坐标变换公式
中华赋-学业预警
2023年2月21日发(作者：成长的力量作文)不同坐标系之间的变换
欧勒角与旋转矩阵
对于二维直角坐标，如图所示，有：
1
1
2
2
cossin
sincos
y
x
y
x
(10-8)
在三维空间直角坐标系中，具有相同原点
的两坐标系间的变换一般需要在三个坐标平面上，通过三次旋转才能完成。
如图所示，设旋转次序为：
①绕
1
OZ
旋转
Z
角，
11
,OYOX
旋
转至
00,OYOX
；
②绕
0OY旋转
Y
角
1
0,OZOX
旋
转至
0
2
,OZOX
；
③绕
2
OX
旋转
X
角，
00,OZOY
旋
转至
22
,OZOY
。
ZYX
,,
为三维空间直角坐标变换的三个旋转角，也称欧勒角，与
它相对应的旋转矩阵分别为：
XX
XXX
R
cossin0
sincos0
001
)(
1(10-10)
YY
YY
Y
R
cos0sin
010
sin0cos
)(
2(10-11)
100
0cossin
0sincos
)(
3ZZ
ZZ
Z
R
(10-12)
令
)()()(
3210ZYX
RRRR
(10-13)
则有：
1
1
1
0
1
1
1
321
2
2
2
)()()(
Z
Y
X
R
Z
Y
X
RRR
Z
Y
X
ZYX
(10-14)
代入：
YXZYXZXZYXZX
YXZYXZXZYXZX
YZYZY
R
coscossinsincoscossincossincossinsin
cossinsinsinsincoscoscossinsinsincos
sinsincoscoscos
0
一般
ZYX
,,
为微小转角，可取：
于是可化简
1
1
1
0
XY
XZ
YZ
R
(10-16)
上式称微分旋转矩阵。
不同空间直角坐标之间的变换
当两个空间直角坐标系的坐标换算既有旋转
又有平移时，则存在三个平移参数和三个旋转参
数，再顾及两个坐标系尺度不尽一致，从而还有一
个尺度变化参数，共计有七个参数。相应的坐标变换公式为：
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
2
2
0
0
0
)1(
Z
Y
X
Z
Y
X
Z
Y
X
m
Z
Y
X
XY
XZ
YZ
(10-17)
上式为两个不同空间直角坐标之间的转换模型，其中含有7个转换参数，
为了求得7个转换参数，至少需要3个公共点，当多于3个公共点时，可
按最小二乘法求得个参数的最或是值。
不同大地坐标系的变换
对于不同大地坐标系的换算，除包含三个平移参数、三个旋转参数和
一个尺度变化参数外，还包括两个地球椭球元素变化参数，以下推导不同
大地坐标系的换算公式。
由(7-30)式
取全微分得
d
da
A
dH
dB
dL
J
dZ
dY
dX
(10-19)
式中
BBHM
LBLBHMLBHN
LBLBHMLBHN
H
Z
B
Z
L
Z
H
Y
B
Y
L
Y
H
X
B
X
L
X
J
sincos)(0
coscossinsin)(cossin)(
coscoscossin)(sincos)(
(10-20)
(10-21)
上式两端乘以1J并加以整理得：
d
da
AJ
dZ
dY
dX
J
dH
dB
dL
11
(10-22)
式中
顾及（10-21）式及
BLBLB
HM
B
HM
LB
HM
LB
BHN
L
BHN
L
J
sinsincoscoscos
cossinsincossin
0
cos)(
cos
cos)(
sin
1
(10-23)
（10-22）式可写为：
(10-24)
上式通常称为广义大地坐标微分公式或广义变换椭球微分公式。如略
去旋转参数和尺度变化参数的影响，即简化为一般的大地坐标微分公式。
根据3个以上公共点的两套大地坐标值，可列出9个以上(10-24)式的方程，
可按最小二乘法求得8个转换参数。