圆的对称性

圆的对称性

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2023年2月20日发(作者：教育学信网)

专题圆的对称性

阅读与思考

圆是一个对称图形．

首先，圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆的对称轴有无数条；同

时，圆又是一个中心对称图形，圆心就是对称中心，圆绕其圆心旋转任意角度，都能够与本身重合，这

是圆特有的旋转不变性．

由圆的对称性引出了许多重要的定理：垂径定理及推论；在同圆或等圆中，圆心角、圆周角、弦、

弦心距、弧之间的关系定理及推论．这些性质在计算和证明线段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面

有广泛的应有．一般方法是通过作辅助线构造直角三角形，常与勾股定理和解直角三角形相结合使用．

熟悉以下基本图形和以上基本结论．

我国战国时期科学家墨翟在《墨经》中写道：“圆，一中间长也．”古代的美索不达米亚人最先开始

制造圆轮．日、月、果实、圆木、车轮，人类认识圆、利用圆，圆的图形在人类文明的发展史上打下了

深深的烙印．

例题与求解

【例1】在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为3和2，则∠BAC度数为_______．

（黑龙江省中考试题）

解题思路：作出辅助线，解直角三角形，注AB与AC有不同位置关系．

由于对称性是圆的基本特性，因此，在解决圆的问题时，若把对称性充分体现出来，有利于圆的问

题的解决．

【例2】如图，在三个等圆上各自有一条劣弧



AB，



DC，



EF．如果



AB+



DC=



EF，那么AB+CD

与EF的大小关系是（）

A

B

C

D

E

F

A．AB+CD=EFB．AB+CD>EF

C．AB+CD

（江苏省竞赛试题）

解题思路：将弧与弦的关系及三角形的性质结合起来思考．

【例3】⑴如图1，已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，

⊙O过A，D，E三点，求⊙O的半径．

⑵如图2，若多边形ABDEC是由等腰△ABC和矩形BDEC组成，AB=AC=BD=2，⊙O过A，D，

E三点，问⊙O的半径是否改变？

（《时代学习报》数学文化节试题）

A

A

B

C

O

D

E

D

E

CB

O

图1

图2

解题思路：对于⑴，给出不同解法；对于⑵，⊙的半径不改变，解法类似⑴．

等边三角形、正方形、圆是平面几何图形中最完美的图形，本例表明这三个完美的图形能合成一个

从形式到结果依然完美的图形．

三个完美图形的不同组合可生成新的问题，同学们可参照刻意练习．

【例4】如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，D为



BAC的中点，DE⊥AB于E．求证：

BD2-AD2=ABAC．

（天津市竞赛试题）

解题思路：从化简待证式入手，将非常规几何问题的证明转化为常规几何题的证明．

A

B

C

D

E

圆是最简单的封闭曲线，但解决圆的问题还要用到直线形的有关知识和方法．同样，圆也为解决直

线形问题提供了新的途径和方法，善于促成同圆或等圆中的弦、弦心距、弧、圆周角、圆心角之间相等

或不等关系的互相转化，是解圆相关问题的重要技巧．

【例5】在△ABC中，M是AB上一点，且AM2+BM2+CM2=2AM+2BM+2CM－3．若P是线段AC

上的一个动点，⊙O是过P，M，C三点的圆，过P作PD∥AB交⊙O于点D．

⑴求证：M是AB的中点；

⑵求PD的长．（江苏省竞赛试题）

解题思路：对于⑴，运用配方法求出AM，BM，CM的长，由线段长确定直线位置关系；对于⑵，

促成圆周角与弧、弦之间的转化．

A

P

C

D

B

M

O

【例6】已知AD是⊙O的直径，AB，AC是弦，且AB=AC．

A

B

C

O

图1

DD

A

O

E

G

F

CBB

A

C

D

O

E

P

F

图2

图3

⑴如图1，求证：直径AD平分∠BAC；

⑵如图2，若弦BC经过半径OA的中点E，F是



CD的中点，G是



FB的中点，⊙O的半径为1，

求弦FG的长；

⑶如图3，在⑵中若弦BC经过半径OA的中点E，P为劣弧上一动点，连结PA，PB，PD，PF，

求证：

PAPF

PBPD





的定值．

（武汉市调考试题）

解题思路：对于⑶，先证明∠BPA=∠DPF=300，∠BPD=600，这是解题的基础，由此可导出下列解

题突破口的不同思路：①由∠BPA==∠DPF=300，构建直角三角形；②构造PA+PF，PB+PD相关线段；

③取



BD的中点M，连结PM，联想常规命题；等等．

本例实质是借用了下列问题：

⑴如图1，PA+PB=3PH；⑵如图2，PA+PB=PH；

⑶进一步，如图3，若∠APB=α，PH平分∠APB，则PA+PB=2PHcos

2



为定

值．

图1

A600300

300

P

H

B

P

A

B

H

600

图2

P

A

B

H

图3

能力训练

A级

1．圆的半径为5cm，其内接梯形的两底分别为6cm和8cm，则梯形的面积为_______cm2．

2．如图，残破的轮片上，弓形的弦AB长是40cm，高CD是5cm，原轮片的直径是________cm．

A

P

B

C

（第4题图）

3．如图，已知CD为半圆的直径，AB⊥CD于B．设∠AOB=α，则

BA

BD

tan

2



=_________．

（黑龙江省中考试题）

4．如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=2，BC=1，若BC=1，若以C为圆心，CB的长为半径

的圆交AB于P，则AP=___________.（江苏省宿迁市中考试题）

5．如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA—



AB—BO的路径运动一周.设OP长为

s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间的关系是（）

t

s

O

A

t

s

O

B

t

s

O

C

t

s

O

D

（太原市中考试题）

6．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AB=10cm，CD=6cm，

那么AC的长为（）

A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm

A

B

O

CD

A

E

C

D

F

B

A

B

C

D

F

E

P

（第6题图）

7．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦．若AB=10cm，CD=8cm，那么A，B两点到直线CD的距离

之和为（）

A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm

（第7题图）

（第8题图）

8．如图，半径为2的⊙O中，弦AB与弦CD垂直相交于点P，连结OP．若OP=1，求AB2+CD2

的值．（黑龙江省竞赛试题）

9．如图，AM是⊙O的直径，过⊙O上一点B作BN⊥AM于N，其延长线交⊙O于点C，弦CD交

AM于点E．

⑴如果CD⊥AB，求证：EN=NM；

⑵如果弦CD交AB于点F，且CD=AB，求证：CE2=EF•ED；

⑶如果弦CD，AB的延长线交于点F，且CD=AB，那么⑵的结论是否仍成立？若成立，请证明；

若不成立，请说明理由．

（重庆市中考试题）

A

B

C

D

O

E

F

M

（第9题图）

10．如图，⊙O的内接四边形ABMC中，AB>AC，M是



BC的中点，MH⊥AB于点H．求证：BH=

1

2

（AB-AC）．

（河南省竞赛试题）

A

H

B

M

C

（第10题图）

11．⑴如图1，圆内接△ABC中，AB=BC=CA，OD，OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC

于点G．求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC面积的

1

3

．

⑵如图2，若∠DOE保持

0120角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC

的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的

1

3

．

12．如图，正方形ABCD的顶点A，D和正方形JKLM的顶点K，L在一个以5为半径的⊙O上，

点J，M在线段BC上．若正方形ABCD的边长为6，求正方形JKLM的边长．

（上海市竞赛试题）

A

D

C

B

N

O

J

M

K

L

（第12题图）

B级

1．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，过A，B两点作CD的垂线，垂足分别为E，F．若AB=10，

AE=3，BF=5，则EC=__________．

O

A

E

C

D

F

B

A

B

C

DE

A′

A

B

C

D

PO

（第1题图）

（第2题图）

（第3题图）

2．如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在



BC的中点A′上，若BC=5，则折痕在△ABC

内的部分DE长为________．（宁波市中考试题）

3．如图，已知⊙O的半径为R，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，



AC的度数为960，



BD的度

数为360．动点P在AB上，则CP+PD的最小值为__________．

（陕西省竞赛试题）

4．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径是（）

A．2B．

5

2

C．

5

4

D．

517

16

5．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆圆周上一点，M是



AC的中点，MN⊥AB于N，则有

（）

A．MN=

1

2

ACB．MN=

2

2

ACC．MN=

3

5

ACD．MN=

3

3

AC

（武汉市选拔赛试题）

A

D

O

B

E

G

F

N

A

C

B

D

OP

（第7题图）

（第6题图）

6．已知，AB为⊙O的直径，D为



AC的中点，DE⊥AB于点E，且DE=3．求AC的长度．

7．如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的⊙O；对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点

为P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．

（全国初中数学联赛试题）

C

8．如图，已知点A，B，C，D顺次在⊙O上，



ABBD，BM⊥AC于M．求证：AM=DC+CM．

（江苏省竞赛试题）

A

B

C

D

O

M

（第8题图）

9．如图，在直角坐体系中，点B，C在x轴的负半轴上，点A在y轴的负半轴上，以AC为直径的

圆与AB的延长线交于点D，



CDAO，如果AB=10，AO>BO，且AO，BO是x的二次方程0482kxx

的两个根．

⑴求点D的坐标；

⑵若点P在直径AC上，且AP=

1

4

AC，判断点(－2，10)是否在过D，P两点的直线上，并说明理

由．（河南省中考试题）

A

x

y

O

D

C

B

P

（第9题图）

10．⑴如图1，已知PA，PB为⊙O的弦，C是劣弧



AB的中点，直线CD⊥PA于点E，求证：AE=PE+PB．

⑵如图2，已知PA，PB为⊙O的弦，C是优弧



AB的中点，直线CD⊥PA于点E，问：AE，PE与

PB之间存在怎样的等量关系？写出并证明你的结论．

A

图1

C

P

B

D

E

O

A

图2

C

P

B

D

E

O

11．如图，已知弦CD垂直于⊙O的直径AB于L，弦AE平分半径OC于H．求证：弦DE平分弦

BC于M．(全俄奥林匹克竞赛试题)

A

C

OL

E

B

D

M

H

（第11题图）

12．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB，过D作AC的垂线交△ABC的外接

圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N．求证：MN为△ABC外接圆的直径．

A

C

M

N

O

D

B

（第12题图）