一元四次方程求根公式

一元四次方程求根公式

植物图鉴-什么是超文本

一元三次方程的一般求解方法

一元三次方程的一般形式：



03

32

120

000ayayaya,a

将（0）式首一化，得

32

123

01yayaya

用新未知数

xy

替代

y

，对（1）式进行变换，得

32232

112123

3320xaxaaxaaa

取

1

1

3

a，可使2x项消失，如此得到

302xpxq

此处23

213121

112

3327

paa,qaaaa

令xuv则得

33333333xuvuvuvuvuvx

将（3）式与（2）式比较系数可知

3334uvp,uvq

仔细观察（4）式可以发现，3u与3v是一元二次方程

3

20

3

p

zqz









的根，

利用一元二次方程的求根公式，有

23

3

12427

qqp

uR

23

3

22427

qqp

vR

又xuv

所以，可以解得

33

12

xRR,

即

2323

33

24272427

qqpqqp

x

这就是求解一元三次方程的求根公式，也叫

Cardan

公式

（但要注意讨论

23

427

qp

的取值，当为负值时，给出的则为复数根；具体讨论情况略）

一元四次方程的一般求解方法

一元四次方程的一般形式：

1

432

02340

00ayayayayaa

将其首一化，得

1

432

234

0yayayaya

以1

4

a

yx代入，则可化为

420xpxqxr

此处23422

12

121311134

31311

882256164

aa

paa,qaa,raaaaaa

由于恒等式

2

2

4222220

24

pp

xpxqxrxqxrxp,









故原方程转化为

2

2

222205

24

pp

xxqxpr





















取适当的使关于x的二次方程

2

2220

4

p

xqxpr









有重根，亦即

2

22420

4

p

qpr









而

2

3228880

4

p

prq









是实系数一元三次方程，解该方程，它有三个

根，设其任一根为123

i

i,,

将

i

代入（5）式得

2

2

220

24ii

i

pq

xx

















，将其分解为以下两个方程

2

2

2

24

2

24

ii

i

ii

i

pq

xx

pq

xx

















































分别解以上两个一元二次方程，即可得到原一元四次方程的四个实根。

（注：此处也要注意讨论参数的取值范围，详细讨论过程略）参考《高等数学引论》华罗庚著