两直线夹角
Zorba-肺结构图
2023年2月20日发(作者：浙江教师培训)3.1.5空间向量运算的坐标表示一、向量的直角坐标运算设
aa1a2a3bb1b2b3则aba1b1a2b2a3b3aba1b1a2b2
a3b3aa1a2a3Raba1b1a2b2a3b3a//ba1b1a2b2a3b3
Ra1/b1a2/b2a2/1b1a2b2a3b30已知＝3-24，＝
-25-3，则ab_______ab_________3a5b________________
ab__________2aba2b____二、距离与夹角1.距离公式（1）
向量的长度（模）公式2aaaa12a22a322bbbb12b22b32
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。（2）
空间两点间的距离公式终点坐标减在空间直角坐标系中，
已知Ax1起点坐标y1z1、Bx2y2z2，则ABx2x1y2y1
z2z1ABABABx2x12y2y12z2z12dABx2x1y2y1
z2z12222.两个向量夹角公式aba1b1a2b2a3b3cosaba
ba1a2a3b1b2b3222222注意：（1）当cosab1时，
与b同向；a（2）当cosab1时，与ab反向；（3）
当cosab0时，ab。思考：当0cosab1及1cosab0时，
的夹角在什么范围内？练习一：1.求下列两个向量的夹角的
余弦：1a233b1002a111b1012.求下列两点间的距
离：1A110B1112C315D023.三、应用举例例1已
知A331、B105，求：AM（1）线段AB的中点坐标
和长度；B解：设Mxyz是AB的中点，则113OOM
OAOB331105232223∴点M的坐标是23.2dAB
.（2）到A、B两点距离相等的点Pxy
z的坐标xyz满足的条件。解：点Pxyz到A、B的
距离相等，则x32y32z12x12y02z52化简整理，得
4x6y8z70即到A、B两点距离相等的点的坐标xyz
满足的条件是4x6y8z70例2如图，在正方体ABCDA1
B1C1D1中，1E1BA1B1D1F14，求BE1与DF1所
成的角的余弦值。z解：设正方体的棱长为1，如图建D1F1
C1立空间直角坐标系Oxyz，则A1E1B13B110E111
4Dy1OCD000F10，1.4AB31xBE1111100144
例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，1E1BA1B1
D1F14，求BE1与DF1所成的角的余弦值。z11D1F1
DF10，10000，1.44C1A1E1B11115BE1DF1001
144161717DOCyBE1DF1.4415ABBEDF11615x
1DF117171744练习二：正方体
A1B1C1D1－ABCD，E、F分别是C1CD1A1的中点，求
ABEF12求点A到直线EF的距离。用向量方法）D1C1F
A1B1EDCAB练习三：如图：直三棱柱ABCA1B1C1
底面ABC中，CA＝CB＝1，BCA＝90，棱AA1＝
2，M、oN分别为A1B1、AA1的中点，1求BN的
长；C12求cosBA1CB1的值；A1B1M3求证：A1
BC1M。NCAB四、课堂小结：1.基本知识：（1）
向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹
角公式。2.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以
先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直
角坐标运算法则进行计算或证明。思考题：已知A（023、
B（216C115用向量方法求ABC的面积S。