引力常量
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2023年2月20日发(作者：四弦吉他)第六章万有引力定律
高一物理讲义：赵春光
1
第六章万有引力定律
高考要求：
1、万有引力定律、重力是物体在地球表面附近所受到的电球对它的引力、重心（Ⅱ）；
2、万有引力定律的应用、人造地球卫星的运动（限于圆轨道）（Ⅱ）；
3、宇宙速度（Ⅰ）；
4、航天技术的发展和宇宙航行（Ⅰ）。
第一节行星的运动
第二节万有引力定律
第三节引力常量的测定
知识要点
一、地心说和日心说
在古代，人们对于天体的运动存在着地心说和日心说两种对立的看法：地心说和日心说。
1、地心说：认为地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地
球运动。
2、日心说：认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。
二、开普勒三定律
丹麦的天文学家第谷穷其毕生精力连续20年对行星的位置进行观测和记录，后由其学
生开普勒经过仔细研究和四年多的刻苦计算，得到了行星运动的开普勒三定律：
1、开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳
运动，太阳是在这些椭圆的一个焦点上，这叫做开普勒第一定律，即轨道定律。
轨道定律告诉我们，尽管各行星的轨道大小和方位互不相同，但它们的规律是：所
有行星都有沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳位于这些椭圆的一个焦点上。
2、开普勒第二定律（面积定律）：对每个行星来说，太阳和行星的连线在相等的时间
内扫过相等的面积，这叫做开普勒第二定律，即面积定律。
面积定律向我们提示了各个行星在自己的轨道上运动速率变化的规律：每个行星都
是在离太阳近的地方速率大些，离太阳远的地方速率小些。
3、开普勒第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴R的三次方跟公周期T的平方的比
值都相等。这叫做开普勒第三定律，即周期定律。即：R3/T2＝K。
周期定律反映了行星公转的周期跟椭圆轨道半长轴之间的变化依赖关系：椭圆轨道
半长轴大（或小）的行星，其公转周期亦大（或小）。
三、万有引力定律
1、内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个这个物体的质量
的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比，引力的方向在两物体的连线上。
2、表达式：如果用m
1
和m
2
表示两个物体的质量，用r表示它们的距离，那么，万有
引力定律可以用下面的公式来表示：F＝Gm
1
m
2
/r2。
式中G是引力常量，是适用于任何物体的普适常量，它在数值上等于两个质量都
是1kg的物体相距1m时的相互作用力，通常取G＝6.67×10-11Nm2/kg2。
3、适用条件：⑴适用于两个质点间的相互作用，r为两个质点间的距离。
⑵对两个质量分布均匀的对称球体，r为球心间距离。
4、对万有引力定律的理解及应用应注意的几点：
第六章万有引力定律
高一物理讲义：赵春光
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1）万有引力的普遍性，它存在于宇宙中任何有质量的物体之间，不管它们之间是
否还有其他作用力。
2）万有引力恒量的普适性，卡文迪许通过扭秤装置测得G＝6.67×10-11Nm2/kg2，
它是一个仅和m、r、F单位选择有关，而与物体性质无关的恒量。
3）两个物体间的引力，是一对作用力和反作用力。
4）万有引力定律只适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体
本身的大小时，物体可视为质点，均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距
离。
5）万有引力定律的发现，反地面上物体和天体的运动规律统一起来，打破了天体
运动的神秘论，增强了人们认识自然，认识宇宙的信心。
6）解决万有引力的习题常常要用比例的方法来计算，这样，一些未知量可以在比
例式中消去，既简捷又方便，运用比例方法时，必须首先建立待求物理量跟自
变量之间的函数关系式，这种函数式通常是单项式，然后相比就可以得到问题
的答案。
7）在解决万有引力习题中，经常要用到一些常识性的知识，如球的体积公式，密
度公式，月球绕地球一周大约是27天，地球自转一周是86400秒等，应该记
住并熟练掌握。
四、物体在地面上所受的引力与重力的区别和联系
1、地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因。但重力又不完地轴ω
全等于引力，这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都F
向
随着地球自转面绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力。这个赤道
Fmg
向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是F向＝mω2r。式中
r是物体与地轴的距离，ω是地球自转的角速度，这个向心力来自
哪里？只能来自地球对物体的引力F，它是引力F的一个分力，如图1
图1所示，引力F的另一个分力才是物体的重力mg。
知道了这一点，我们就容易懂得，为什么同一个物体在地球上不同纬度的地方的重力不
同。在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度ω相同，而圆周的半径不同，这
个半径在赤道处最大，在两极最小（等于零），纬度α为处的物体随地球自转所需的向
心力F向＝mω2Rcosα（R地球半径），由公式可见，随着纬度升高，向心力将减小，
在两极处Rcosα＝0，F向＝0。作为引力的另一个分量，即重力则随纬度升高而增大，
在赤道上，物体的重力等于引力与向心力之差，即mg＝GMm/R2－mω2R。在两极，引
力就是重力，但由于地球的角速度很小，仅为10-5rad/s数量级，所以mg与F的差别并
不很大，在不考虑地球自转的条件下，地球表面物体的重力mg＝GMm/R2。从图中还
可以看出重力一般并不指向地心，只有在南北两极的赤道上重力mg才指向地心。
2、同样，根据万有引力定律知道，在同一纬度，物体的重力和重力加速度g的数值，
还随着离地面高度的增加而减小。
若不考虑自转，地表处有mg＝GMm/R2，可以得出地表处的重力加速度g＝GM/R2，
在距地表高度为h的高空处，万有引力引起的引力加速度为g′，由牛顿第二定律可得：
mg′＝GMm/(R＋h)2，即得：g′＝GM/(R＋h)2＝R2g/(R＋h)2。
重力加速度随高度增加而减小这一结论对其他星球也适用。
五、引力常量的测定
牛顿虽然发现了万有引力定律，去没能给出引力常量，这是因为一般物体间的万有引力
非常小，很难用实验的方法精确测定。在牛顿发现万有引力定律一百多年后，也就是
1798年，英国物理学家卡文迪许巧妙地利用扭秤装置，第一次在实验室里比较准确地
第六章万有引力定律
高一物理讲义：赵春光
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测出了引力常量。
卡文迪许实验是个设计思想十分巧妙的实验，其解决问题的思路是：将不易观察的微小
变化量，转化为容易观察的显著变化量，再根据变化量与微小变化量的关系，算出微小
变化量。
引力常量数值测定的意义：不仅用实验证明了万有引力的存在，更使得万有引力定律有
了真正的实用价值。例如，可以用测定地球表面物体重力加速度的方法，测定地球的质
量。设地球半径为R，质量为M，地球表面物体的重力加速度为g，由牛顿第二定律和
万有引力定律可得：GMm/R2＝mg，
典型例题
例1、冥王星离太阳的距离是地球离太阳的距离的39.6倍，那么冥日星绕太阳的公转周期是
多少？（冥王星和地球绕太阳公转的轨道可视为圆形轨道）
解：设冥王星的公转周期为T
1
，轨道半径为R
1
，地球的公转周期为T
2
，轨道半径为R
2
，
由开普勒第三定律有：R
1
3/T
1
2＝R
2
3/T
2
2，∴T
1
2＝R
1
3T
2
2/R
2
3，T
1
＝(39.6)3/2T
2
，
∵T
2
＝365×24（h）∴T
1
＝(39.6)3/2×365×24＝2.18×106（h）
例2、牛顿为了论证地面上物体所受的重力与天体间的引力是同一性质的力，做了著名的“月
—地”检验：若用m表示地球的质量，R表示地球半径，r表示月球到地心的距离，G
表示引力常量，试证明，在地球引力作用下，
⑴地球表面上的物体的重力加速度，g＝Gm/R2；
⑵月球的加速度a月＝Gm/r2；
⑶已知r＝60R，利用⑴、⑵求a月/g＝？
⑷已知r＝3.8×108m，月球绕地球运行的周期T＝27.3d，计算月球绕地球运行的向心加
速度a月；
⑸已知海拔高度为零，纬度为0°处的重力加速度g＝9.78m/s2，利用⑷算出的a月求：
a月/g＝？
解：⑴地球表面上的物体所受的重力是由于地球对物体的引力而产生的，若用m
0
表示物体
的质量，则有：m
0
g＝Gm
0
m/R2，∴g＝Gm/R2；
⑵如果月球绕地球运行所需的向心力就是地球对月球的万有引力，月球的重量为m
1
，
则由牛顿第二定律，可得：m
1
a月＝Gm
0
m/r2，∴a月＝Gm/r2；
⑶由⑴、⑵可得：a月/g＝R2/r2，将r＝60R代入上式，可得：a月/g＝2.8×10-4；
⑷由匀速圆周运动的向心加速度公式可得：a月＝4π2r/T2＝2.69×10-3m/s2；
⑸由⑷中计算的结果可得：a月/g＝2.69×10-3/9.78＝2.8×10-4。
比较⑶、⑸的结果是相等的，这表明地球对月球的引力和对地面物体的引力都遵守平
方反比定律，因而是同一种性质的力，牛顿就是根据这一计算结果，证明了地球对月
球的引力和地面上物体所受的重力是同一种力。
例3、求由于地球自转使赤道上重力加速度减少多少？（R＝6400km）
解析：高不考虑地球自转时的重力加速度为g，考虑地球自转时的重力加速度为g
1
，则有：
mg＝GmM/R2，
mg
1
＝GmM/R2－mRω2
所以重力加速度的减少为：
Δg＝g－g
1
＝GM/R2－(GM/R2－Rω2)＝Rω2＝4π2R/T2
＝4π2×6.4×106/(60×60×24)2＝0.034m/s2。
由上面的计算可知，由于地球自转，物体的重力加速度减少很小，所以在粗略计算中可
以不考虑地球自转的影响。
例4、火星的半径约为地球半径的一半，火星质量纸为地球质量的1/9，则火星表面的重力
第六章万有引力定律
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加速度是地球表面重力加速度的多少倍？
解析：质量为m的物体在星球表面上时，由重力约等于万有引力，得：
mg地＝GmM地/r地
2，mg火＝GmM火/r火
2，
g火︰g地＝(M火/M地/)·(r地
2/r火
2)＝(1/9)·(4/1)＝4︰9
例5、已知均匀球体对其他物体的万有引力等效于将其全部质量集
中于球心时对其他物体的万有引力，如图所示，有一半径为R
的均匀球体，球心为O
1
，质量为8M，今自其内挖去一个半径
为R/2的小球，形成球形腔的球心为O
2
。将小球移出至图示位
置与大球相切，小球球心为O
3
，图中O
1
、O
2
、切点和O
3
四点
共线。求此时小球与大球剩余部分之间的万有引力。例2图
解析：本题可采用“先填后挖”的方法来解。即先假设将O
2
填满，求出大球与小球O
3
间的
万有引力，再减去补进的小球O
2
对O
3
的万有引力，即得大球剩余部分与小球之间的万
有引力。
小球质量m＝(V小/V大)8M＝M
大球对小球O
3
的万有引力为：F
1
＝GM·8M/(3R/2)2＝32GM2/9R2
小球O
2
对小球O
3
的万有引力为：F
2
＝GM·M/R2＝GM2/R2
小球O
3
与大小剩余部分之间的万有引力为：
F＝F
1
－F
2
＝32GM2/9R2－GM2/R2＝23GM2/9R2
例6、对于质量为m
1
和质量为m
2
的两个物体间的万有引力的表达式F＝Gm
1
m
2
/r2，下列说
法正确的是（）
A．公式中的G是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的；
B．当两物体的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大；
C．两个物体间的引力总是大小相等的，而与m
1
、m
2
是否相等无关；
D．两个物体间的引力总是大小相等、方向相反的，是一对平衡力。
解析：引力常量G值是由英国物理学家卡文迪许运用构思巧妙的精密“扭秤”实验方法第
一次测定出来的，所以A选项是正确的。
当两物体的距离r趋于零时，这两个物体不能看做为质点，所以万有引力定律不适用于
此种情况，因此选项B是错误的。
两个物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，遵从牛顿第三定律，它们总是大小
相等，方向相反的，所以选项C是正确的。
由于这两个力分别作用在两个不同的物体上，它们根本谈不上平衡，故选项D是错误
的。因此应选A、C。
例7、试求出用地球半径R、地面重力加速度g和引力常量G表示的地球密度公式。（不考
虑地球的自转）
解析：设想在地球表面放置一个质量为m的物体，在不考虑地球自转时，这个物体受到的
地球引力就等于它的重力，即：
F＝GMm/R2＝mg∴M＝gR2/G
又因为地球可以近似看做球体，它的体积V＝4πR3/3，所以其密度为：
ρ＝M/V＝3g/4πGR。
同步训练：
知识掌握
1、万有引力定律的公式为：F＝Gm
1
m
2
/r2，其中G＝_____________，叫_____________，科
学家__________通过__________来测定。
第六章万有引力定律
高一物理讲义：赵春光
5
2、下列关于万有引力定律的说法正确的有（）
A．万有引力定律是卡文迪许发现的；
B．F＝Gm
1
m
2
/r2中的G是一个比例常数，是没有单位的；
C．万有引力定律只适用于两个质点之间；
D．两物体引力大小与质量乘积成正比，与此两物体间距离的平方成反比。
3、以下说法正确的是（）
A．质量为m的物体在地球上任何地方其重力均相等；
B．把质量为m的物体从地面移到高空上，其重力变小了；
C．同一物体在赤道处的重力比在两极处重力大；
D．同一物体在任何地方其质量是相同的。
4、如图所示，两球的半径远小于r，而球质量分布均匀，大小r
分别为m
1
、m
2
，则两球间的万有引力的大小为（）r
1
r
2
A．F＝Gm
1
m
2
/r2；B．F＝Gm
1
m
2
/(r
1
＋r
2
)2；
C．F＝Gm
1
m
2
/(r
1
＋r＋r
2
)2；D．不确定。4题图
5、地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器在地球和月球之间，当地球对它的引力和月
球对它的引力相等时，这飞行器距地心距离与距月心距离之比为_________。
6、若已知万有引力常量G＝6.67×10-11Nm2/kg2，重力加速度g＝9.8m/s2，地球半径R＝6.4
×106m，则可知地球质量的数量级是（）
A．1018kg；B．1020kg；C．1022kg；D．1024kg；
7、一个半径比地球大2倍，质量是地球质量36倍的行星，它表面的重力加速度是地球表面
重力加速度的（）
A．6倍；B．18倍；C．4倍；D．13.5倍。
8、两个质量分别为m
1
、m
2
的人造地球卫星，分别绕地球做匀速圆运动，若它们的轨道半
径分别是R
1
和R
2
，则它们运行周期之比多大？
9、物体在月球表面的自由落体加速度是地球表面的六分之一，下列判断正确的是（）
A．地球直径是月球直径的6倍；
B．地球质量是月球质量产6倍；
C．地球吸引月球的力是月球吸引地球的力是6倍；
D．物体在地球上重力是在月球上的6倍。
能力提高
10、如果有一星球的密度跟地球的密度相同，又已知它表面的自由落体加速度是地球表面的
自由落体加速度的2倍，则该星球质量与地球质量之比是（）
A．1/2；B．2；C．8；D．1/8。
11、某行星沿椭圆轨道运行，近日点离太阳距离为a，远日点度太阳距离为b，过近日点时
行星速率为v
a
，求过远时点时速率是多少？
12、已知地面的重加速度是g，距地面高度等于地球半径2倍处的重力加速度为_______g。
13、某个行星的质量是地球的一半，半径也是地球的一半，那么一个物体在此行星上的重力
是地球上重力的（）
A．1/4倍；B．1/2倍；C．4倍；D．2倍。
14、离地面某一高度h的重力加速度是地球表面重力加速度的1/2，则高度h是地球半径的
（）
A．2倍；B．1/2倍；C．4倍；
D．√2倍；E．(√2－1)倍；F．(√2－1)倍；
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拔高挑战
15、飞船沿半径为R的圆绕地球运动，周期为T，如飞船要返回地R
面，可在轨道上某一点A处将速率降到一个数值，从而使飞船BR
0
A
沿着以地心为焦点的一个椭圆轨道运动，如图所示，这椭圆与
地球表面在B外相切，求飞船由A到B所需的时间。已知地球能15题图
半径为R
0
。
16、设想把物体放到地球中心，则此物体此时与地球间的万有引力为（）
A．零；B．无穷大；C．不能确定。
17、一物体在地球表面重16N，它在以5m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9N，则
此时火箭离地面的距离为地球半径的_________。（g取10m/s2）
18、宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到
星球表面，测得抛出与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速增大到2倍，则抛出与
落地点之间的距离为√3L，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有
引力常量为G，求该星球的质量M。
答案：1、6.67×10-11Nm2/kg2，万有引力常量，卡文迪许，扭秤；2、CD；3、BD；4、C；
5、9︰1；6、D；7、C；8、(R
1
/R
2
)3/2；9、D；10、C；11、av
a
/b；12、1/9；13、C；14、F；
15、t＝(T/2)√(R＋R
0
)3/8R3；16、A；17、3倍；18、M＝2√3LR2/3Gt2。
第四节万有引力定律在天文学上的应用
知识要点：
一、天体质量和密度的计算（以地球为例）
1、“g、R”计算法：若已知地球半径R和地球表面的重力加速度g，
依mg＝GMm/R2得M＝gR2/G，∴ρ＝M/V＝3g/4πGR
“GM＝gR2”通常称为黄金代换式，在求解一些问题时很有用处。
2、“T、r”计算法：若已知地球的卫星（如月球）绕地球做匀速圆周运动的周期T和半
径r，由GMm/r2＝m(2π/T)2r，得M＝4π2r3/GT2，∴ρ＝M/V＝3πr3/GT2R3。
若某一卫星绕地球在近地表面做圆周运动，则r＝R，此时ρ＝3π/GT2。只需测定运
行周期即可。
当然，向心力还有其他各种表述形式，如GMm/r2＝m(2π/T)2r＝mv2/r＝mω2r，
可得M＝4π2r3/GT2＝v2r/G＝ω2r3/G。
因此只要知道某一天体的轨道半径与线速度、角速度、周期、频率中的某一个参数，
就可算出吸引它做圆周运动的另一天体，也就是中心天体的质量和密度。
二、环绕同一天体做圆周运动的不同星体的运动参数关系
1、运行速度（线速度）与半径的关系
由GMm/r2＝mv2/r，可得v＝√GM/r，即v∝√1/r，
由此可以看出绕同一天体做圆周运动的各星体的线速度与轨道半径平方根成反比，即
同一半径上各星体的线速度相等，轨道半径越大，线速度越小，而且线速度与它自身
的质量m无关。
2、角速度与半径的关系
由GMm/r2＝mω2r，可得ω＝√GM/r3，即ω∝√1/r3，
由此可以看出绕同一天体做圆周运动的各星体的角速度与轨道半径的三次方的平方
根成反比，即同一半径上各星体的线速度相等，轨道半径越大，线速度越小，而且线
速度与它自身的质量m无关。
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3、周期与半径的关系
由GMm/r2＝m(2π/T)2r，可得T2＝4π2r3/GM，即T2∝r3，
由此可以看出绕同一天体做圆周运动的各星体的周期的平方与轨道半径的三次方成正比
（若将天体的实际随圆运动看作圆周运动，这就是开普勒第三定律），同一轨道上各星体的
运动周期相等，轨道半径越大，周期越大。