126

24

3434

ktkt

ktt

kk

kt

kk

























2222222

222

412834

41212434

kktkttk

ktk











22

222

312

41612

kt

ktk











22

22

34

4412

kt

kt







9

3

4

912







9

4



．

5

．已知椭圆C：22

22

10

xy

ab

ab

的离心率为

3

2

，点2,1M

在椭圆上，O为坐

标原点．

（

1

）求椭圆C的标准方程；

（

2

）已知A､B为椭圆上不同的两点．①设线段AB的中点为点T，证明：直线AB､

OT

的

斜率之积为定值；②若A､B两点满足0OAOBOM，当OAB的面积最大时，

求的值．

【解析】（

1

）依题意有

22

2

2

41

1

3

1

4

ab

b

a



















，解得

2

2

8

2

a

b











，所以椭圆C的标准方程为

22

1

82

xy

。

（

2

）设

11

,Axy

，

22

,Bxy

，则

22

11

22

22

1

82

1

82

xy

xy



















，两式相减得：



121212120

82

xxxxyyyy

①

∵AB的中点为T，∴1212,

22

xxyy

T









，∴

1212

1212

1

4ABOT

yyyy

kk

xxxx







．

（

3

）解法

l

：由0OAOBOM，因为2,1M

，

所以

12

2xx

，

12

yy

，②

代入①式得直线AB的斜率为

12

12

1

2

yy

xx







，

设直线AB的方程：

1

2

yxm，联立方程组

22

1

82

1

2

xy

yxm



















，

消

y

得：2224480xmxm，由，

解得22m，且

12

2xxm

，2

12

24xxm

，③

由②③可得m，

2

12

1

1

2

ABxx









，

O到AB：

1

0

2

xym

的距离为21

1

2

m









，

所以2

121212

11

4

22AOB

mxxmxSxxx





22

222

4

442

2

mm

mmmm



，

当且仅当22m，即2m时取等号，满足，

由②③可得m，所以的值为2．

解法

2

：设直线AB的方程：

ykxm

，

联立方程组

22

1

82

xy

ykxm















，消

y

得：222148480kxkmxm

，

12

2

8

14

km

xx

k







，

2

12

2

48

14

m

xx

k







，

2

1212

2

8

22

14

km

yykxxmm

k







，

由0OAOBOM，因为2,1M

，

所以

12

2xx

，

12

yy

，有

1212

2xxyy

，

所以

2

22

48

2

1414

kmkm

m

kk







，解得

1

2

k

，下同解法

1

．

6

．已知椭圆

E

：，直线

l

不过原点

O

且不平行于坐标轴，

l

与

E

有

两个交点

A

，

B

，线段

AB

的中点为

M

．

若，点

K

在椭圆

E

上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；

证明：直线

OM

的斜率与

l

的斜率的乘积为定值；

若

l

过点，射线

OM

与椭圆

E

交于点

P

，四边形

OAPB

能否为平行四边形？若

能，求此时直线

l

斜率；若不能，说明理由．

【解析】，椭圆

E

：，两个焦点，

,

设，，，

，

，的范围是

.

设

A

，

B

的坐标分别为，，则两式相减，

2229(0)xymm

1

3m

1

F

2

F

12

KFKF

2

3,

3

m

m







13m

2

21

9

x

y1

22,0F2

22,0F

,Kxy1

22,FKxy2

22,FKxy

222

1212

22,22,881KFKFFKFKxyxyxyy

11y

12

KFKF7,1

2

11

,xy

22

,xy

222

11

222

22

9

9.

xym

xym











得，，

即，故

.

设，设直线，即，

由的结论可知，代入椭圆方程得，，

由与，联立得

,

若四边形

OAPB

为平行四边形，那么

M

也是

OP

的中点，所以，

即，整理得解得，．经检验满足

题意

,

所以当时，四边形

OAPB

为平行四边形

.



12121212

90xxxxyyyy



1212

1212

190

yyyy

xxxx







190

OMl

kk

1

9OMl

kk

3,

PP

Pxy0,0

3

m

lykxmmk：

3

m

lykxkm：

2

1

9

OMyx

k

：

22

2

2

9

91P

mk

x

k







3

m

ykxm

1

9

yx

k



2

22

93

3

,

9191

m

km

kmkm

M

kk



















2

Mp

xx

222

2

22

939

4()

9191

kmkmmk

kk







29810kk

47

9

k





47

9

k



