教材答案

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壳斗科-华北科技学院图书馆

2023年2月21日发(作者：上海市医保)

习题参考答案

第一章

练习题1.1.1

1.（1）[-3,3]；（2）[1,3]；（3）,aa；

（4）,55,；（5）),2()4,(

2.（1）33x；（2）40x且2x

3.,02,33,

练习题1.1.2

1.（1）不是；提示：定义域不同。（2）不是；提示：定义域不同。

（3）不是；提示：对应规则不同。（4）是.

2.2,0，232xx，2xx.

3.0,1,1，

0,

0,

2

1

)(















a

aa

af

a

4.（1）],0()0,2(；提示：解不等式组











0

02

x

x

.

（2）]1,1(；提示：解不等式组

1

0

1

x

x







，即

10

10

x

x











或

10

10

x

x











.

（3）]2,1[；

（4）(1,2]；提示：解不等式组

111

lg0

0

x

x

x

















，即

02

1

0

x

x

x

















.

（5）[1,0)(0,1]；

（6）[6,1)；提示：解不等式组

2650

20

21

xx

x

x

















.

5.（1）]1,1[；

（2）]

4

3

,

4

1

[；提示：解不等式组

1

01

4

1

01

4

x

x



















6.

11

(1)

1(1)

xx

fx

xx







，

()

1

[()]

1()12

1

1

x

fxx

x

ffx

x

fxx

x











7.（1）

2

1



x

y，(,)D；

（2）

1

(110)

2

xy，(,)D；

（3）

2

log(01)

1

x

yx

x





.

8.(1)21xye,定义域为),(；

(2)2arctan1yx,定义域为1,1.

练习题1.1.3

1.（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；

（4）奇函数；（5）非奇非偶函数；（6）偶函数.

2.证明略。提示：（1）令()Fx)(xf+()fx；（2）令()Fx)(xf－()fx

3.0)1(f.提示：令1x，代入)()2(xfxf.

练习题1.1.4

1.（1）是由uey,15xu复合而成；

（2）是由2uy，23xu复合而成；

（3）是由2uy，xutan复合而成；

（4）是由

uyxyln

2

1

复合而成；

（5）是由3

3

1

uy,vuln,)1(2xv复合而成；

（6）是由uyarcsin,

v

u

1

2

1

v，12xv复合而成.

2.（1）xxxf21)(

；（2）)(xf2xx；（3）)(xf=22x.

3.()x2arcsin(1)x.

练习题1.1.5

1.2

2

2

V

Sr

r

,r0.

16150)(,]200,0[Q,16

150)(

)(

QQ

QC

QC.

3.R

2

12

2

P

P.

习题1.1

一、单项选择题

1.B；2.C；3.D；4.B；5.D；

6.D；7.C；8.A；9.D；10.A.

二、填空题

1.(0,1]；2.

[1,2]

；3.2cosx；

4.

3

log(1)yx；5.

2

5

5x

x

.

三、计算题

1.－3；2.2sinlnx；3.5uy,2uv,21vx;

4.

1

,10

10







；5.22axx；

6.

02000

1

(2

20

1

25(2500)25004000

10

3

175(4

20

1

625(7000)7000

5

x

xx

yxx

xx

xx









































习题1.2

1.（1）收敛,极限值为1；（2）收敛,极限值为0；(3)收敛极限值为0；

（4）不收敛;（5）不收敛。

2.(1)

2

5

;(2)0；（3）

1

2

；（4）

1

3

.

练习题1.3.2

1.（1）0；（2）0；（3）0；（4）1；（5）不存在.

2.

3

.提示：

11

lim()lim213

xx

fxx



，

11

lim()lim(ln)

xx

fxaxa



.

3.（1）2；（2）

1

6

；（3）

1

5

；（4）2；

（5）

22

3

；提示：

22

312

lim

4



x

x

x



4

2822

lim

4213x

xx

xx







（6）

1

2

；（7）0；（8）3；

（9）

20

30

2

3

；提示：

1020

30

(1)(21)

lim

(32)x

xx

x





1020

20

30

30

11

12

2

lim

3

2

3

x

xx

x





















（10）1；

（11）1；（12）

2

ab

.

4.10.提示：因为极限存在，所以2

2

lim3460

x

xxkk





5.2,0ba.提示：

32

2

2

2

2

1

(1)2

limlim

1

1

1xx

axb

axbx

x

x

x













练习题1.3.3

1.（1）

5

3

；（2）

1

4

；（3）

4

3

；（4）2；

（5）1；提示：

x

x

x

x

1

sin

1

lim

2

3



23

1

sin

111

limsinlim11

1xx

x

x

xxx

x











（6）

1

2

；提示：

x

x

xsin

11

lim

0



0

1

lim

2

sin11x

x

xx





（7）0；提示：分子、分母同除以x

.

（8）

1

2

.

2.（1）

2e；（2）6e；（3）1e；（4）

2e；

（5）1；提示：

x

xx

















1

1lim1

11

lim111

xx

x

ee

xx













（6）2e；

（7）

1

2e

；提示：

22

223211

limlim1lim1

222222

x

xxx

x

xxx

x

xxx



























（8）3e.

练习题1.3.4

1.（1）无穷小量；

（2）无穷大量；

（3）当

0x时是无穷大量，当1x时是无穷小量；

（4）无穷大量；

（5）既非无穷大量，也非无穷小量；

（6）当

0x时是无穷大量，当0x时是无穷小量；

（7）无穷小量；

（8）无穷小量.

2.（1）当x

时，是无穷小量，当1x时，是无穷大量；

（2）当x

时，是无穷小量，当x时，是无穷大量；

（3）当0x或2x时是无穷小量，当x

或1x时是无穷大量.

3.（1）同阶无穷小量；（2）等价无穷小量；（3）高价无穷小量；

（4）等价无穷小量；（5）同阶无穷小量.

4.

2

1

.提示：

0

lim

x

2

1cosx

ax



=

0

lim

x

2

2

2sin

2

x

ax

=

0

lim

x

1

2a

2

sin

2

2

x

x











=

1

2a

1

,1,0任意.提示：

2

2

11

1

1

limlimlim1

1

1

xxx

x

axbxcx

c

axbxc

axb

xx

















6.证明略。

7.（1）1；提示：分子、分母同除以x，且

sin

lim0

x

x

x

，

cos

lim0

x

x

x



（2）0；（3）0；提示：

1

0

lim0x

x

e





习题1.3

1.因为

2

22

11

3

limlim

1112xx

axaxx

xxx













，故2

1

lim02

x

axxa





2.略

3.略

4.略

5.略

6．







222

22

1111

sin1sin1sin1

limlim1limlim12

111xxxx

xxx

xx

xxx







7.（1）原式=

2

4

22

3

3

4

22

3

2

sin1sin

limlimsinlim100

1

11

1xxx

xxxx

xx

xx

x

x











（2）原式=

0

88

lim

55x

x

x



（3）1x故10x又0x时11nx~

nx

即原式=



1

1

lim

1x

nx

n

x







（4）









sinsin

limlim1

xx

xx

xx











（5）原式=

1

2

1

2

1

1

lim

1

1

2

x

x

e

x

e

e

x



















（6）原式=

22

2222

22

limlimlim1

11

11

xxx

xxxxx

xxxxxxxx

xx











（7）原式=2

11

2

2

00

lim12lim12xx

xx

xxe

















（8）原式=00

1

sin

1lncos

cos

1

lncoslimlim

0

00

limcoslim1xx

x

x

x

x

xxx

x

xx

xeeee







8.（1）1

00

limlim211x

xx

fx







00

limlim1

xx

x

fx

tgx





00

limlim

xx

fxfx



故

0

lim

x

fx



不存在.

(2)①

22

00

limlim0

xx

tgxx

xx



②

2

00

cos1

2

limlim0

xx

x

x

xx





③



00

ln12

2

limlim2

xx

x

x

xx





④

2

00

1

sin

1

limlimsin0

xx

x

x

x

xx



(3)

22

lim0

1x

x

axb

x













故

212

lim0

1x

axabxb

x













则10,0aab则

1ab

习题1.4

1.（1）连续；（2）连续；（3）不连续；（4）连续。

2.（1）1x；（2）2,1x；（3）,2,1,kkx；

（4）1x；（5）1x.

3.（1）不存在；（2）不连续，因为

0

lim

x

)(xf不存在。

4.1a.

5.1,0a.提示：2

00

lim()lim(32)

xx

fxxxaa



，

00

lim()lim

xx

ax

fxa

x



2

2

sin

.

6.1abe.

提示：(0)fa，

00

lim()limx

xx

fxxe





1

-11，

00

1

lim()lim(sin)

xx

fxxbb

x

.

7.（1）)0(f1；提示：定义)0(f

0

lim()

x

fx



.

（2）(0)0f.提示：同（1）.

8.（1）1；（2）

3



；

（3）2；提示：lim{[ln(2)ln]}

x

xxx





22

limlnlimln12

x

xx

x

x

xx













（4）

2

3

.提示：

x

x

x3sin

)21ln(

lim

0





1

0

ln(12)2

lim

sin3

3

x

x

x

x

x







9.证明略。提示：令

5()31fxxx，在区间[0,1]上应用零点定理。

习题2.2

1.

1

lnlnlnyfttft

t









22

111111

lnlnlnlnlnlnyftftftftftft

tttttt



















2.1eyx



故切线的斜率为1ex，又t与x轴平行，则100exx代入11eyxy

则切点为（0，-1）

5.2

2

cos

111111

2

seccos

1

222sin

sincos2sincos

2222

x

x

yx

xxxx

x

tg

x





6.（1）lnlnlnlnlnxx

xxxxyxee

故

lnln

111

lnlnlnlnln

lnln

x

xxyexxxxx

xxx













（2）2sin

sinln1

21x

xxyxe

故

2sin

sinln1

222

22

12

cosln1sin21cosln1sin

11

x

xxx

yexxxxxxxx

xx















7.（1）2

2

1

2121

1

yxarctgxxxarctgx

x







2

1

22

1

yarxtgxx

x







（2）212xye2122xye



104ye



8.（1）

2sec1ytgxyyxyy









2

2

222

sec

11

cos

1seccos1sin()

xy

yxy

xyxyxy









（2）1yyyyxeyexey





1

y

y

e

y

xe







9.（1）

11

dx

dx

dt

dy

dytt

dt





2

2

23

1111dx

t

dx

dyttt

dt











（2）3

24

39

t

t

t

dx

dxe

dt

e

dy

dye

dt







2

223

2

21414

3339

ttt

t

dx

eee

dx

dye

dt















10.（1）lnyxx

1

lnln1yxxx

x





1

1

yx

x



2yx

32yx



故112!

n

n

n

n

dy

nx

dx

（n≥2）

(2)xyxe

xxyexe



xxxyeexe





n

xxx

n

dy

nexeexn

dx



11.22yfxx





2222222242yfxxxfxxfxfx





习题2.3

2.

22

2

1

sincos212

cos

xyxxyxyyx

xy







故





2

22

12cos

1

2

coscos

xxy

dyxdxdx

xyxy















习题2.4

2.14f316f41fxx





则31124411fffba



3.00f14f212fxx





则22

1

412

3

又0,1故

3

3



习题2.5

1.1111

2

1

1ln1ln1

limlimlimlim

111

1ln1ln2

ln(1)xxxx

xxxxx

x

xxxx

xx

xxx

















2.

1

2

3

0000

2

1

ln

limlnlimlimlim20

1

1

2

xxxx

x

x

xxx

x

x









3.

1

00

1

sinsin

limlnlimln

0

0

sin

lim1

x

xx

xx

x

xx

x

x

eee

x























习题2.6

1.定义域101xx

又

1

1

1

y

x







令00yx





当0x时0y



；当0x时0y



故在[-1，0]上单调减少，在[0，+∞]上单调增加.

2.

22

00

2

limlim1

sincos2

xxxx

xx

eeee

xxx











3.2

1

2ln2lnyxxxxx

x





令00yx



或

1

2xe又定义域为x≠0故在

1

2xe处有极值

当

1

2xe时，0y



.当

1

2xe时，0y



故为极小值.

4.232yaxbx



62yaxb





令0620620

3

b

yaxbaxbx

a





∵(1,3)为拐点

∴1

3

b

a

又

29

3,

32

abab

5.（1）定义域为[0,+∞)

又

3

110

22

x

yxx





故[0,+∞)为单调增区间.

（2）

2

ln1

(ln)

x

y

x





令0yxe



定义域0,11,

当0,1x时0y



；当0,xe时0y



，当[,)xe时，0y



故单调减区间0,1和0,e，单

调增区间[,)e

6.344yxx



令00yx



或1x

则当0x时，0y为极小值，

当1x时，y=1为极大值

7.

11

lnx

xxyxe，11

ln

222

111

ln1lnx

xxyexxx

xxx















令0yxe





当x



，当x>e时0y





故x=e的极大值，为

1

ee

8.22exyxexe



令0200xyxexx

或2x

x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)

y′－0+0－

y单减极小单增极大单减

极小值00y，极大值224ye

9.3416yxx





解：0y



得y在[-1,3]上的驻点为，

1

0,2xx，由于15,02,214,311yyyy

故最大值311y，最小值214y.

10.设矩形的边a.b，周长为c，面积为S

则2,cabsab则

2

c

saa









0

2

c

a









又2

2

c

sa



令0s



得驻点，

4

c

a，又S为可

导函数，且最大值一定存在，故当

4

c

a时S最大，此时

2

16

c

s，此时

4

c

ab即为正方形的面积最大

11.设扇形面积为S，弧长为L，周长为C

则

2

Lr

S



，2CrL

则

250

22

S

Crr

rr

(0

又

2

1

250C

r



，令05Cr





由于C为可导函数，且只有一个驻点a和b，且最小值一定存在，故5r时，C取最小值.

12.设小屋的长和宽分别为a和b，面积为S，则

20

220,

2

a

abSabSa





又0S



得a=10故a=10时S最大，此时b=5.

13.(1)定义域为R.

exyexe



2exxxyexeeex



令0y



得x=2

x(-∞,2)2（2,+∞）

y



－0+

y∩连续∪

故拐点22,2e,在,2凸，在2,凹

（2）定义域R

2

1

2

1

yx

x











2

2

22

22

2122

22

11

xxx

x

y

xx











令0y



则1x

x(－∞,－1)－1(－1,1)1(1,+∞)

y



－0+0－

x∩连续∪连续∩

15.（1）定义域为(－∞,+∞)

2321yxx



262yx

（2）0y



的根为1x或者

1

3

x，0y



的根为

1

3

x

则与划分为几个区间：

1111

(,],[,],(,1),[1,)

3333



（3）

x

1

(,)

3



1

3



1

(,1)

3

1

3

1

(,1)

3

1

(1,)

y



+0－－－0+

y



－－－0+++

y

∩极大∩拐点∪极小∪

（4）该曲线无水平渐近线与垂直渐近线

（5）由

127

332

y









，

116

327

y









，10y

（6）故可做出图形（略）

16.令

2(1)

ln

1

x

fxx

x







2

2

12(1)2(1)(1)

0

1(1)

xxx

fx

xxxx









（x>0）

故在x>1上，fx为单调增，则10fxf则

2(1)

ln0

1

x

x

x







习题2.7

1.

1

x

，

2

5

(1)x

，

2

51

(1)x

x





.

2.Q

8

1

50.

3.Q2.060，30，20.

4.

P

P

50

.

5.

4

P

；

4

3

，1，

4

5

.

6.

16

(1)0

9

p时缺乏弹性，

16

4

9

p时富有弹性；(2)0

3

a

p时缺乏弹性，

3

a

pa时富有弹性。

7.(1)；(2)kx；(3)

2(9)

x

x

.

习题3.1

（一）

1、略

2.（A）2

1cos211

2sin2(1cos2)22sin2

222

x

xdxdxxdxxxc







11

cos2cos22sin2

22

xdxxdxxc

（C）2

1cos2

2sin21cos2

2

x

xdxdxxdx





（二）3.2secxdxtgxc过,2

4









则21

4

tgcc





4、略

5、略

（三）6.



2

2

211

22

1

12

122ln

x

xx

dxdxxxdxxxxc

xx









7.2

1cos11

sinsin

2222

xx

dxdxxxc





9.

22

22

2222

1221111

1

11

xx

dxdxarctgxC

xxx

xxxx

















10.



3

232

11

11

1132

xxx

xx

dxdxxxdxxxC

xx











11.



2

2

2

2

2221

22

2

22

x

xx

dxdxxdxxxC

xx











12.

222

2

222

21122

222

111

xxx

dxdxdxxarctgxC

xxx















13.

322

2222

coscos1sin11

sinsin1sinsin

sinsinsinsinsin

xxx

dxdxdxdxxC

xxxxx













14.

2222

cos24cos222

sin2

sincossin2sin2sin2

xx

dxdxdxC

xxxxx



15.

222

222

1cos1cos1cos

sin

1cos21cossin2s

xxx

dxdxdx

xxxcox









2

2

111111

sec

2cos22222

dxxdxtgxC

x











16.

2

1352252

353

33ln2ln33

x

xx

x

dxdxxC























17.4444xxxedxedxeC

换元法

（一）1.2

222211dxxdxxdx

2.

2

1

1

darctgxdx

x



2

1

1

darcctgxdxdarctgxdarcctgx

x





（二）3.1021011

1

sec

11

tgxxdxtgxdtgxtgxC

4.

11

lnlnlnln

lnlnlnlnlnln

dxdxxC

xxxxx



5.

22

11

11

x

xx

xxxx

e

dxdxdearctgec

eeee







6.22

444

sincossin111

sinsinsin

1sin1sin21sin2

xxx

dxdxdxarctgxC

xxx







7.2

3

sincos13

sincossincos

2

3sincos3sincos

xx

dxdxxxxC

xxxx









8.

3222

2222

222

2

1199

1ln9

9292922

29

xxxx

dxdxdxdxxC

xxx

x















9.

222

12

ln

4242

dxdxx

C

xxx









10.

332

22

6626322

111

lnln4

3624

44344

dxdxdxdt

ttC

xxxxxxxtt







则

6

6

6

1

ln

244

4

dxx

C

x

xx









11.2222coscoscossincos2cossinsin

2222222

xxxxxxx

xdxdxd











22

4

212sinsin2sinsin

22232

xxxx

dC











12.2

2

32223

2

sin111

secsec11

coscos3

x

tgxxdxtgxdxdtdttdtttC

xxt



















则33

1

secsecsec

3

tgxxdxxxC

13.



2

2

arctanarctan1

22arctanarctan2arctan

12

1

xt

dxdttdttC

t

xx









则



2arctan

arctan

1

x

dxxC

xx







14.









222

1ln1ln11

lnln

ln

ln1lnlnln

xx

dxdxxdxxC

xx

xxxxxxx









16.



2

111

22arctan

1

1

1

dxdxdxxC

x

xx

x











17.

121

2212ln1

11

211

xx

dxdxdxdxxxC

xx

xxx















18.

22222

22

222222

xaxaa

dxdxaxdxdx

axaxax









22222arcsin

x

xaxxdaxaC

a











2

222

22

arcsin

xx

xaxdxaC

a

ax













则

22

22

22

arcsin

22

xaxx

dxaxC

a

ax













19.

2

1sectan

sectan

1

dxddC

xx













又

1

arccos

x

故

2

1

arccos

1

dx

C

x

xx







20.



2

3

3

2

1sec

cossin

sec

1

dxddC

x













又tanx则

2

22

2222

111

sin1cos111

sectan111

x

xx









则

2

sin

1

x

x





则

32

21

1

dxx

C

x

x









21.令2sinxt则cos2x=1－2t2tan

1

t

x

t





则12

1

t

ftt

t







则12

1

t

ftt

t







分部积分法

coscoscossinxxdxxdxxxxdxxxxC

2.2

2

sinarcsinarcsinarcsinarcsin1

1

x

arcxdxxxxdxxxdxxxxC

x







xedxxdexeedxxeeC

4.

33333

2

1

lnlnlnlnln

33333

xxxxx

xxdxxdxdxxdx

x



33

33

111

lnln

33339

xx

xxCxxC

coscoscossinxxxxxxexdxxdeexedxexexdx

cossinsinsincosxxxxxexxdeexexexdxC



1

cossincos

2

xxexdxexxC

6.222tansec1secxxdxxdxxxxdx

2

tantantan

2

x

xdxxdxxxxdxC

2

tanlncos

2

x

xxxC

7.22221

lnlnlnln2lnxdxxxxdxxxxxdx

x



22ln2lnln2ln2lnxxxdxxxxxxdx

221

ln2ln2ln2ln2xxxxxdxxxxxxC

x



8.

1111

sincossin2cos2cos2cos2

2444

xxxdxxxdxxdxxxxdx

1111

cos2cos22cos2sin2

4848

xxxdxxxxC

9.











333

332

2

lnlnln

1111

lnln3ln

xxx

dxxddxxdx

xxxxxxx









33

22

2

lnln

11

3ln3ln

xx

xdxxd

xxxx







3332

2

2

lnlnln3ln

12ln

3ln3

xxxx

x

dxdx

xxxxxx













3232ln3lnln3ln

1ln11

6ln66

xxxx

x

xddx

xxxxxxxx



32ln3ln

ln1

66

xx

x

C

xxxx



10.

1

coslncoslnsinlncoslnsinlnxdxxxxxdxxxxdx

x





1

coslnsinlncoslnxxxxxxxdx

x



故

1

coslncoslnsinln

2

xdxxxxC





11.





lnln

lnlnlnlnlnlnlnlnln

x

dxxdxxxxdx

x





111

lnlnlnlnlnlnlnlnlnlnln

ln

xxxdxxxdxxxxC

xxx



2cos2cos2cosxxdxxdxxxxdx

2cos4sin2cos4sin4sinxxxdxxxxxxdx

2cos4sin4cosxxxxxC

13.22

2

1

ln1ln12

1

xdxxxxxdx

x







2

22

22

2222

ln1ln12

11

x

xxdxxxdx

xx















2ln122arctanxxxxC

14.

2

23

3

sin

tansectansectansecsec

cos

x

dxxxdxxdxxxxdx

x



32sectansecsectantansecxxxdxxxxxdx

2sectansec1secxxxxdx

3sectansecsecxxxdxxdx

3

1111

secsectansecsectanlnsectan

2222

xdxxxxdxxxxxC

2

3

sin11

sectanlnsectan

cos22

x

dxxxxxC

x



15.

11

arctanarctan

1

2

xdxxxxdx

x

x









1

arctanarctan1

211

x

xxdxxxdx

xx













arctanarctanxxxxC

1arctanxxxC

16.略

特殊函数积分

1.

2

2311

ln2ln5

325

x

dxdxxxC

xxxx















2.

2

2

222

22222

12111111

ln

22121

1211

xx

dxdxdxdxC

xxx

xxxxxx















3.



2

2

22

22

2

1

22

2

1

3sin62sin61cos27cos

11

7cos

7

2

21

w

dxdxdxdudw

du

w

xxxu

ww

u

w

























222

2

222

121112212tan

arctanarctan

34444

33233

333

222

dwdwdwdwwx

CC

w

www















5.

cos1

cot11

sinsin

sinsin

1sin1sin1sinsin1sin

x

x

xx

dxdxdxdx

xxxxx













1sin

lnsinln1sinlnlncsc1

sin

x

xxCCxC

x





6.

2

2

2

2

2

tan

1111

1

2

arctanarctan

1

3cos2

2222

3

1

x

u

u

dxduduCC

u

xu

u















8.

1

1

xdx

xx







令

2

2

11

11

xt

tx

xt







则2

4

1

t

dxdt

t







则



22

2

2

22

2

1144

11

11

1

xdxttt

tdtdt

xxt

tt

t













22

1111

22arctan2ln

21

11

t

dttC

t

tt



















111

2arctanln

1

11

txx

C

t

xx









7.32

2

4

41

441

11

dxtt

dtdttdt

tttt

xx















2

4ln1

2

t

ttC









444ln142xxxC

习题3.2

2.（1）在[1，4]上，m=2，M=17，b－a=3,则4

2

1

6151xdx

（2）在[2，0]上，

1

4me，2Me，b－a=2，则2

1

0

2

4

2

22xxeedxe



3.（2）在[1，2]上32xx，则

3

3

1

xdx大

（3）在[0，1]上ln(1)xx，则

1

0

xdx大

5.

2

2

0

sin

sin2

tdudu

dx

tt

dtdt



2

2

0

cos

cos2

tdudu

dy

tt

dtdt





2

2

2

cos2

cot

sin2

dydtdytt

t

dtdxdxtt







6.

2x

dIx

xe

dx

令



0

dIx

dx

则x=0故x=0时Ix有极值.

7.（1）

2

2

2

2

0

2

000

cos

cos2

limlimlimcos1

2

x

xxx

tdt

xx

x

xx







（2）







2

22

2

2

0

2

2

22

arctan

arctanarctan

1

limlimlimlimarctan1

2

4

1

211

x

xxxx

tdt

xx

x

xx

x

x

xx













（3）

2

1

0

lim

1n

x

dx

x

0,1x故原式=0

8.（1）

1

2

Fxfxafxa

a









（2）







00

1

limlim

222

xa

xa

aa

fxafxa

fxfx

ftdtfx

a













9.（1）



1

2Fxfx

fx





1.3322

00000

1sinsinsincos1coscosddddd



3

14

coscos

0

33





2.



222

2

1

2

111

ln1

ln

2ln1231

1

1ln1ln1ln

eeedx

e

dxdx

x

xxxxxx









3.







000

22

2

222

0

1

arctan1

2

222

1111

dx

dxdx

x

xx

xx

















4.

0

2

2222

0

2

222

coscoscos1coscossincossincossinxxdxxxdxxxdxxxdxxxdx













0

2

0

2

224

coscoscoscos

333

xdxxdx









5.2

2

000

2

1cos22cos2cos2cos2sin2sin22

2

0

2

xdxxdxxdxxdxxx













6.

2

100

2

1

22

44

2

1sin

sintan

cos

xt

dxtdttdt

xt







0

2

4

0

sec1tan1

4

4

tdttt















7.

3

333

222

22

1

444

seccos1133

3

sin2

tansinsinsin3

1

4

dxtt

dtdtdt

tttt

xx















8.

22

111

133

551

4286

54

xdxttt

dtdt

t

x















9.111

111

000

1

112

0

xxxxxedxxdexeedxeee

10.

4ln4ln4ln4ln4

222222

00000

2

ln4ln4

ln

2244ln444ln41

00

2

tttttt

t

xtt

dtedttedttdeteede

x

e



11.11

100

1

sinlnsinsincos

0

e

tttxdxtedtteetdt

11

00

1

coscossin

0

tttetdtetetdt

11

00

sinsin1cos11sintttedteetdt

1

0

1

sinsin1cos11

2

ttedtee

12.

000

1

111

lne

ttt

e

xdxtedttedttedt





01

10

tttedttde





01

1

10

01

22

10

ttttteedtteedte









13.（1）4sinfxxx为奇函数，则0fxdx







（2）2

2

4

222

00

2

1cos2

4cos2421cos2

2

ddd























2

2

2

22

00

1cos4

21cos22cos2212cos2

2

dd

















31113

2sin42sin2

2

22422

0













（3）

22

11

2

226

1

22

00

2

arcsinarcsin

22cos

cos

11

xx

t

dxdxtdt

t

xx











3

2

6

0

2

324

tdt





（4）fx为奇函数，则5

5

0fxdx





14.



2

22

a

a

dxdx

aaa

da









2

2

0

2

2

adxdx

a

da







22

00

aaxdxxdx

习题3.3

1.（1）

43

1

111

1

33

dx

xx





（2）

1

1

2

1

dxx

x



发散

（3）





00

11

0

kpt

kpt

ktpt

e

eedtedkpt

kpkpkp

















（4）

110

11

sinsinsincos

0

ptptptptewtdtwtdewteewwtdt

pp









22

00

coscossin

0

ptptpt

ww

wtdewteewwtdt

pp















2

2222

00

sinsinptpt

www

ewtdtewtdt

pppw









（5）





22

2

1

arctan1

0

22

1111

dxdxdx

x

xx

xx

















2.

000

1

00

xxxxxxedxxdexeedxe







222

000

22

0

xxxxxedxxdexexedx







333

000

33

0

xxxxxedxxdexexedx







00

!nxnxxedxxden



3.2

1

limlim

1

x

x

c

c

c

xx

c

xce

x

e

c

xce

x































2222222

111111

22222224

ccc

ttttctc

cc

cc

tedttdeteedteee















22

15

242

cc

c

eec









习题3.4

1.（1）

2

2

1

2

13

lnln2

1

22

x

Axdxx

x

















（2）1

1

0

1

2

0

xxxxAeedxeeee

2.24yx



则在0,3与3,0处的切线的斜率为4和－2则这两切线分别为43xy，

26xy，两直线焦点为

3

,3

2







则

3

3

22

2

3

0

2

43432643Axxxdxxxxdx

3

3

2

2

2

3

0

2

9

3

4

xdxxdx

3.22ypx在点,

2

p

p







处的切线斜率为1

2

p

y

x



则法线斜率为-1，则发现方程为

3

2

xpy

2

3

2

2

xpy

ypx

















发现与抛物线的交点为,

2

p

p







9

,3

2

pp









则

9

2

22

0

2

316

222

23

pp

p

Apxdxxppxdxp











4.22

2

222

1

2

244

aa

Aaededee













5.（1）例题3.48

6.当焦点为通径时，面积最小，通径为x=a

习题4.2

1.a垂直于b，230ab，2sin,2abababab

a∥b，236sin0ababab

2.不存在

5.32339632ababaabaaabb

6.设

iik

cxyz且2221xyz

则

220caxyz

222

50,

63

bcxyzxyz或

222

,

63

xyz

7.（1）28100ab垂直

（2）5170

10214

333

ijk

cd



平行

8.112233

222222

123123

cos,0

ababab

ab

aaabbb







则夹角为

2



9.

255

cos,

292529

ab



则a在b上的投影为cos,5aab

10.22

20akbakbakb则2

93

255

kk

习题4.3

1.

1

2,3,4n

2

2,3,4n

1

与

2

的夹角为

11

11

11

cos

29

nn

nn





故补充和也不垂直但相交

3.设平面方程为3x+2y+3z+d=0则61206dd

4.设平面方程为ax+by+cz+d=0则

20

220

40

bcd

abcd

abcd

















5.垂直于x轴，则平面方程为x=k，又过（1，-2，4）则x=1

6.设平面法向量为n

3nabijk又过点（1，0，-1）则131034xyzxyz

7.

14210

1

144

d







习题4.4

1.

1

L的方向向量S=（1，-4，1），

2

L的方向向量

1

S=（1，-4，1）

则

281

2

cos

2

189









则

4





2.设直线方程为

222

124

124

xyz

xyz







垂直于2340xyz且2340xyz的法向量为n=（2，-3，1）

则

2

12x

2

23y

2

41z

124

231

xyz





4.（1）直线的方向向量

(2,7,3)n

，平面的法向量为(4,2,2)则直线与平面的夹角,sin0故平

行

习题4.5

1.222222448xyzxy

2222222421216xyzxyxxyyz

22116xyz故球心（1，1，0），半径为6

3.222xyz即22240xyz

习题5.1

1.（1）2,210xyyx

（２）0y20,0,0,xyxyxyxy

（4）0,0xyx222210,0,0,1xyxyyxxxy

2.1,00f

22

22,3fxyxyxyxyxyxyxyxy

3.令,,

22

mnmn

xymxynxy







2

,,

2222

mmn

mnmnmn

fxyxyfmn













故



,

2

xxy

fxy





习题5.2

1.（2）lnzxy则

1111

2

ln2ln

z

y

xxy

xyxxy







（3）cos2cossincos2cossincossin2

z

xyyxyxyyyxyxyxyyxyxy

x











（4）1y

z

yx

x









lny

z

xx

y







2.

1

1

u

xyz









22

yzxy

uzx

y

yzyz











2

uxy

z

yz









则1

uuu

xyz







3.3248

z

xxy

x







2

22

2

128

z

xy

x







3248

z

yxy

y







2

22

2

128

z

yx

y







故

2

16

zz

kxy

xyyx













4.22sinknt

z

knenx

t









2cosknt

z

enxn

x









2

2

2

2

sinknt

z

nenx

x









故

2

2

zz

k

xx







习题5.3

1.



22

3

22

22

2

11

2

2

yx

xy

zxy

xxy

xy













2

3

22

zx

y

xy









则





3

22

2

x

dzydxxdy

xy





2.

2222

2212

1133

zxy

dxdydxdy

xxyxy







习题5.4

1.两地同时对x求导得

2

2cos20

cos2

x

x

ye

yyeyxyyy

yxy









2.



222222

1

11

111

x

x

x

ex

dz

xyyxe

dxxyxyxe









3.

2

zfufy

y

xuxux













1zfuf

x

yuyux













4.3222sin22cos23cos6xyxytt

zzxzy

etetett

txtyt









5.2xy

zfufvff

xye

xuxvxuv







2xy

zfufvff

yxe

yuyvyuv







6.证：



2xy

Fu

zuff

yFuxxye

xuxuv









FuFu

zu

xxx

yuyu













2

FuFu

zz

xyxyxFuyxyyxyxFuzxy

xyuu









7.令x+y+z=S，x-y=t

则

ufsftff

xsxtxst







ufsftff

ysytyst







ufsftf

zsztzs







8.两边同时对x求导

2

zz

zx

yzz

xx

zzyxzx













同时对y求导





2

22

z

z

yz

x

yzz

y

x

zzyyyzx



















习题5.5

1.两边同时对x求导：222220

zz

xzxyz

xx







则

22

2

2

zxz

xxzy







两边同时对y求导：22242210

zz

xyzyz

xy







则

2

22

41

4

zyz

yxzy







习题5.6

1.设222,,1Fxyzaxbycz则

000

2,2,22,2,2naxbyczaxbycz

则切平面方程为：

000000

2220axxxbyyyczzz

222

000000

1axxbyyczzaxbycz

000

1axxbyyczz

法线方程为：



000

000

xxyyzz

axbycz





3.椭球面切平面的法向量为（2x，4y，2z）

平面20xyz的法向量为（1，-1，2）

则

2421

2,

1122

xyz

zxyx



代入椭球面方程得：

212

,,2

1111

22

xyz

即切点坐标为

212

,,2

1111

22











和

212

,,2

1111

22











则切平面方程为

212

220

1111

22

xyz

















和

212

220

1111

22

xyz

















即

22

2

2

xyz

习题5.7

1.

420,4202,2

xy

zxzyxy





得驻点（2，-2）

又

2,0,2

xxxyyy

zzz





则240ACB且A<0则在（2，-2）有极大值，

max

8Z

2.设矩形的边长分别为a,b则

2

2,

24

aa

abpaRRSR





22()

44

aapa

Vb







(23)2

0

43

apa

Vap









则

2

,

33

p

apb时体积最大

3.4071000

x

Cxy



2073580

y

Cxy



则驻点6,20

40,7,20

xxxyyy

CCC



则20ACB又0A则在6,20处有最小值，

即甲产6吨，乙产20吨时总成本最低

习题6.1

2.（1）2

2

2

2222

2

1211

1

2

31

26

2

yy

y

D

x

yy

xdxdydyedxdyyydy

y













（2）2

2

111

0000

1

0

xxx

y

y

yyy

D

y

edxdydyedxyedyyedy

2

11

00

11

111

1

00

2222

yyy

y

yedyyeedyee

（3）

11010

01101

111

111

y

xyxyxyxyxy

y

D

yyy

edxdydyedxdyedxedyedy

yyy















10

21211211211

01

10

11

01

22

yyyyeedyeedyeyeeeee















（4）积分区域在极坐标下可表示为0,12

4

Dr





则

222

2

444

0100

2

333

arctan

4

1

222264

0DD

yr

dxdyrdrddrdrdd

x













5.（1）:02D

022cosr则

222cos

222

00

88

D

vxydxdydrrdr



习题6.2

（1）参数方程

cos

sin

x

y















:0

2



则

222

22

00

22cossincoscos12sinxydxxydydd





2

2

2

0

2sin1

12sinsinsin

2

33

0

d









（2）a.:

xy

L

yy











:01y

1

2

0

1

55

2224

0

22

xydxxydyyydyy

b.:

sin

2

xy

L

x

y

















:01x

1

0

22222sin22sincos

2222

xxx

xydxxydyxxdx

















1

0

22sincossin

224

xx

xxxdx















1

2

0

1

4125

coscossin

0

2422

xxxxdxdx

















c.:

0

xx

OB

y











:01x

1

2

0

1

22221

0

xydxxydxxdxx

1

:

x

BC

yy











:01y

2

11

00

1

3

222220222

0

22

y

xydxxydyyydyydyy





则

5

222

2

xydxxydy

（3）参数方程

2cos

4sin

x

y















:02

2

0

22cos8sin2sin2cos4sin4cosxydxxydyd







2

0

10cos281cos241cos2d







2

5cos284sin242sin28

0





（4）参数方程

cos

sin

xR

yR















:02

2

222

0

cossinsincossincosxydxxydyRRRRRR

d

xyR













2

0

12d



（5）

2

2

21

:

1

xtt

L

yt











:01t

1

22

0

32412xydxxydyttttttdt









432

1

321

0

1

55932

105922

0

2323

ttt

tttdtt

习题6.3

1．（1）2,pxyQxy

则原式18

DD

dxdydxdy

xy



















（2）222,pxyxQxy

则原式

2

35

3

1

4

22

0

1

2411

1212

0

335230

x

x

DD

x

dxdyxdxdydxxdyxxx

xy















（3）232,2pxxyQyxy

则原式222

222

000

2

232348448

0

DD

dxdyyxydxdydxyxydyxdxxx

xy















2.（1）2

0

0

11

3sin4sin4cos3cos12

22

L

Sydxxdyd



（2）22

222

0

00

111

sinsincoscoscos

222

L

Sydxxdyaaaaadaada



3.（1）

QP

xy







故与路径无关





2,322

1,111

5

212211

2

xydxxydyxxxxdxxdx





（2）2123

Q

xyy

x







2123

P

xyy

y







QP

xy







故与路径无关

:

1

xx

L

yx











:13x





3,43

23

2322

1,21

3xyydxxyxydxxxxxxxxdx









3

3242

1

3

89123236

1

xxdxxxx

（5）324

Q

xy

x







324

P

xy

y







故

QP

xy







与路径无关

:

1

yy

L

xy











:01y





2,11

4234325432

1,00

1

23454343543434

0

xyydxxxydyyyyydyyyyyy

习题7.1

1.

2

1

21

limlimlim0

1

313

3

n

nnn

n

n

u

n

n













故发散

sin3

n

nn

un



又sin31n即1sin31n故limsin3

n

n



不存在

1

sin3

n

n





是发散的

3.

22

1

1

1

1

3

2

11

11

23232323223

11

23

n

n

nnnn















则

3113

limlim

22322n

nn

nn

S







故收敛

习题7.2

1.3332

11311

34331

nnn

nnnnnn







又2

1

1n

n

S

nnnnnnn











1

lim11

nn

故收敛

3

1

1

34

n

n

n











也收敛

2.

2sin1

22nn

n

又

1

1

1

11

2

1

22

1

2

n

n

n

n

S











则lim1

n

n

S



故收敛，

2

1

sin

2n

n

n



也收敛.

3.

1

1

1

1111

4

1

1

4434

1

4

n

n

nn

n

S

















则

1

lim

3n

n

S



故收敛

4.

111

3

939n

nn





1

1

1

1111

3

1

1

3323

1

3

n

n

nn

n

S



















1

1

2n

n

S





收敛，

1

1

93n

n









收敛

5.

332

1111

sin

1nnnnn





如题1，故也收敛.

6.

3

33

2

111

1nn

n





又

3

1

2

1

nn





是收敛的，故

3

1

1

1nn





是收敛的

7.



1

2422

1

limlimlim01

2!212221

n

nnn

n

nnn

u

unnnn











故

1

242

2!

n

n

n





收敛

8.



122

1

2

2

limlimlim1

12

1

n

n

n

nnn

n

u

enen

e

uenn

n













故

2

n

nr

e

n





发散

9.



1

21

!1

limlimlim01

!12

n

nnn

n

n

u

n

unnnn











故

1

2

2!

n

n

n





收敛

10.

1

!

3n

n

n

n

V





则

!322

limlimlim11

3!3

n

n

nn

nnn

n

V

n

un



故

n

V与

n

u的敛散性相同

又



1

1

1!

31

limlimlim1

3!3

n

n

n

nnn

n

nn

V

n

Vn











故

n

V是发散的；

n

u也是发散的。

1.

1

n

u

n

则

1nn

uu





又

1

limlim0

n

nn

u

n

故该级数是收敛的

11

n

n

又

1

1

n

n





是发散的

1

1

nn





是发散的

且为条件收敛

2.1

1

11nnnn

n

nnnn















1111

故

1

1n

n

n





是发散的。

3.1

1

1311

limlimlim1

333

n

n

nn

nnn

n

u

nn

un









故为绝对收敛.

4.

44

33

sin

1

5

n

nn



又

4

1

3

1

nn





是收敛的，故

4

1

3

sin

5

n

n

n







是绝对收敛的.

习题7.3

1.1

11

1

11

!!

nn

xx

nn

e

eeeexex

nn









2.1

1

lnlnln1ln1

n

n

n

n

xx

axaa

aan



















3.



1

0

1

1

lnln22

2

n

n

n

n

fxxx

xn

































11

11

00

11

22

22

nn

nn

nn

nn

nxx

n

















4.



1

2

00

11

1

1

nn

nn

fxxnx

x

x































习题8.2

1.方程分离变量得

11

dydx

yx





取积分ln

11

dydx

C

yx





ln1ln1lnyxc得11yxC

2.将方程分离变量，并同时乘以2，得

2

22

ln

121

dydxC

yx





2121yxC

3.将方程分离变量，并同时乘以2，得

22

22

11

yx

dydx

yx





取积分

22

22

ln

11

yx

dydxC

yx







22ln1ln1lnyxc

2

2

1

1

y

C

x







4.化为标准形式

1

1

dyxydy

y

dxxdxx





则通解

1

1dx

xdxeC

xye

















5.化简得：

2

10

dyyy

dxxx









令

ydu

ux

xdx

代入可得

2

2

10

1

dududx

uxuu

dxx

u





两边同时取积分2222

2

ln1lnln

1

dudx

uuxCyyxcx

x

u







6.通解dxdx

xxxxxyeeeCeeedxCexC













7.通解ln

nn

dxdx

nx

xnxnnnx

xxyeexeCeexxdxCxeC



















8.化为标准形式

3

22

24

11

xx

yy

xx







则通解为22

22

33

24

11

2222

4141

1

1111

xx

dxdx

xx

xx

yeeCxdxCxC

xxxx

























9.化为标准形式2

2

xyyxe

x





则通解为22

22222

dxdx

xxx

xxyexeeCxxexdxCxeC















10.

1dydxdx

xyxy

dxxydydy





则通解

11dydyxeyedyC











yyeyedyC









yyyeyeeC

=1yyeC

即1yxyeC

11.通解为22

3

111dxdx

xxyexedxC















232111xxxdxC





2

242

1

1

111

22

x

xCxCx













习题8.3

1.特征方程为2560rr解得

1

3r

2

2r

故通解为32

12

xxyCeCe

2.特征方程为240r解得

1

2r

2

2r

故通解为22

12

xxyCeCe

3.特征方程为290r解得

1

3ri

2

3ri

故通解为

12

cos3sin3yCxCx

4.特征方程为2210rr解得

1

1r

2

1r

故通解为

12

xyCCe

5.特征方程为280rr解得

1

0r

2

8r

故通解为8

12

xyCCe

6.特征方程为2220rr解得

1

1ri

2

1ri

故通解为

12

cossinxyeCxCx

7.对应齐次线性方程的特征方程为2230rr解得特征根

1

3r

2

1r

齐次方程的通解为3

12

xxyCeCe

又1是单特征根，而0m，所以设特解形式为*xyaxe

代入原方程为232xxxxaexaxeaxee



解得

1

2

a

故与方程的通解为3

12

1

2

xxxyCeCeex

8.对应齐次线性方程的特征方程为：230rr解得

1

0r

2

3r

∴齐次方程的通解为3

12

xyCeC

又0是单特征根，而1m，∴设特解为*yxaxb

代入原方程解得：

1

2

a

1

3

b

故通解为32

12

11

23

xyCeCxx

9.对应齐次线性方程的特征方程为220rr解得特征根

1

0r

2

2r

∴齐次方程的通解为2

12

xyCCe

又2是单特征根1m故设特解为2*xyxaxbe

代入原方程解得：0a

1

2

b

故通解为22

12

1

2

xxyCCexe

10.特征跟

1,2

ri

，而01w，故设特解为*cossinyxAxBx

代入原方程解得：

1

2

B0A

故特解为

1

*sin

2

yxx

又对应齐次线性方程的特征根为：

1,2

ri

故齐次线性方程的通解为

12

sincosyCxCx

故原方程通解为

12

1

sincossin

2

yCxCxxx

15.对应的齐次方程的特征根为

1,2

2ri故通解为

12

cos2sin2YCxCx

又0不是特征跟，且m=2，故设特解为*2yaxbxc

代入原方程解得：

11

,0,

48

abc

故通解为2

12

11

cos2sin2

48

yCxCxx

习题9.1

1.

1251

2

07153

13

312

00

77

32

0021



















12151

07153

27

312

00

77

0009











（3）

21415062

31213121

0

12321232

50625062





（4）

0020204

020002

acacacbcebcebca

bdcddeadfbceadfeadfcabcdef

bfcfefbcece







（5）3

311

31000

333

31000

31000

abbbabbbbbbbbbb

babbababbabbab

abababab

bbababbabbabab

bbbaabbbabbaab











2.（A）

321321

32104212

001001



（B）

003130

0100103

130003



（C）

010300

3000103

001001





（D）

102102102

3160100100

224020000



3.

4

4

24

12

1









4.32111111242D





222222202或2

5.

111111111

213031001

D





故有唯一解

又

1

111111111

1210300306

113021002

D





2

111

1110

213

D

3

111111111

1210300303

211031001

D







故1

1

2

D

x

D



1

0x3

3

1

D

x

D



习题9.2

1.

111111133

210111111

101111200

AB

















111121112

111110310

111101310

TTBA















111121331

210110113

101101002

TAB

















2.（3）

3111

0101

nn









（4）11121311

2223331132233332

31323333

,,

aaaxx

xxxaaaxxaxaxaxaxaxaxaxaxax

aaaxx













222

121312323

2232axaxaxaxxaxxaxx

4.

51010

11111











6.

3

12433

124124

5

12400

411411

10

112080000

22



























故秩为2

7.（1）Aadcb

11

Ad

12

Ac

13

Ab

22

Ad

1

1*

1

db

AAadcb

cd

A

















（2）22cossin1Axx

11

cosAx

12

sinAx

21

sinAx

22

cosAx

1*

cossin

1

sincos

xx

AA

xx

A













（3）

00000

1111111

000000

111111

30000330

2121

AI



















0000

11111221

000003

111121

00330033

1111

















9.1AXBXAB

1

0000

110000

11

0000

110000

11

0000

110000

11

AIIA























1

010123012

100012123

001210210

AB













习题9.3

1.（1）设实数

123

,,使

112233

0

即

13

123

123

0

230

560























可得非零解1,1,1T，故是线性先关的

（2）设实数

123

,,使

112233

0

即

13

12

123

123

30

30

270

42140































可得非零解3,1,1T，故是线性相关的

（3）设实数

123

,,使

112233

0

即

123

13

123

250

20

460























可得非零解2,1,1T，故是线性先关的

2.设

123

,,使

112233

0有非零解则

11

110

11

t

t

t







即2311103201ttttttt或2

3.（2）

123

234

123

2344

312

423

7,3,2,16

4.

1234

0

1210

121

3

,,,21103

11

365

4008

4

TTTTA





























A的秩为3，

123

,,为一个极大无关组，

5.解：将系数矩阵A化为最简形

1221

12211221

2122036036

44

1142036000

22

A





























与原方程组同解的最简方程组为

1234

234

4

220

3640

20

xxxx

xxx

x

















取

3

x为自由未知数得一般解为

13

23

4

2

2

0

xx

xx

x

















通解为

1

2

3

4

22

22

1

00

x

k

x

k

k

x

k

x





























kR

基础解系为

2

2

1

0



















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