对易关系

对易关系

高一数学题库-微软模拟飞行10

2023年2月20日发(作者：档案管理工作内容)

1．德布罗意关系式为

h

p



。

2．波函数的统计解释：波函数在空间中某一点的强度和在该点找到粒子的几率成正比。

3．描述微观粒子状态的波函数应满足的三个标准条件：单值性，连续性，有限性。

4．厄密算符的本征值为实数。

5．若两个力学量算符

ˆ

F和

ˆ

G的对易关系为

ˆ

ˆ

ˆ

[,]FGik，则

ˆ

F和

ˆ

G的测不准关系式是

2

22().()

4

k

FG。

6.()(,)

nlmnllm

RrY为氢原子的波函数，,,nlm的取值范围分别为

,,,n123,,,,ln0121,mllll,1,,1,。

7.对易关系2ˆ

ˆ

[,]

z

LL0，

ˆˆ

[,]

yz

LL

ˆ

x

iL，

ˆ

ˆ

[,]

x

Ly

ˆ

iz。

8．如两力学量算符

ˆ

ˆ

,AB有对易关系

ˆ

ˆ

[,]0AB，则它们有共同本征函数完全系。

9．厄密算符的矩阵表示在其自身表象中是一个对角矩阵。

10．偶极跃迁中，角量子数与磁量子数的选择定则为1,0,1lm.

11.斯特恩(Stern)－革拉赫(Gerlach)实验和光谱的精细结构表明电子具有自旋属性，

电子自旋角动量在空间任何方向的投影只能是

z

S

2

。

12．自旋为/2奇数倍的粒子所组成的全同粒子体系的波函数是反（正、反）对称的，

服从（服从、不服从）泡利不相容原理。

13．

ˆ

为泡利算符，则2ˆ

3，2ˆ

[,]

z

0。

1．（6分）设一粒子在球面上运动，它处于状态),(

lm

Y。则在),(d区间中测得粒

子的概率

dsin|)(P|

)!2(

)1)(l(2

d)sind|),(|(2m2

lm

2

0

lml

ml

Y





；在

（d,）区间中测得粒子的概率为







2

d

)ddsin|),(|(2

lm

0

Y。

2.（5分）一维x势，写出x=0处波函数及其导数的连接条件：)0()0(，

)0(

2

)0()0(

2





m







。

3．放射性指的是束缚在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出来，可以解释此现象

的量子效应是势垒穿透效应。

4.费米黄金规则（Goldrule）公式为

ififitot

HW







),(

22



；其中各项意义解释

为W

tot

为总跃迁率，







iHfH

fifi

||为从初态|i>到末态|f>的微扰矩阵元，

i

为初态

附近的能量密度。

5．一维谐振子22

2

22

2

1

2

xm

dx

d

m

H



，能量、动量和宇称三个量中，守恒的是：能量

和宇称，理由是0],[HH，0],[HP；不守恒的是动量，理由是

0],[

2

1

],[222ximxpmHp；能量和动量是否能同时测得确定值？不能（因为

0],[Hp）。

1.微观粒子具有波粒二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率、波长之间的关系，其表达式为：

E=h,p=/h。

3．根据波函数的统计解释，dxtx2),(的物理意义为：粒子在x—dx范围内的几率。

4．量子力学中力学量用厄米算符表示。

5．坐标的

x

分量算符和动量的

x

分量算符

x

p的对易关系为：,xpi。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数(x)所描写的状态时，测量某力学量

F所得的数值，必定是算符F

ˆ

的本征值。

7．定态波函数的形式为：

tE

i

n

nextx

)(),(。

8．一个力学量A为守恒量的条件是：A不显含时间，且与哈密顿算符对易。

9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数

是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的________。

10．每个电子具有自旋角动量S



，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：

2



。

1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分）

厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的

2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）

2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本

征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数

相同，则称该波函数具有偶宇称。

3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的

波函数。（4分）

3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波

函数为：

)()()()(

2

1

12212211

qqqq

S



4、在一维情况下，求宇称算符

P

ˆ

和坐标

x

的共同本征函数。（6分）

4、宇称算符

P

ˆ

和坐标

x

的对易关系是：

PxxP

ˆ

2],

ˆ

[

，将其代入测不准关系

知，只有当

0

ˆ

Px

时的状态才可能使

P

ˆ

和

x

同时具有确定值，由

)()(xx

知，

波函数

)(x

满足上述要求，所以

)(x

是算符

P

ˆ

和

x

的共同本征函数。

5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间

t

和能量

E

的测不准关系。（5分）

5、设

F

ˆ

和

G

ˆ

的对易关系

k

ˆ

iF

ˆ

G

ˆ

G

ˆ

F

ˆ



，

k

是一个算符或普通的数。以

F

、

G

和

k

依次表示

F

ˆ

、

G

ˆ

和

k

在态



中的平均值，令

FF

ˆ

F

ˆ



，

GG

ˆ

G

ˆ



，

则有

4

2

22

k

)G

ˆ

()F

ˆ

(

，这个关系式称为测不准关系。

时间

t

和能量

E

之间的测不准关系为：

2



Et

量子力学复习题(2013)

一、填空题

1.在空间发现粒子的概率密度为_________；概率流密度为_______________。

2.波尔的量子化条件为。

3.坐标和动量的测不准关系是___________________________。

4.德布罗意关系为。

5.对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为________________，考虑自旋但不考

虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为________________，如再考虑自旋与

轨道角动量的耦合，能级的简并度为__________________。

6.用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。

7.为泡利算符，2，2,

z







，,

xy







。

8.波函数的统计解释为。

9.隧道效应是指__________________________________。

10.波函数的标准化条件为。

11.()(,)

nlmnllm

RrY为氢原子波函数，,,nlm的取值范围为。

12.表示力学量的算符应满足的两个性质是。

13.乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是_____________________。

14.厄米算符的本征函数具有，其本征值为，不同本征值对

应的本征函数。

15.,

x

xp，,

yx

LL







，,

x

Ly。

16.在

z

表象中，

x

的矩阵表示为，

x

的本征值为，对应的本

征矢为。

17.若两力学量,AB有共同本征函数完全集，则,AB。

18.自旋角动量与自旋磁矩的关系为。

19.在定态的条件下，守恒的力学量是。

20.原子电偶极跃迁的选择定则为。

21.设体系处在|态，在该态下测量F有确定值，则表示该力学量的算符

ˆ

F与态矢量

|的关系为。

22.轨道磁矩与轨道角动量的关系为，自旋磁矩与自旋角动量的关系

为。

23.费米子所组成的全同离子体系的波函数具有，玻色子所组成的

全同离子体系的波函数具有。

24.在

z

表象中，

z

的矩阵表示为，

z

的本征值为，对应的本

征矢为。

25.自旋

z

S的本征值为，在

z

S表象中，

x

S的矩阵表示为，对

应的本征矢为。

二、计算题

1．（10分）设粒子处在一维无限深方势阱

0(0)

()

(0,)

xa

Vx

xxa













中,粒子的波函数为

)()(axAxx,A为归一化常数.(1)求A;(2)粒子在何处出现的概率最大。

2．已知0t时，氢原子的波函数为

100

211

2

()

2

(,,0)

2

()

2

z

r

rst

r























，其中

),()()(

lmnlnlm

YrRr



满足归一化条件1|)(|32rdr

nlm



。试完成：（1）写出任意

t

时刻的波函数

(,,)

z

rst；（2）求能量E、轨道角动量2ˆ

L和

z

L

ˆ

、自旋

z

S

ˆ

的可能取值和相

应的几率以及平均值；（3）计算

t

时刻自旋分量

x

S

ˆ

的平均值

x

S

。

3．设在

0

H



表象中























aEb

baE

H

)0(

2

)0(

1，其中a，b都是实数，用微扰论求能量至

二级修正。

4．（10分）设粒子处于态

102120

11

23

YYcY

，为归一化波函数，

lm

Y为球谐函

数，求：（1）系数

c

的值；（2）

z

L的可能测值；（3）测2L得到26的概率。

5．自旋为

2

1

的体系，在0t时处于本征值为2/的

x

S的本征态，将其置于

0,0,BB的磁场中，求

t

时刻，测量

x

S取2/的几率。

6．（10分）设在0H表象中，H的矩阵表示为

0

1

0

2

**0

3

0

0

Ea

HEb

abE













，其中

000

123

,abEEE，试用微扰论求系统的能量（精确到二级能量修正）。

7．设氢原子处在能量本征态,,(,)

nlmnllm

rRrY，求氢原子角动量各分量平

均值

x

L、

y

L和

z

L。

8．（10分）电子的归一化自旋-轨道波函数为1

2

(,,)

(,,)

xyz

xyz















，与自旋相关的力学量

ab

G

cd









。在态下求：（1）G对自旋求平均值的结果；（2）G对坐标和自旋同时求

平均值的结果。

9．在正交基矢

12

,和

3

展开的态空间中，某力学量

200

001

010

Aa













，求在态

123

111

22

2

中测量A的可能值、几率和平均值。

10．粒子的波函数为ikre

r

1

，求其几率流密度。

11．利用氢原子的能级公式，求电子偶素（e+-e-束缚体系）的能谱。

12．设量子体系的Hamilton量为

10

01

H











，频率



是实数。（1）求体系能量

的本征值和本征函数；（2）如果0t时体系处于状态，求0t时体系所处状态；（3）若0t

时体系处于基态，当一个小的与t有关的微扰

0

0

tHe

















在0t时加上后，求t

时体系跃迁到激发态的几率。

13．教材中布置了的习题。

三、问答题

1.什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？

2.经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别？

3.简述力学量与力学量算符的关系是什么？

4.量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？

5.简述波尔的原子理论，为什么说波尔的原子理论是半经典半量子的？

6.简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？

7.能量本征态的叠加态还是能量本征态吗？为什么？

8.量子力学不同表象间的变换是什么变换？在不同表象中不变的量是哪些？

9.什么是定态？定态有什么性质？

四、证明题

1.若算符A、B有共同的本征函数完备集，则A、B对易。

2.对于力学量A与B，写出二者在任何量子态下涨落所满足的关系，并推导之。

3.写出力学量A的平均值随时间的演化方程，并作简略推导。

4.在定态下，证明任意不显含时间t的力学量A取值几率分布不随时间改变。

算符各个分量的反对易关系。

6.在2(,)

z

LL共同表象下，在角动量量子数1l的子空间中，

x

L、

y

L

和

z

L的矩阵表示

分别为

010

101

2

010

x

L













、

00

0

2

00

y

i

Lii

i















和

110

000

001

x

L















，证明角

动量平方22222

100

2010

001

xyz

LLLL













。

7.由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符

ˆ

||p，试证明（1）

ˆ

p是

厄米算符；（2）2ˆˆ

pp；（3）

ˆ

p的本征值为0和1。