正弦定理教案

正弦定理教案

丁钉-51ct

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课题:§1．1．1正弦定理

●教学目标

知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；

会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，

引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实

践操作。

情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合

情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识

间的联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一。

●教学重点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。

●教学难点

两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

●教学过程

Ⅰ.课题导入

如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。A

思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？CB

Ⅱ.讲授新课

[探索研究](图1．1-1)

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等

式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数

的定义，有sin

a

A

c

，sin

b

B

c

，又sin1

c

C

c

,A

那么

sinsinsin

abc

c

ABC

bc

从而在直角三角形ABC中，

sinsinsin

abc

ABC

CaB

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

〔由学生讨论、分析〕

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的

定义，有CD=sinsinaBbA,那么

sinsin

ab

AB

，C

同理可得

sinsin

cb

CB

，ba

从而

sinsin

ab

AB



sin

c

C

AcB

(图1．1-3)

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究

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这个问题。

〔证法二〕：过点A作

jAC

，C

由向量的加法可得ABACCB

那么

()jABjACCB

AB

∴

jABjACjCBj

00cos900cos90jABAjCBC

∴sinsincAaC，即

sinsin



ac

AC

同理，过点C作

jBC

，可得

sinsin



bc

BC

从而

sinsin

ab

AB



sin

c

C



类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。〔由学生课后自己推导〕

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

sinsin

ab

AB



sin

c

C



[理解定理]

〔1〕正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即

存在正数k使sinakA，sinbkB，sinckC；

〔2〕

sinsin

ab

AB



sin

c

C

等价于

sinsin

ab

AB

，

sinsin

cb

CB

，

sin

a

A



sin

c

C

从而知正弦定理的基本作用为：

①三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如

sin

sin

bA

a

B

；

②三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsin

a

AB

b

。

一般地，三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

[例题分析]

例1．在ABC中，032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形。

解：根据三角形内角和定理，

0180()CAB

000180(32.081.8)

066.2；

根据正弦定理，

0

0

sin42.9sin81.8

80.1()

sin

sin32.0



aB

bcm

A

；

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根据正弦定理，

0

0

sin42.9sin66.2

74.1().

sin

sin32.0



aC

ccm

A

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．在ABC中，20acm，28bcm，040A，解三角形〔角度精确到01，边长精

确到1cm〕。

解：根据正弦定理，

0sin28sin40

sin0.8999.

20



bA

B

a

因为00＜B＜0180，所以064B，或0116.B

⑴当064B时，

00000180()180(4064)76CAB，

0

0

sin20sin76

30().

sin

sin40



aC

ccm

A

⑵当0116B时，

00000180()180(40116)24CAB，

0

0

sin20sin24

13().

sin

sin40



aC

ccm

A

评述：应注意两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

Ⅲ.课堂练习

第5页练习第1〔1〕、2〔1〕题。

[补充练习]ABC中，sin:sin:sin1:2:3ABC，求::abc

〔答案：1：2：3〕

Ⅳ.课时小结〔由学生归纳总结〕

〔1〕定理的表示形式：

sinsin

ab

AB



sin

c

C

0

sinsinsin

abc

kk

ABC







；

或sinakA，sinbkB，sinckC(0)k

〔2〕正弦定理的应用X围：

①两角和任一边，求其它两边及一角；

②两边和其中一边对角，求另一边的对角。

Ⅴ.课后作业

第10页[习题1.1]A组第1〔1〕、2〔1〕题。

●板书设计

●授后记