现代控制理论第三版课后答案
报告厅设计规范-xxxvvv
2023年2月20日发(作者：成都气候)《现代控制理论》课后习题全部答
第一章习题答案
1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
1
1
KsK
K
p
s
KsK
p1
sJ
1
1
s
K
n
2
2
sJ
K
b
-
++
-
+
-
)(s)(sU
图1-27系统方块结构图
解：系统的模拟结构图如下：
)(sU
)(s
-
-
-
+
+
+
图1-30双输入--双输出系统模拟结构图
1
K
p
K
K
1
p
K
K
1+
+
+
p
K
n
K
1
1
J
2
J
K
b
-
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
系统的状态方程如下：
u
K
K
x
K
K
x
K
K
x
XKxKx
xx
x
J
K
x
J
x
J
K
x
J
K
x
x
J
K
x
xx
ppp
p
n
p
b
1
6
1
1
1
6
61315
34
6
1
5
1
4
1
3
1
3
3
2
2
21
1
阿
令ys)(，则
1
xy
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
《现代控制理论》课后习题全部答
6
5
4
3
2
1
1
6
5
4
3
2
1
11
11
111
2
6
5
4
3
2
1
000001
0
0
0
0
0
0000
0000
000100
1
00
00000
000010
x
x
x
x
x
x
y
u
K
K
x
x
x
x
x
x
K
K
K
K
KK
J
K
JJ
K
J
K
J
K
x
x
x
x
x
x
p
pp
p
n
p
b
1-2有电路如图1-28所示。以电压)(tu为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为
状态变量的状态方程，和以电阻
2
R
上的电压作为输出量的输出方程。
R1
L1
R2
L2
C
U
---------
Uc
---------
i1i2
图1-28电路图
解：由图，令
32211
,,xuxixi
c
，输出量
22
xRy
有电路原理可知：
321
322
2
2
31111
xCxx
xxRxL
uxxLxR
既得
22
213
3
2
2
2
2
2
1
3
1
1
1
1
1
11
1
11
xRy
x
C
x
C
x
x
L
x
L
R
x
u
L
x
L
x
L
R
x
写成矢量矩阵形式为：
《现代控制理论》课后习题全部答
3
2
1
2
1
3
2
1
22
2
11
1
3
2
1
00
0
0
1
0
11
1
0
1
0
x
x
x
Ry
u
L
x
x
x
CC
LL
R
LL
R
x
x
x
。
。
。
1-3参考例子1-3（P19）.
1-4两输入
1
u，
2
u，两输出
1
y，
2
y的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空
间表达式和传递函数阵。
1
1
a
3
a
4
a
2
b
1
b
1
u
2
u
1
y
2
y
+-
-
-
-
-
-
+
+
+
5
a
6
a
2
a
图1-30双输入--双输出系统模拟结构图
解：系统的状态空间表达式如下所示：
4
3
2
1
2
1
4
3
2
1
345
612
4
3
2
1
0101
0
00
0
00
0
1001
0
0010
x
x
x
x
y
u
b
b
x
x
x
x
aaa
aaa
x
x
x
x
345
612
0
101
0
001
)(
aaa
s
aasa
s
AsI
《现代控制理论》课后习题全部答
2
1
1
345
612
1
0
00
0
00
0
101
0
001
)()(
b
b
aaa
s
aasa
s
BAsIsW
ux
2
1
1
345
612
1
0
00
0
00
0
101
0
001
0101)()(
b
b
aaa
s
aasa
s
BAsICsW
uy
1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
uuuyyyy23375)2(
......
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令
..
3
.
21
yxyxyx，，，则有
3
2
1
3
2
1
3
2
1
132
1
0
0
573
100
010
x
x
x
y
u
x
x
x
x
x
x
。
。
。
相应的模拟结构图如下：
5
7
3
u
y
+
+
+
-
-
-
3
1
x2
x3
x
2
1
1-6（2）已知系统传递函数
2)3)(2(
)1(6
)(
sss
s
sW,试求出系统的约旦标准型的实现，并画
出相应的模拟结构图
解：
sssssss
s
sW
3
1
2
3
3
3
10
)3(
4
)3)(2(
)1(6
)(
22
《现代控制理论》课后习题全部答
4
3
2
1
4
3
2
1
4
3
2
1
3
1
3
3
10
4
1
1
1
0
0000
0200
0030
0013
x
x
x
x
y
u
x
x
x
x
x
x
x
x
1-7给定下列状态空间表达式
3
2
1
3
2
1
3
2
1
100
2
1
0
311
032
010
x
x
x
y
u
x
x
x
x
x
x
‘
（1）画出其模拟结构图
（2）求系统的传递函数
解：
（2）
311
032
01
)()(
s
s
s
AsIsW
)1)(2)(3()3(2)3(2ssssssAsI
)2)(1(15
0)3()3(2
033
)1)(2)(3(
1
)(
2
1
ssss
sss
ss
sss
AsI
)3)(12(
)3(
)3(
)1)(2)(3(
1
2
1
0
)2)(1(15
0)3()3(2
033
)1)(2)(3(
1
)()(
2
1
ss
ss
s
sss
ssss
sss
ss
sss
BAsIsW
ux
)1)(2(
)12(
)1)(2)(3(
1
)3)(12(
)3(
)3(
100)()(1
ss
s
sss
ss
ss
s
BAsICsW
uy
《现代控制理论》课后习题全部答
1-8求下列矩阵的特征矢量
（3）
6712
203
010
A
解：A的特征方程
06116
6712
23
01
23
AI
解之得：3,2,1
321
当1
1
时，
31
21
11
31
21
11
6712
203
010
p
p
p
p
p
p
解得：
113121
ppp令1
11
p得
1
1
1
31
21
11
1
p
p
p
P
（或令1
11
p，得
1
1
1
31
21
11
1
p
p
p
P
）
当2
1
时，
32
22
12
32
22
12
2
6712
203
010
p
p
p
p
p
p
解得：
123212222
1
,2pppp
令2
12
p得
1
4
2
32
22
12
2
p
p
p
P
（或令1
12
p，得
2
1
2
1
32
22
12
2
p
p
p
P
）
当3
1
时，
33
23
13
33
23
13
3
6712
203
010
p
p
p
p
p
p
解得：
13331323
3,3pppp令1
13
p得
3
3
1
33
23
13
3
p
p
p
P
1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）
《现代控制理论》课后习题全部答
3
2
1
2
1
3
2
1
3
2
1
110
021
35
72
13
311
201
214
x
x
x
y
y
u
x
x
x
x
x
x
（2）
解：A的特征方程
0)3)(1(
311
21
214
2
AI
1,3
32,1
当3
1
时，
31
21
11
31
21
11
3
311
201
214
p
p
p
p
p
p
解之得
113121
ppp令1
11
p得
1
1
1
31
21
11
1
p
p
p
P
当3
2
时，
1
1
1
3
311
201
214
31
21
11
31
21
11
p
p
p
p
p
p
解之得
32222212
,1pppp令1
12
p得
0
0
1
32
22
12
2
p
p
p
P
当1
3
时，
33
23
13
33
23
13
311
201
214
p
p
p
p
p
p
解之得
332313
2,0ppp
令1
33
p得
1
2
0
33
23
13
3
p
p
p
P
101
201
011
T
110
211
210
1T
《现代控制理论》课后习题全部答
43
25
18
35
72
13
110
211
210
1BT
302
413
101
201
011
110
021
CT
约旦标准型
x
~
y
ux
~
x
~
302
413
43
25
18
100
030
013
1-10已知两系统的传递函数分别为W
1
(s)和W
2
(s)
2
1
0
2
1
1
1
)(
1
s
s
ss
sW
0
1
1
4
1
3
1
)(
2
s
ss
sW
试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果
解：（1）串联联结
)2)(1(
1
)1(
1
)4)(3)(2(
75
)3)(1(
1
2
1
0
2
1
1
1
0
1
1
4
1
3
1
)()()(
2
2
12
sss
sss
ss
ss
s
s
ss
s
ss
sWsWsW
（2）并联联结
0
1
1
4
1
3
1
2
1
0
2
1
1
1
)()()(
11
s
ss
s
s
ss
sWsWsW
1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为
2
1
0
1
1
1
)(
1
s
ss
sW
10
01
2
)s(W
求系统的闭环传递函数
解：
《现代控制理论》课后习题全部答
2
1
0
1
1
1
10
01
2
1
0
1
1
1
)()(
211
s
ss
s
ss
sWsW
2
3
0
1
1
2
10
01
2
1
0
1
1
1
)()(
1
s
s
ss
s
s
ss
IsWsWI
3
2
0
)3(
1
2
1
1
2
0
1
2
3
3
1
)()(1
21
s
s
ss
s
s
s
s
s
ss
s
s
s
sWsWI
3
1
0
)3(
1
2
1
1
1
0
1
)1)(2(
3
3
1
2
1
1
1
1
1
2
0
1
2
3
3
1
)()()()(
1
1
21
s
ss
s
s
s
sss
s
s
s
s
s
ss
s
s
ss
s
s
s
sWsWsWIsW
1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为
2
1
2
1
1
1
1
s
ss
)s(W
10
01
2
)s(W
求系统的闭环传递函数
解：
2
1
2
1
1
1
10
01
2
1
2
1
1
1
11
s
ss
s
ss
)s(W)s(W
2
3
2
1
1
2
10
01
2
1
2
1
1
1
11
s
s
ss
s
s
ss
)s(W)s(WI
1
2
2
1
2
3
25
1
2
1
11
s
s
ss
s
ss
)s(s
)s(W)s(WI
《现代控制理论》课后习题全部答
25
2
)25)(2(
66
25
1
)25()2(
)83()1(
1
12
1
)2(2
2
2
)2(
1
)2(
32
)2(
3
25
)1(
2
1
1
2
1
1
2
2
1
2
3
25
)1(
)()()()(
22
23
222
2
2
2
2
1
1
11
ss
s
sss
sss
ss
s
sss
ss
sss
s
s
ssss
s
s
s
s
ss
ss
s
s
ss
s
s
ss
s
ss
ss
sWsWsWIsW
1-12已知差分方程为
)(3)1(2)(2)1(3)2(kukukykyky
试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为
（1）
1
1
b
解法1：
2
1
1
1
23
32
)(
2
zzzz
z
zW
)(
1
1
)(
20
01
)1(kukxkx
)(11)(kxky
解法2：
)(2)(3)(
)(3)(2)1(
)()1(
21
212
21
kxkxky
ukxkxkx
kxkx
)(23)(
)(
1
0
)(
32
10
)1(
kxky
kukxkx
求T,使得
1
1
1BT得
10
11
1T所以
10
11
T
15
04
10
11
32
10
10
11
1ATT
13
10
11
23
CT
《现代控制理论》课后习题全部答
所以，状态空间表达式为
)(13)(
)(
1
1
)(
15
04
)1(
kzky
kukzkz
《现代控制理论》课后习题全部答
第二章习题答案
《现代控制理论》课后习题全部答
《现代控制理论》课后习题全部答
《现代控制理论》课后习题全部答
2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数Ate。
（2）A=
11
41
解：第一种方法：令0IA
则
11
0
41
，即2140。
求解得到
1
3，
2
1
当
1
3时，特征矢量11
1
21
p
p
p
由
111
App，得1111
2121
3
11
3
41
pp
pp
即112111
112121
3
43
ppp
ppp
，可令
1
1
2
p
《现代控制理论》课后习题全部答
当
2
1时，特征矢量12
2
22
p
p
p
由
222
App，得1212
2222
11
41
pp
pp
即122212
122222
4
ppp
ppp
，可令
2
1
2
p
则
11
22
T
，1
11
24
11
24
T
33
3
33
111111
11
0
242244
221111
0
2422
tttt
t
At
t
tttt
eeee
e
e
e
eeee
第二种方法，即拉氏反变换法：
11
41
s
sIA
s
1
11
1
41
31
s
sIA
s
ss
11
3131
41
3131
s
ssss
s
ssss
111111
231431
11111
31231
ssss
ssss
33
1
1
33
1111
2244
11
22
tttt
At
tttt
eeee
eLsIA
eeee
第三种方法，即凯莱—哈密顿定理
由第一种方法可知
1
3，
2
1
《现代控制理论》课后习题全部答
3
1
33
0
3
1
1313
13
4444
111111
4444
tt
tt
tt
tt
ee
ee
ee
ee
33
33
33
1111
1011
1313
2244
014111
4444
22
tttt
Attttt
tttt
eeee
eeeee
eeee
2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。
（3）22
22
222
2
tttt
tttt
eeee
t
eeee
（4）
33
33
11
24
1
2
tttt
tttt
eeee
t
eeee
解：（3）因为
10
0
01
I
，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
22
22
0
0
02
2242
13
24
tttt
tttt
t
t
eeee
At
eeee
（4）因为
10
0
01
I
，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
33
0
33
0
1313
11
2244
1341
3
22
tttt
t
tttt
t
eeee
At
eeee
2-6求下列状态空间表达式的解：
010
001
xxu
1,0yx
初始状态
1
0
1
x
，输入ut时单位阶跃函数。
解：
01
00
A
1
0
s
sIA
s
《现代控制理论》课后习题全部答
2
1
2
11
1
1
01
0
s
ss
sIA
s
s
s
1
1
1
01
At
t
teLsIA
因为
0
1
B
，utIt
0
0txttxtBud
0
1110
011011
ttt
d
0
1
11
ttt
d
2
1
1
2
1
t
t
t
2
1
1
2
1
tt
t
2
1
101
2
yxtt
《现代控制理论》课后习题全部答
《现代控制理论》课后习题全部答
2-9有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s，
而
1
u和
2
u为分段常数。
K/(s+1)
2
11/s
u
1XX
x
1
u
2
+
-
+
+
x
2
y
图2.2系统结构图
解：将此图化成模拟结构图
K
2
1
u
1XX
x
1
u
2
-
+
+
x
2
y
∫
-
∫X
列出状态方程
《现代控制理论》课后习题全部答
111
xkux
212
xxu
21
2yxx
1
2
100
1001
u
k
xx
u
1
2
21
x
y
x
则离散时间状态空间表达式为
1xkGTxkHTuk
ykcxkDuk
由AtGTe和
0
T
AtHTedtB得：
10
10
A
0
01
k
B
2
1
TC
1
11
10
0
1
11
T
At
T
s
e
eLsIAL
s
e
00
10
00
010
0101
111
1
T
tT
TT
At
TT
T
ke
kk
ee
Hedtdt
eTeT
kTeT
当T=1时
1
1
1
1
10
0
1
11
1
ke
e
xkxkuk
e
ke
121ykxk
当T=0.1时
0.1
0.1
0.1
0.1
10
0
1
11
0.90.1
ke
e
xkxkuk
e
ke
121ykxk
《现代控制理论》课后习题全部答
《现代控制理论》课后习题全部答
《现代控制理论》课后习题全部答
《现代控制理论》课后习题全部答
第三章习题答案
3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否
有关，若有关，其取值条件如何？
（1）系统如图3.16所示：
a
bcd
+
+
-
-
+
+
-
-
-
y
u
1
x
2
x
3
x
4
x
图3.16系统模拟结构图
解：由图可得：
3
434
3211233
22
11
xy
dxxx
cxxxxxcxx
bxx
uaxx
状态空间表达式为：
xy
u
x
x
x
x
d
c
b
a
x
x
x
x
0100
0
0
0
1
100
011
000
000
4
3
2
1
4
3
2
1
由于
2
x
、
3
x、
4
x
与u无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。由于y只与
3
x有关，
因而系统为不完全能观的，为不能观系统。
（3）系统如下式：
《现代控制理论》课后习题全部答
x
dc
y
u
b
a
x
x
x
x
x
x
000
0
0
0
12
200
010
011
3
2
1
3
2
1
解：如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。要使系统能控，控制矩阵b中相对于
约旦块的最后一行元素不能为0，故有
0,0ba
。
要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有
0,0dc
。
3-2时不变系统
Xy
uXX
11
11
11
11
31
13
试用两种方法判别其能控性和能观性。
解：方法一：
2-2-11
2-2-11
ABBM
11
11
,
11
11
,
31
13
CBA
系统不能控。,21rankM
44
22
11
11
CA
C
N
系统能观。,2rankN
方法二：将系统化为约旦标准形。
42
013
31
13
AI
21
2
，
《现代控制理论》课后习题全部答
1-
1
PPPA
1
1
PPPA
22222
11111
则状态矢量：
1-1
11
T
，
2
1
2
1
2
1
2
1
T1-
4-0
02-
1-1
11
3-1
13-
2
1
2
1
2
1
2
1
ATT1-
00
11
11
11
2
1
2
1
2
1
2
1
BT1-
20
02
1-1
11
1-1
11
CT
BT-1中有全为零的行，系统不可控。
CT
中没有全为0的列，系统可观。
3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数
ii
和
11,
1
1
,
0
1
)1(
2
1
CbA
解：构造能控阵：
2
1
1
11
AbbM
要使系统完全能控，则
21
1，即01
21
构造能观阵：
21
1
11
CA
C
N
要使系统完全能观，则
12
1，即01
21
3-4设系统的传递函数是
182710
)(
)(
23
sss
as
su
sy
（1）当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？
《现代控制理论》课后习题全部答
（2）当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。
（3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。
解：(1)方法1：
)6)(3)(1()(
)(
)(
sss
as
su
sy
sW
系统能控且能观的条件为W(s)没有零极点对消。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能
控或不能观。
方法2：
6s
15
6-a
3
6
3
1s
10
1-a
)6)(3)(1()(
)(
s
a
sss
as
su
sy
631
321
，，
X
aaa
y
uXX
15
6
6
3
10
1
1
1
1
600
030
001
系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为
不能控或不能观。
（2）当a=1,a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型
x01ay
u
1
0
0
x
102718
100
010
x
（3）根据对偶原理，当a=1,a=2或a=4时，系统的能观标准II型为
x100y
u
0
1
a
x
1010
2701
1800
x
3-6已知系统的微分方程为：uyyyy66116
...
试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。
解：636116
03210
baaaa，，，，
系统的状态空间表达式为
《现代控制理论》课后习题全部答
x006y
u
1
0
0
x
6116
100
010
x
传递函数为
6116
6
1
0
0
6116
10
01
006A)-C(sI)(
23
1
1-
sss
s
s
s
BsW
其对偶系统的状态空间表达式为：
x100y
u
0
0
6
x
610
1101
600
x
传递函数为
6116
6
)(
23
sss
sW
3-9已知系统的传递函数为
34
86
2
2
ss
ss
)s(W
试求其能控标准型和能观标准型。
解：
34
52
1
34
86
)(
22
2
ss
s
ss
ss
sW
系统的能控标准I型为
ux25y
u
1
0
x
4-3-
10
x
《现代控制理论》课后习题全部答
能观标准II型为
ux10y
u
2
5
x
4-1
3-0
x
3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。
x100y
u
2
1
0
x
311
032
010
x
解：100
2
1
0
311
032
010
CbA，，
1152
721
310
2bAAbbM
。不能变换为能控标准型，系统为不能控系统，32rankM
971
311
100
2CA
CA
C
N
以变换为能观标准型。，系统为能观系统，可3rankN
3-11试将下列系统按能控性进行分解
（1）111,
1
0
0
,
340
010
121
CbA
解：
931
000
410
2bAAbbM
rankM=2<3，系统不是完全能控的。
构造奇异变换阵
c
R：
0
1
0
3
0
1
1
0
0
321
RAbRbR，，
，其中
3
R是任意的，只要满足
c
R满秩。
《现代控制理论》课后习题全部答
即
031
100
010
c
R
得
010
001
103
1
c
R
100
241
230
1
cc
ARRA
0
0
1
1bRb
c
121
c
cRc
3-12试将下列系统按能观性进行结构分解
（1）111,
1
0
0
,
340
010
121
CbA
解：由已知得111,
1
0
0
,
340
010
121
CbA
则有
474
232
111
2CA
CA
C
N
rankN=2<3，该系统不能观
构造非奇异变换矩阵1
0
R，有1
0
111
232
001
R
则
0
311
210
001
R
11
000
0101
2302
7321
xRARxRbuxu
0
100ycRxx
3-13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解
（1）211,
2
2
1
,
102
322
001
CbA
解：由已知得2
111
21226
202
MAAbAb
《现代控制理论》课后习题全部答
rankM=3，则系统能控
2
112
125
7411
c
NcA
cA
rankN=3，则系统能观
所以此系统为能控并且能观系统
取
2
111
21226
202
c
T
，则1
2
17
3
44
1
73
2
15
3
44
c
T
则
002
105
014
A
，1
2
1
0
0
c
BTb
，
2
71323
c
ccT
3-14求下列传递函数阵的最小实现。
（1）
11
1
11
1
ws
s
解：
0
1，
0
11
11
B
，
10
01c
A
10
01c
B
，
11
11c
C
，
00
00c
D
系统能控不能观
取1
0
11
01
R
，则
0
11
01
R
所以1
00
10
ˆ
01
ARAR
，1
0
11
ˆ
01c
BRB
0
10
ˆ
10c
CCR
，
00
ˆ
00
D
所以最小实现为
ˆ
1
m
A，ˆ
11
m
B，
1
ˆ
1m
C
，
00
ˆ
00m
D
验证：111
1
ˆˆ
ˆ
11
1mmm
CsIABws
s
《现代控制理论》课后习题全部答
3-15设
1
和
2
是两个能控且能观的系统
112
12
1
0
43
10
2222
1111
CbA
CbA
，，：
，，：
（1）试分析由
1
和
2
所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；
（2）试分析由
1
和
2
所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。
解：
（1）1
和2
串联
当
1
的输出
1
y是
2
的输入
2
u时，
3312
22xxxx
0100
3401
2120
xxu
，001yx
2
014
1413
014
MbAbAb
则rankM=2<3，所以系统不完全能控。
127
1
)4)(3)(2(
2
)()(
2
1
ss
sss
s
BAsICsW
当
2
得输出
2
y是
1
的输入
1
u时
0110
3410
0021
xxu
，210yx
因为2
001
016
124
MbAbAb
rankM=3则系统能控
因为
2
210
321
654
c
NcA
cA
rankN=2<3则系统不能观
《现代控制理论》课后习题全部答
127
1
)()(
2
1
ss
BAsICsW
（2）
1
和
2
并联
0100
3401
0021
xxu
，211yx
2
014
1413
124
MAAbAb
因为rankM=3，所以系统完全能控
2
211
322
654
c
NcA
cA
因为rankN=3，所以系统完全能观
1
22
222
22
123
ss
wsCsIAB
sss
所以图中开环及闭环系统为能控、能观性一致。
《现代控制理论》课后习题全部答
第四章习题答案
4-1判断下列二次型函数的符号性质：
（1）222
123122313
()31122Qxxxxxxxxxx
（2）222
123122313
()4262vxxxxxxxxxx
解：（1）由已知得
1
1231231232
3
1
1232
3
11
()311
22
111
1
13
2
1
111
2
x
Qxxxxxxxxxxx
x
x
xxxx
x
1
10，
2
11
20
13
，
3
111
171
130
24
1
111
2
因此()Qx是负定的
（2）由已知得
1
1231231232
3
1
1232
3
()433
111
143
131
x
Qxxxxxxxxxxx
x
x
xxxx
x
1
10，
2
11
30
14
，
3
111
143160
131
因此()Qx不是正定的
4-2已知二阶系统的状态方程：
《现代控制理论》课后习题全部答
1112
2122
aa
xx
aa
试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。
解：方法（1）：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负
实部。
即：
1112
2122
2
1
()
0
aa
IA
aa
aaaaaa
有解，且解具有负实部。
即：
1
0aaaaaa且
方法（2）：系统的原点平衡状态0
e
x为大范围渐近稳定，等价于TAPPAQ。
取
QI
，令1112
1222
PP
P
PP
，则带入TAPPAQ，得到
112111
1211222112
122222
2201
0
0221
aaP
aaaaP
aaP
若
1121
211221221
1222
220
4()()0
022
aa
aaaaaaaaaa
aa
，则此方程组有唯一解。即
22
2
22
2
1122
()
1
()
2()
Aaaaaaa
P
aaaaAaa
aaA
其中
11221221
detAAaaaa
要求P正定，则要求
22
2122
111
1122
0
2()
Aaa
P
aaA
因此
1122
0aa，且det0A
4-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。
（1）
11
23
xx
22
11221221
2
1122
()()
0
4()
aaaa
P
aa
《现代控制理论》课后习题全部答
（2）
11
11
xx
解：（1）系统唯一的平衡状态是0
e
x。选取Lyapunov函数为22
12
()0Vxxx，则
1122
112212
22
1122
22
122
()22
2(2)2(23)
266
33
2()0
22
Vxxxxx
xxxxxx
xxxx
xxx
()Vx
是负定的。x，有
()Vx
。即系统在原点处大范围渐近稳定。
（2）系统唯一的平衡状态是0
e
x。选取Lyapunov函数为22
12
()0Vxxx，则
1122
112212
22
12
()22
2()2()
220
Vxxxxx
xxxxxx
xx
()Vx
是负定的。x，有
()Vx
。即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-6设非线性系统状态方程为：
12
2
2221
(1),0
xx
xaxxxa
试确定平衡状态的稳定性。
解：若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：
2
2
221
()
(1)
x
fx
axxx
2
22
01
()
()
143T
fx
Jx
aaxax
x
取PI
22
2222
2
22
()()()
0101
143143
00
0286
TQxJxJx
aaxaxaaxax
aaxax
很明显，()Qx的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。选取Lyapunov函数为
《现代控制理论》课后习题全部答
22
12
()0Vxxx，则
1122
2
122122
22
22
()22
22((1))
2(1)0
Vxxxxx
xxxxaxx
axx
()Vx
是负定的。x，有
()Vx
。即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-9设非线性方程：
12
3
212
xx
xxx
试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。
解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：
2
3
12
()
x
fx
xx
2
1
01
()
()
31T
fx
Jx
x
x
2
3232
212212
3
12
()()()()T
x
Vxfxfxxxxxxx
xx
x，有()Vx。
取PI
2
1
2
1
2
1
2
1
()()()
01
03
31
11
013
132
TQxJxJx
x
x
x
x
《现代控制理论》课后习题全部答
则
2
1
2
1
013
()
132
x
Qx
x
，根据希尔维斯特判据，有：
2
22
1
121
2
1
031
0310
132
x
x
x
，（），
()Qx
的符号无法判断。
（2）李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为42
12
33
()0
42
Vxxx
，则
3
1122
33
12212
2
2
()33
33()
30
Vxxxxx
xxxxx
x
()Vx
是负定的。x，有
()Vx
。即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数
2
1112
22
-2
-
xxxx
xx
解：假设()Vx的梯度为：
1111221
2112222
axaxV
V
axaxV
计算()Vx的导数为：
《现代控制理论》课后习题全部答
2
112
2
2
22223
212121112
2
()()
22
T
xxx
VxVxaxaxaxax
x
axaaxxaxaxxaxx
选择参数，试选
11221221
1,0aaaa，于是得：
1
2
x
V
x
，显然满足旋度方程1212
2121
,0
VVxx
xxxx
即，表明上述选择的参数是允许
的。则有：
22
1212
()(12)Vxxxxx
如果
1212
1
120
2
xxxx或
，则()Vx
是负定的，因此，
12
1
2
xx
是
12
xx和
的约束条件。
计算得到()Vx为：
12211
(0)()
1122
00
22
12
()
1
()
2
xxxxx
Vxxdxxdx
xx
()Vx是正定的，因此在
1212
1
120
2
xxxx即
范围内，
0
e
x
是渐进稳定的。
《现代控制理论》课后习题全部答
第五章习题答案
5-1已知系统状态方程为：
1110
0110
1011
xxu
试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。
解：依题意有：
1110
011,0
1011
Ab
2
011
012
112
MbAbAb
3rankM，系统能控。
系统
0
(,,)AbC的特征多项式为：
332(1)(1)1321IA
则将系统写成能控标准I型，则有
0100
0010
1231
xxu
。
引入状态反馈后，系统的状态方程为：
()xAbKxbu
，其中3K为1矩阵，设
012
Kkkk，则系统(,,)
K
AbKC的特征多项式为：
32
210
()det[()](3)(2)(1)fIAbKkkk
根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：
*32()(1)(2)(3)6116f
比较*()()ff与各对应项系数，可解得：
012
599kkk，则有：-5-9-9K。
《现代控制理论》课后习题全部答
5-3有系统：
210
011
10
xxu
yx
（1）画出模拟结构图。
（2）若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？
《现代控制理论》课后习题全部答
（3）若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。
解（1）系统模拟结构图如下：
12
+
-
+
-
y
u1
x
2
x
题5-3系统模拟结构图
（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统
0
(,,)AbC完全能控。
对于系统
0
(,,)AbC有：
01
11
MbAb
2rankM，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可
任意配置极点。
（3）系统
0
(,,)AbC的特征多项式为：
2(2)(1)32IA
则将系统写成能控标准I型，则有
010
231
xxu
。
引入状态反馈后，系统的状态方程为：
()xAbKxbu
，设
01
Kkk，则系统
(,,)
K
AbKC的特征多项式为：
2
10
()det[()](3)(2)fIAbKkk
根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：
*22()(3)69f
比较*()()ff与各对应项系数，可解得：
01
7373kkK，。
5-4设系统传递函数为
(1)(2)
(1)(2)(3)
ss
sss
试问能否利用状态反馈将传递函数变成
1
(2)(3)
s
ss
《现代控制理论》课后习题全部答
若有可能，试求出状态反馈K，并画出系统结构图。
解：
652
2
)3)(2)(1(
)2)(1(
)(
23
2
sss
ss
sss
ss
sW
由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。
能控标准I型为
xy
uxx
112
1
0
0
256
100
010
令
210
kkkK为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为
)k6()k-5()k-(2](det[)(
01
2
2
3bKAIf
由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为-2，-2，-3，得期望特征
多项式为
12167)2)(3)(2()(23*f
比较
)(f
与)(*f的对应项系数，可得
52118
210
kkk
即52118K
系统结构图如下：
-5
2
+
+
y
u
1
x
2
x
题5-4系统模拟结构图
-6
1
1
-21
-18
-5
-
-
-
-
+
+
-2
3
x+
v
5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。
（1）
1222
A011,0
1011
b
《现代控制理论》课后习题全部答
解：系统的能控阵为：
2
240
010
115
MbAbAb
3rankM，系统能控。
由定理5.2.1可知，采用状态反馈对系统
0
(,,)AbC任意配置极点的充要条件是
0
(,,)AbC完全能控。又由于3rankM，系统
0
(,,)AbC能控，可以采用状态反馈将
系统的极点配置在根平面的左侧，使闭环系统镇定。
5-7设计一个前馈补偿器，使系统
11
12
()
11
(1)
ss
Ws
sss
解耦，且解耦后的极点为1,1,2,2。
解：
0
()()()
d
WsWsWs
-1
0
()()()
d
WsWsWs
《现代控制理论》课后习题全部答
-1
0
1-1
1
2
()
11
-11
-
(1)(1)(2)
(1)1
1-1
2-
2
(2)
-(2)(2)
-11
11
(1)1
ss
Ws
sssss
sss
ss
ss
ss
sss
ss
sss
1
0
2
2
22
3
()()()
1
0
2
(1)
(2)(2)
1
0
11
(2)
2
(1)(2)
(2)
(1)(1)(2)
d
WsWsWs
ss
s
sss
ss
s
ss
ss
ss
sss
5-10已知系统：
010
001
10
xxu
yx
试设计一个状态观测器，使观测器的极点为-r，-2r(r>0)。
解：因为
10
01
c
N
cA
满秩，系统能观，可构造观测器。
系统特征多项式为2
1
detdet
0
IA
，所以有
10
01
0,0,
10
aaL
1
011001
100110
TLN
01
10
T
于是11
001
100
xTATxTbuxu
0,1ycTxx
《现代控制理论》课后习题全部答
引入反馈阵1
2
g
G
g
，使得观测器特征多项式：
1
2
2
21
det
det
1
fIAGc
g
g
gg
根据期望极点得期望特征式：
*22232frrrr
比较f与*f各项系数得：
2
21
3,2grgr
即
22
3
r
G
r
，反变换到x状态下
2
2
013
2
102
3
r
r
GTG
r
r
观测器方程为：
22
ˆˆ
3103
ˆ
2012
xAGcxbuGy
rr
xuy
rr
《现代控制理论》课后习题全部答
5-13类似于5-12，设计略。