蒙日圆定理
荔枝蜜杨朔原文-无线电导航
2023年2月20日发(作者：聘任通知)（纯解析几何证法）
蒙日圆定理的内容：
椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，
该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。
如图，设椭圆的方程是
22
22
1
xy
ab
。两切线PM和PN互相垂直，交于点P。
求证：点P在圆2222xyab上。
证明：
若两条切线中有一条平行于x轴时，则另一条必定平行于y轴，显然前者通过短轴端点，
而后者通过长轴端点，其交点P的坐标只能是：
,
special
Pab(1)
它必定在圆2222xyab上。
现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。可设两条切线方程如下：
:PMykxm(2)
1
:PNyxn
k
(3)
联立两切线方程(2)和(3)可求出交点P的坐标为：
2
22
,
11
nmk
nkm
P
kk
(4)
从而P点距离椭圆中心O的距离的平方为：
2
2
2
2
22
222
2
11
1
nmk
nkm
OP
kk
nkm
k
(5)
现将PM的方程代入椭圆方程，消去y，化简整理得：
22
2
2222
12
10
kkmm
xx
abbb
(6)
由于PM是椭圆的切线，故以上关于x的一元二次方程，其判别式应等于0，化简后可得：
2
222
22
1
1
b
mmb
ak
(7)
对于切线PN，代入椭圆方程后，消去y，令判别式等于0，同理可得：
2
2222
2
1
b
nknb
a
(8)
为方便起见，令：
22222,,,,aAbBmMnNkK(9)
这样(7)和(8)就分别化为了关于M和N的一元一次方程，不难解出：
MBAK(10)
A
NB
K
(11)
将(10)和(11)代入(5)，就得到：
2
22
1
NKM
OGABab
K
(12)
证毕。