等差数列题目
重叠字大全-顶分型
2023年2月21日发(作者：神笔马良好词好句)一、等差数列选择题
1．记
n
S
为等差数列
n
a
的前
n
项和．若
56
20aa
，
11
132S
，则
n
a
的公差为
（）
A
．2B
．
4
3
C
．4D
．4
2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高
阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等
差数列
.
在杨辉之后一般称为“块积术”
.
现有高阶等差数列，其前
7
项分别
1
，
7
，
15
，
27
，
45
，
71
，
107
，则该数列的第
8
项为（）
A
．
161B
．
155C
．
141D
．
139
3．等差数列
n
a
中，已知
147
39aaa
，则
4
a
（）
A
．
13B
．
14C
．
15D
．
16
4．等差数列{
a
n}的前
n
项和为
Sn，若
a1＝
2
，
S3＝
12
，则
a6等于（）
A
．
8B
．
10C
．
12D
．
14
5．已知数列
n
a
是等差数列，其前
n
项和为
n
S
，若
45
4aa
，则
8
S
（）
A
．
16B
．
-16
C
．
4D
．
-4
6．设等差数列
n
a
的前
n
项和为
n
S
，且
394
4aaa
，则
15
S
（）
A
．
45B
．
50C
．
60D
．
80
7．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期
15
天的训练计划
.
已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离
.
若小李同学前三天共跑了
3600米，最后三天共跑了10800米，则这
15
天小李同学总共跑的路程为（）
A
．34000米
B
．36000米
C
．38000米
D
．40000米
8．等差数列
n
a
中，
123181920
24,78aaaaaa
，则此数列的前20项和等于
（）
A
．
160B
．
180C
．
200
D
．
2209．题目文件丢失！
10．已知数列
n
a
中，
1
3
2
a
，且满足*
1
11
2,
22nn
n
aannN
，若对于任意
*nN，都有
n
a
n
成立，则实数的最小值是（）
A
．
2B
．
4C
．
8D
．
16
11．已知
n
a
为等差数列，
n
S
是其前
n
项和，且
10
0S
，下列式子正确的是（）
A
．
45
0aa
B
．
56
0aa
C
．
67
0aa
D
．
89
0aa
12．在等差数列
n
a
中，
1
0a
，
813
35aa
，则
n
S
中最大的是（）
A
．
21
S
B
．
20
S
C
．
19
S
D
．
18
S
13．已知等差数列
n
a
的公差d为正数，
11
1,211,
nnn
aaatnat
为常数，则
n
a
（）
A
．21nB
．43nC
．54nD
．
n
14．等差数列
n
a
的前
n
项和为
n
S
，已知
5
8a
，
3
6S
，则
107
SS
的值是（）
A
．
48B
．
60C
．
72D
．
24
15．“
中国剩余定理
”
又称
“
孙子定理
”
，
1852
年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中
“
物
不知数
”
问题的解法传至欧洲
.1874
年，英国数学家马西森指出此法符合
1801
年由高斯得出
的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为
“
中国剩余定理
”.“
中国剩余定理
”
讲的是
一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被
3
除余
2
且被
7
除余
2
的
数按由小到大的顺序排成一列，构成数列
n
a
，则
5
a
（）
A
．
103B
．
107C
．
109D
．
105
16．在等差数列
{}
n
a
的中，若
13
1,5aa
，则
5
a
等于（）
A
．
25B
．
11C
．
10D
．
9
17．已知等差数列
n
a
中，
79
16aa
，
4
1a
，则
12
a
的值是（）
A
．
15B
．
30C
．
3D
．
64
18．在
1
与
25
之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（）
A
．
3
、
8
、
13
、
18
、
23B
．
4
、
8
、
12
、
16
、
20
C
．
5
、
9
、
13
、
17
、
21D
．
6
、
10
、
14
、
18
、
22
19．设等差数列
n
a
的前
n
项和为
n
S
，若
79
16aa
，则
15
S
（）
A
．
60B
．
120C
．
160D
．
240
20．若两个等差数列
n
a
，
n
b
的前
n
项和分别为
n
S
和
n
T
，且
32
21
n
n
S
n
Tn
，则
12
15
a
b
（）
A
．
3
2
B
．
70
59
C
．
71
59
D
．
8
5
二、多选题
21．(
多选
)
在数列n
a
中，若22
1
(2,,
nn
aapnnNp
为常数
)
，则称
n
a
为
“
等方
差数列
”
.
下列对
“
等方差数列
”
的判断正确的是（）
A
．若n
a
是等差数列，则
n
a
是等方差数列
B
．1n
是等方差数列
C
．2n
是等方差数列
.
D
．若n
a
既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列22．题目文件丢失！
23．等差数列
n
a
是递增数列，公差为d，前
n
项和为
n
S
，满足
75
3aa
，下列选项正
确的是（）
A
．0dB
．
1
0a
C
．当5n时
n
S
最小
D
．
0
n
S
时
n
的最小值为8
24．已知等差数列
n
a
的公差不为
0
，其前
n
项和为
n
S
，且
1
2a
、
8
S
、
9
S成等差数列，
则下列四个选项中正确的有（）
A
．
598
23aaS
B
．
27
SS
C
．
5
S
最小
D
．
5
0a
25．公差不为零的等差数列
n
a
满足
38
aa，
n
S
为
n
a
前
n
项和，则下列结论正确的
是（）
A
．
11
0S
B
．
10nn
SS
（110n）
C
．当
11
0S
时，
5n
SS
D
．当
11
0S
时，
5n
SS
26．数列
n
a
满足
11
,1
21
n
n
n
a
aa
a
，则下列说法正确的是（）
A
．数列
1
n
a
是等差数列
B
．数列
1
n
a
的前
n
项和2
n
Sn
C
．数列n
a
的通项公式为
21
n
an
D
．数列
n
a
为递减数列
27．下面是关于公差0d的等差数列
{}
n
a
的四个命题，其中的真命题为（）
.
A
．数列
{}
n
a
是递增数列
B
．数列
{}
n
na
是递增数列
C
．数列
{}n
a
n
是递增数列
D
．数列3
n
and
是递增数列
28．在下列四个式子确定数列
n
a
是等差数列的条件是（）
A
．
n
aknb
（k，b为常数，*nN）；
B
．
2nn
aad
（d为常数，
*nN）；
C
．*
21
20
nnn
aaan
N
；
D
．
n
a
的前
n
项和21
n
Snn
（*nN）
.
29．已知等差数列
n
a
的前
n
项和为
S
n（
n
∈
N*
），公差
d≠0
，
S6=90
，
a7是
a3与
a9的等
比中项，则下列选项正确的是（）
A
．
a1=22B
．
d=
－
2
C
．当
n=10
或
n=11
时，
Sn取得最大值
D
．当
Sn>0
时，
n
的最大值为
21
30．已知
n
a
为等差数列，其前
n
项和为
n
S
，且
136
23aaS
，则以下结论正确的是
（）
.
A
．
10
a
0
B
．
10
S
最小
C
．
712
SS
D
．
19
0S
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、等差数列选择题
1
．
C
【分析】
由等差数列前
n
项和公式以及等差数列的性质可求得
6
a
，再由等差数列的公式即可求得公
差
.
【详解】
解：
111
116
11
11132
2
aa
Sa
，
6
12a
，
又
56
20aa
，
5
8a
，
65
4daa
.
故选：
C
．
2
．
B
【分析】
画出图形分析即可列出式子求解
.
【详解】
所给数列为高阶等差数列
,
设该数列的第
8
项为
x
，根据所给定义：用数列的后一项减去
前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了
一个等差数列，如图：
由图可得：
3612
107
y
xy
，解得
155
48
x
y
.
故选：
B.
3
．
A
【分析】
利用等差数列的性质可得
174
2aaa
，代入已知式子即可求解
.
【详解】
由等差数列的性质可得
174
2aaa
，
所以
1474
339aaaa
，解得：
4
13a
，
故选：
A
4
．
C
【分析】
利用等差数列的通项公式即可求解
.
【详解】
{
a
n}为等差数列，
S3＝
12
，即
1232
312aaaa
，解得
2
4a
.
由
1
2a
，所以数列的公差
21
422daa
，
所以
1
12212
n
aandnn
，
所以
6
2612a
.
故选：
C
5
．
A
【详解】
由
1845
8
88
48
16
222
aaaa
S
.
故选
A.
6
．
C
【分析】
利用等差数列性质当
mnpq
时
mnpq
aaaa
及前
n
项和公式得解
【详解】
n
a
是等差数列，
394
4aaa
，
484
4aaa
，
8
4a
1158
158
()15215
1560
22
aaa
Sa
故选：
C
【点睛】
本题考查等差数列性质及前
n
项和公式，属于基础题
7
．
B
【分析】
利用等差数列性质得到
2
1200a
，
14
3600a
，再利用等差数列求和公式得到答案
.
【详解】
根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为
n
a，
则
1232
33600aaaa
，故
2
1200a
，
13141514
310800aaaa
，故
14
3600a
，
则
115214
11
151536000
22n
Saaaa.
故选：
B.
8
．
B
【分析】
把已知的两式相加得到
120
18aa
，再求
20
S
得解
.
【详解】
由题得
120219318
()()()247854aaaaaa
，
所以
120120
3()54,18aaaa
.
所以
20120
20
()1018180
2
Saa.
故选：
B
9．无
10
．
A
【分析】
将
1
11
22nn
n
aa
变形为1
1
221nn
nn
aa
，由等差数列的定义得出
2
2n
n
n
a
，从而得
出
2
2n
nn
，求出
max
2
2n
nn
的最值，即可得出答案
.
【详解】
因为2n时，
1
11
22nn
n
aa
，所以1
1
221nn
nn
aa
，而1
1
23a
所以数列2n
n
a
是首项为
3
公差为
1
的等差数列，故
22n
n
an
，从而
2
2n
n
n
a
.
又因为
n
a
n
恒成立，即
2
2n
nn
恒成立，所以
max
2
2n
nn
.
由
1
*
1
213
22
,2
211
22
nn
nn
nnnn
nn
nnnn
N
得2n
所以
2
max
2222
2
22n
nn
，所以2，即实数的最小值是
2
故选：
A
11
．
B
【分析】
由
10
0S
可计算出
110
0aa
，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项
.
【详解】
由等差数列的求和公式可得
110
10
10
0
2
aa
S
，
110
0aa
，
由等差数列的基本性质可得
56110
0aaaa
.
故选：
B.
12
．
B
【分析】
设等差数列的公差为
d.
由已知得
11
37512adad
，可得关系
1
39
2
ad.
再运用
求和公式和二次函数的性质可得选项
.
【详解】
设等差数列的公差为
d.
由
813
35aa
得，
11
37512adad
，整理得，
1
39
2
ad.
又
1
0a
，所以0d，因此
222
1
20(20)200
2222n
dddd
Snanndnnd
，
所以
20
S
最大
.
故选：
B.
13
．
A
【分析】
由已知等式分别求出数列的前三项，由
213
2aaa列出方程，求出公差，利用等差数列
的通项公式求解可得答案．
【详解】
1
1a
，
1
211
nnn
aatna
,
令1n，则
121
211aata
，解得
2
1at
令2n，则
232
2121aata
，即2
3
11tat
，若1t，则
2
0,1ad
，
与已知矛盾，故解得
3
1at
n
a
等差数列，
213
2aaa
，即2111tt
，解得4t
则公差
21
2daa
，所以
1
121
n
aandn
.
故选：
A
14
．
A
【分析】
根据条件列方程组，求首项和公差，再根据
10789109
3SSaaaa
，代入求值
.
【详解】
由条件可知
1
1
48
32
36
2
ad
ad
，解得：
1
0
2
a
d
，
107891091
33848SSaaaaad.
故选：
A
15
．
B
【分析】
根据题意可知正整数能被
21
整除余
2
，即可写出通项，求出答案
.
【详解】
根据题意可知正整数能被
21
整除余
2
，
21+2
n
an
，
5
215+2107a
.
故选：
B.
16
．
D
【分析】
利用等差数列的性质直接求解．
【详解】
因为
13
1,5aa
，
3155
29aaaa
，
故选：
D
．
17
．
A
【分析】
设等差数列
n
a
的公差为d，根据等差数列的通项公式列方程组，求出
1
a和d的值，
121
11aad
，即可求解
.
【详解】
设等差数列
n
a
的公差为d，
则
11
1
6816
31
adad
ad
，即
1
1
78
31
ad
ad
解得：
1
7
4
17
4
d
a
，
所以
121
17760
111115
444
aad
，
所以
12
a
的值是
15
，
故选：
A
18
．
C
【分析】
根据首末两项求等差数列的公差，再求这
5
个数字
.
【详解】
在
1
与
25
之间插入五个数，使其组成等差数列，
则
17
1,25aa
，则71
251
4
716
aa
d
，
则这5个数依次是5，9，13，17，21.
故选：
C
19
．
B
【分析】
利用等差数列的性质，由
79
16aa
，得到
8
8a
，然后由
158
15Sa
求解
.
【详解】
因为
79
16aa
，
所以由等差数列的性质得
978
216aaa
，
解得
8
8a
，
所以
115
158
15
15158120
2
aa
Sa
．
故选：B
20
．
C
【分析】
可设
(32)
n
Sknn
，
(21)
n
Tknn
，进而求得
n
a
与
n
b
的关系式，即可求得结果．
【详解】
因为
n
a
，
n
b
是等差数列，且
32
21
n
n
S
n
Tn
，
所以可设
(32)
n
Sknn
，
(21)
n
Tknn
，
又当
2n
时，有
1
(61)
nnn
aSSkn
，
1
(41)
nnn
bTTkn
，
12
15
(6121)71
(4151)59
a
k
bk
，
故选：C．
二、多选题
21
．
BD
【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可
.
【详解】
对于
A
，若
n
a
是等差数列，如
n
an
，则
1
2222(1)21
nn
aannn
不是常数，故
n
a
不是等方差数列，故
A
错误；
对于
B
，数列1n中，22212
1
[(1)][(1)]0nn
nn
aa
是常数，{(1)}n是等方
差数列，故
B
正确；
对于
C
，数列2n
中，22
2211
1
2234nnn
nn
aa
不是常数，2n
不是等方差
数列，故
C
错误；
对于
D
，
n
a
是等差数列，
1nn
aad
，则设
n
adnm
，
n
a
是等方差数
列，222
11
2(2)
nnnn
dnmaaaadaddnmdddndm
是常数，
故220d，故
0d
，所以
(2)0mdd
，22
1
0
nn
aa
是常数，故
D
正确
.
故选：
BD.
【点睛】
关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差
数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.
22．无
23
．
BD
【分析】
由题意可知0d，由已知条件
75
3aa
可得出
1
3ad
，可判断出
AB
选项的正误，求
出
n
S
关于d的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出
CD
选项的正误
.
【详解】
由于等差数列
n
a
是递增数列，则0d，
A
选项错误；
75
3aa
，则
11
634adad
，可得
1
30ad
，
B
选项正确；
2
2
1
7
11
1749
3
222224n
nnd
nndnnd
Snandnd
，
当3n或4时，
n
S
最小，
C
选项错误；
令
0
n
S
，可得270nn，解得0n或7n.
nN，所以，满足
0
n
S
时
n
的最小值为8，
D
选项正确
.
故选：
BD.
24
．
BD
【分析】
设等差数列
n
a
的公差为d，根据条件
1
2a
、
8
S
、
9
S成等差数列可求得
1
a
与d的等量关
系，可得出
n
a
、
n
S
的表达式，进而可判断各选项的正误
.
【详解】
设等差数列
n
a
的公差为d，则
811
87
8828
2
Sadad
，
911
98
9936
2
Sadad
，
因为
1
2a
、
8
S
、
9
S成等差数列，则
819
22SaS
，即
111
16562936adaad
，
解得
1
4ad
，
1
15
n
aandnd
，
2
1
9
1
22n
nnd
nnd
Sna
.
对于
A
选项，
59
233412aadd
，
2
8
889
4
2
d
Sd
，
A
选项错误；
对于
B
选项，
2
2
292
7
2
d
Sd
，
2
7
797
7
2
d
Sd
，
B
选项正确；
对于
C
选项，2
2
981
9
2224n
dd
Snnn
.
若0d，则
4
S
或
5
S
最小；若0d，则
4
S
或
5
S
最大
.C
选项错误；
对于
D
选项，
5
0a
，
D
选项正确
.
故选：
BD.
【点睛】
在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为
a
1和
d
等基本量，通过建立方程（组）获得
解，另外在求解等差数列前
n
项和
n
S
的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的
单调性来求解
.
25
．
BC
【分析】
设公差d不为零,由
38
aa，解得
1
9
2
ad
，然后逐项判断
.
【详解】
设公差d不为零,
因为
38
aa
，
所以
11
27adad
，
即
11
27adad
，
解得
1
9
2
ad
，
111
911
115511550
22
Sadddd
，故
A
错误；
22
1101
1109
10,1010
2222nn
nnnn
dd
nadnnnannSSd
，故
B
正确；
若
111
911
115511550
22
Sadddd
，解得0d，
2
2
5
10525
222n
ddd
nnSnS
，故
C
正确；
D
错误；
故选：
BC
26
．
ABD
【分析】
首项根据
11
,1
21
n
n
n
a
aa
a
得到
1
11
2
nn
aa
，从而得到
1
n
a
是以首项为1，公差为
2的等差数列，再依次判断选项即可
.
【详解】
对选项
A
，因为
121
n
n
n
a
a
a
，
1
1a
，
所以
1
21
11
2n
nnn
a
aaa
，即
1
11
2
nn
aa
所以
1
n
a
是以首项为1，公差为2的等差数列，故
A
正确
.
对选项
B
，由
A
知：
1
12121
n
nn
a
数列
1
n
a
的前
n
项和
2
121
2n
nn
Sn
，故
B
正确
.
对选项
C
，因为
1
21
n
n
a
，所以
1
21n
a
n
，故
C
错误
.
对选项
D
，因为
1
21n
a
n
，所以数列
n
a
为递减数列，故D正确.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式和前
n
项和前
n
项和，同时考查了递推公式，属于中档
题.
27
．
AD
【分析】
根据等差数列的性质，对四个选项逐一判断，即可得正确选项
.
【详解】
0d，
1
0
nn
aad
，所以
{}
n
a
是递增数列，故
①
正确，
2
11
1
n
nananddnadn
，当1
2
da
n
d
时，数列
{}
n
na
不是递增数列，
故
②
不正确，
1
n
a
ad
d
nn
，当
1
0ad时，
{}n
a
n
不是递增数列，故
③
不正确，
1
34
n
andndad
，因为0d，所以3
n
and
是递增数列，故
④
正确，
故选：AD
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.
28
．
AC
【分析】
直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．
【详解】
A
选项中
n
aknb
（k，b为常数，*nN），数列
n
a
的关系式符合一次函数的形
式，所以是等差数列，故正确，
B
选项中
2nn
aad
（d为常数，*nN），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个
常数，故错误；
C
选项中*
21
20
nnn
aaan
N
，对于数列
n
a
符合等差中项的形式，所以是等差
数列，故正确；
D
选项n
a
的前
n
项和21
n
Snn
（*nN），不符合2
n
SAnBn
，所以
n
a
不
为等差数列．故错误．
故选：
AC
【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运
算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
29
．
BC
【分析】
分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断
A
，
B
；由配方
法，结合
n
为正整数，可判断
C
；由
S
n>0
解不等式可判断
D
．
【详解】
由公差
6
0,90dS
，可得
1
61590ad
，即
1
2530ad
，①
由
a
7是
a3与
a9的等比中项，可得2
739
aaa
，即2
111
628adadad，化简得
1
10ad
，②
由①②解得
1
20,2ad
，故
A
错，
B
对；
由2
2
121441
201221
224n
Snnnnnn
*nN，可得10n或11时，
n
S
取最大值110，
C
对；
由
S
n>0
，解得021n，可得
n
的最大值为20，
D
错；
故选：
BC
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础
题．
30
．
ACD
【分析】
由
136
23aaS
得
10
0a
，故A正确；当0d时，根据二次函数知识可知
n
S
无最小
值，故B错误；根据等差数列的性质计算可知
127
SS
，故C正确；根据等差数列前
n
项
和公式以及等差数列的性质可得
19
0S
，故D正确.
【详解】
因为
136
23aaS
，所以
111
236615aadad
，所以
1
90ad
，即
10
0a
，故
A正确；
当0d时，
1
(1)(1)
9
22n
nnnn
Snaddnd
2(19)
2
d
nn
无最小值，故B错
误；
因为
10
50SSaaaaaa
，所以
127
SS
，故C正确；
因为
119
1910
19
190
2
aa
Sa
，故D正确
.
故选：
ACD.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、前
n
项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.