晶向指数

晶向指数

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2023年2月20日发(作者：富丽达)

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1.4晶向指数和晶面指数

一晶向和晶面

1晶向

晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某

些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线

的指向。

2晶面

晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原

子所构成的平面。

不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种

物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以，

为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶

体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指

数。

二晶向指数和晶面指数的确定

1晶向指数的确定方法

三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。

(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，

c，坐标原点在待标晶向上。

(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。

(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w=xa∶yb∶zc。

(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。

图1晶向指数的确定方法

图2不同的晶向及其指数

当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向

上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，

..

word..

(z1-z2)三个数化成最小的简单整数u，v，w，并使之满足u∶v∶w=(x1-x2)∶(y1-y2)∶(z1-z2)。

则[uvw]为该晶向的指数。

显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指

数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。

说明：

a指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。

b负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。

c晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用表示，数字

相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。晶体结构中那些原子密

度相同的等同晶向称为晶向轴，用表示。

：[100][010][001][001][010][100]

：[111][111][111][111][111][111][111][111]

图3正交点阵中的几个晶向指数

2晶面指数的确定

国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来表示晶面指数（hkl）。图4中的红色晶

面为待确定的晶面，其确定方法如下。

图4晶面指数的确定

(1)建立一组以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐

标长度单位分别是晶胞边长a，b，c。

(2)求出待标晶面在a，b，c轴上的截距xa，yb，zc。如该晶面与某轴平行，则截距为∞。

(3)取截距的倒数1/xa，1/yb，1/zc。

(4)将这些倒数化成最小的简单整数比h，k，l，使h∶k∶l=1/xa∶1/yb∶1/zc。

(5)如有某一数为负值，则将负号标注在该数字的上方，将h，k，l置于圆括号内，写成(hkl)，

则(hkl)就是待标晶面的晶面指数。

说明：晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。

a指数意义：代表一组平行的晶面；

..

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b0的意义：面与对应的轴平行；

c平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反；

d晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全相同），空间位向不同的各

组晶面，用{hkl}表示。

在立方系中，{100}：（100）（010）（001），{110}：（110）（101）（011）（110）（101）（011），

{111}：（111）（111）（111）（111）

e若晶面与晶向同面，则hu+kv+lw=0;

f若晶面与晶向垂直，则u=h,k=v,w=l。

立方系常用晶面指数图5。

图5立方系常用晶面指数

例子：请确定图6中的晶面的晶面指数，并在图7中画出这些晶面指数所代表的晶面。

首先选定坐标系，如图所示。然后求出待标晶面在a，b，c轴上的截距，分别为a/2，

2b/3，c/2。取倒数后得到2，3/2，2。再将其化成最小的简单整数比，得到4，3，4

三个数。于是该面的晶面指数为(434)。

图6

图7晶面指数的标注

所有相互平行的晶面在三个晶轴上的截距虽然不同，但它们是成比例的，其倒数也仍然

是成比例的，经简化可以得到相应的最小整数。因此，所有相互平行的晶面，其晶面指数相

..

word..

同，或者三个符号均相反。可见，晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而且代表着一组相互

平行的晶面。

图8立方晶胞的{110}、{111}晶面族

3关于晶面指数和晶向指数的确定方法还有以下几点说明：

(1)参考坐标系通常都是右手坐标系。坐标系可以平移（因而原点可置于任何位置）。但

不能转动，否则，在不同坐标系下定出的指数就无法相互比较。

(2)晶面指数和晶向指数可为正数，亦可为负数，但负号应写在数字上方，如（231），

[112]等。

(3)若各指数同乘以不等于零的数n，则新晶面的位向与旧晶面的一样，新晶向与旧晶

向或是同向(当n>0)，或是反向(当n<0)。但是，晶面距（两个相邻平行晶面间的距离）和

晶向长度（两个相邻结点间的距离）一般都会改变，除非n=1。

从以上各例可以看出，立方晶体的等价晶面具有“类似的指数”，即指数的数字相同，只是

符号（正负号）和排列次序不同。这样，我们只要根据两个（或多个）晶面的指数，就能判

断它们是否为等价晶面。另一方面，给出一个晶面族符号{hkl}，也很容易写出它所包括的

全部等价晶面。

..

word..

对于非立方晶系，由于对称性改变，晶面族所包括的晶面数目就不一样。例如正交晶系，

晶面(100)，(010)和(001)并不是等同晶面，不能以{100}族来包括。

与晶面族类似，晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用表

示。仿照上例，读者可以写出在立方晶系中的，，，和等晶向

族所包括的等价晶向。

以后，在讨论晶体的性质(或行为)时,若遇到晶面族或晶向族符号，那就表示该性质（或

行为）对于该晶面族中的任一晶面或该晶向族中的任一晶向都同样成立，因而没有必要区分

具体的晶面或晶向。

另外，在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的，即[hkl]⊥(hkl)。

4.六方晶系指数表示

上面我们用三个指数表示晶面和晶向。这种三指数表示方法，原则上适用于任意晶系。

对六方晶系，取a，b，c为晶轴，而a轴与b轴的夹角为120°，c轴与a，b轴相垂直，如

图9所示。

图9六方晶体的等价晶面和晶向指数

但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面

和晶向不具有类似的指数。这一点可以从图9看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面和绿

面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒指数却分别是（101）和(100)。图中夹角为60°的

两个密排方向D1和D2是晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别是[100]和[110]。

由于等价晶面或晶向不具有类似的指数，人们就无法从指数判断其等价性，也无法由晶面族

或晶向族指数写出它们所包括的各种等价晶面或晶向，这就给晶体研究带来很大的不便。为

了克服这一缺点，或者说，为了使晶体学上等价的晶面或晶向具有类似的指数，对六方晶体

来说，就得放弃三指数表示，而采用四指数表示（密勒-布拉菲指数）。

四指数表示是基于4个坐标轴：a

1

，a

2

，a

3

和c轴，如图10所示，其中，a

1

，a

2

和c轴

就是原胞的a，b和c轴，而a

3

=-(a

1

+a

2

)。下面就分别讨论用四指数表示的晶面及晶向指数。

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word..

图10六方晶体的四轴系统

（1）六方晶系晶面指数的标定

六方晶系晶面指数的标定原理和方法同立方晶系中的一样，从待标晶面在a

1

，a

2

，a

3

和c轴上的截距可求得相应的指数h，k，i，l，于是晶面指数可写成(hkil)。

根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三个。应用上述方法标定的晶面指

数形式上是4个指数，但是不难看出，前三个指数中只有两个是独立的，它们之间有以下的

关系：i=-(h+k)，因此，可以由前两个指数求得第三个指数。

六方晶体中常见晶面及其四指数（亦称六方指数）标于图11中。从图看出，采用四指

数后，同族晶面（即晶体学上等价的晶面）就具有类似的指数。例如：

共6个等

价面(Ⅰ型棱柱面)。

共6个等

价面(Ⅱ型棱柱面)。

而{0001}只包括(0001)一个晶面，称为基面。六方晶体中比较重要的晶面族还有

，请读者写出其全部等价面。

图11六方晶体中常见的晶面

（2）六方晶系晶向指数的标定

采用四轴坐标，六方晶系晶向指数的标定方法如下：当晶向通过原点时，把晶向沿四个

轴分解成四个分量，晶向OP可表示为：OP=ua1+va2+ta3+wC，晶向指数用[uvtw]表示，其中

t=-(u+v)。原子排列相同的晶向为同一晶向族，图12中a1轴为[0112]，a2轴[0121]，

a3轴[2011]均属〈0112〉，其缺点是标定较麻烦。可先用三轴制确定晶向指数[UVW]，

再利用公式转换为[uvtw]。采用三轴坐标系时。C轴垂直底面，a1、a2轴在底面上，其夹角

为120o，如图12，确定晶向指数的方法同前。采用三轴制虽然指数标定简单，但原子排列

相同的晶向本应属于同一晶向族，其晶向指数的数字却不尽相同，例如[100]，[010]，

[011]，见图12。

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图12六方晶系的一些晶面与晶向指数

六方晶系按两种晶轴系所得的晶向指数可相互转换如下

)2(

3

1VUu，

)2(

3

1UVv，)(vut，Ww。例如，[011]→[2011]，[100]→[0112]，

[010]→[0121]，这样等同晶向的晶向指数的数字都相同。

标定方法通常采用行走法。用行走法确定六方晶体的四轴晶向指数时，会遇到一个新的

问题，即解是不唯一的。例如，a1轴的指数可以是，也可以是[2000]；a2轴的指数可

以是，也可以是[0200]。分析各种等价晶向的四指数后发现，要想使等价晶向具有

类似的四指数，就需要人为地附加一个条件，即前三个指数之和为零。若将晶向指数写成

[UVTW]，则上述附加条件可写成：U+V+T=0，或T=-(U+V)。按照这个附加条件，上述a1轴的

指数就应该是，而不是[2000]；同样，a2和a3轴的指数分别是和。

图13中标出了六方晶体中各重要晶向的四指数，它们是[0001]，，等

等。

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word..

图13六方晶体中常见的晶向

除上述几个特殊晶向外，对一般的晶向，很难直接求出四指数[UVTW]，因为很难保证在

沿a1，a2，a3和c轴分别走了U，V，T和W步后既要到达晶向上的另一点，又要满足条件

T=-(U+V)。比较可靠的标注指数方法是解析法。该法是先求出待标晶向在a1，a2和c三个轴

下的指数u，v，w（这比较容易求得），然后按以下公式算出四指数U，V，T，W。

(1-1)

T=-(U+V)

..

word..

W=w

此公式可证明如下。

由于三指数和四指数均描述同一晶向，故：

Ua1+Va2+Ta3+Wc=ua1+va2+wc

(1-2)

又由几何关系：

a1+a2=-a3

(1-3)

再由等价性要求：

T=-(U+V)

(1-4)

解以上三个联立方程，即得到：

u=2U+V，v=2V+U，w=W

(1-5)

(1-5)式和(1-1)式可用矩阵表示如下：

=

=

下面举两个例子。

例1请写出a1轴的晶向指数。

解：从晶胞图直接得到：u=1，v=0，w=0，按(1-1)式算得：

..

word..

故

。

例2请写出a2和-a3交角的平分线D的晶向指数。

解：从晶胞图可看出：D=a1+(-a3)=2a1+a2，得u=2，v=1，w=0，代入(1-1)式得到：U=1，V=0，

T=-1，W=0，故。

5立方和六方晶体中重要晶向的快速标注

在以后各章将多次遇到立方和六方晶体中的一些低指数重要晶向，需要迅速确定其指

数。根据上述标定指数的方法，我们归纳出一条快速标定晶向指数的口诀，即：“指数看特

征，正负看走向”。就是说，根据晶向的特征，决定指数的数值；根据晶向是“顺轴”（即

与轴的正向成锐角）还是“逆轴”（即与轴的正向成钝角），决定相应于该轴的指数的正负。

下面具体讨论立方和六方晶体中的各重要晶向。

（1）立方晶体

立方晶体中各重要晶向的特征如下：

(1)是晶轴。若沿着a轴，则第一指数为1，依次类推；如果“逆轴”（如沿

-a轴），则相应指数为。

(2)是立方体面对角线。若面对角线在a面（即(100)面）上，则第一指数为

零，其余两个指数为1或（取决于所讨论的对角线是“顺着”还是“逆着”相应的晶轴）。

(3)是体对角线。三个指数都是1或，取决于该对角线与相应轴的交角（锐

角为1，钝角为)。

(4)是顶点到对面（即不通过该顶点的{100}面）面心的连线。如果对面是a

面，则第一指数为2或，其余两个指数为1或。

（2）六方晶体

六方晶体中各重要晶向的特征如下：

(1)[0001]c轴。

(2)和a1，a2或a3轴平行的晶向。和哪个轴正（或反）平行，则相应

的指数就是2（或），其余三个指数就是，，0（或1，1，0）。

(3)两个晶轴±ai和aj交角的平分线（i、j=1，2，3，i≠j）。例如，

是+a1轴和-a3轴交角的平分线；是-a2轴和+a3轴交角的平分线等等。

..

word..

根据以上几类晶向指数，还可以迅速求得某些不平行于基面的重要晶向。方法是先求该晶向

在基面上的投影线的指数[UVT0]，而w可从晶胞图中直观看出。例如，求图1-19中MN的指

数时，先将MN平移至原点，找出其投影ON'的指数，从图1-19中可直观看出

W=1，故MN的指数，化整后得到。

6晶带

相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个晶带，此直线称为晶带轴。设晶带

轴的指数为[uvw]，则晶带中任何一个晶面的指数（hkl）都必须满足：hu+kv+lw=0，满足此

关系的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带，已知两个非平行的晶面指数为（h

1

k

1

l

1

）和（h

2

k

2

l

2

）

则其交线即为晶带轴的指数[uvw]：

1221

lklku，

1221

hlhlv，

1221

khkhw。

图14晶带轴

7晶面间距

一组平行晶面中，相邻两个平行晶面之间的距离叫晶面间距。两近邻平行晶面间的垂直

距离，用d

hkl

表示。对于不同的晶面族{hkl}其晶面间距也不同。总的来说，低指数晶面的面

间距较大，高指数晶面的面间距较小。

..

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图15晶面间距

2

2

)

22

(

3

4)(

1

c

l

a

khkh

hkl

d







图16晶面间距公式的推导

由晶面指数的定义，可用数学方法求出晶面间距，（简单立方）：d=a/(h2+k2+l2)1/2，正交

系：

222)()()(

1

c

l

b

k

k

h

hkl

d



，立方系：

222lkh

a

hkl

d



，六方系：

2

2

)

22

(

3

4)(

1

c

l

a

khkh

hkl

d





。此公

式用于复杂点阵（如体心立方，面心立方等）时要考虑晶面层数的增加。例如，体心立方（001）

..

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面之间还有同一类的晶面，可称为（002）面，故晶面间距应为简单晶胞

001

d的一半，等于

2

a。

由公式也可看出低指数晶面的面间距大。

三晶体的极射赤面投影

采用立体图难以做到清晰表达晶体的各种晶向、晶面及它们之间的夹角。通过投影图可

将立体图表现于平面上。晶体投影方法很多，广泛应用的是极射赤面投影。

1参考球与极射赤面投影

（1）参考球

设想将一很小的晶体或晶胞置于一个大圆球的中心，由于晶体很小，可认为各晶面均通

过球心，由球心作晶面的法线与球面的交点称为极点，这个球称参考球，如图17。球面投

影用点表示相应的晶面，两晶面的夹角可在参考球上量出，如图17，(110)与(010)夹角为45o。

但使用上仍不方便。可在此基础上再作一次极射赤面投影。

图17参考球与立方系球面投影

（2）极射赤面投影

以球的南北极为观测点，赤道面为投影面。连结南极与北半球的极点，连线与投影面的

交点即为晶面的投影，如图18。投影图的边界大圆与参考球直径相等叫基圆。位于南半球

的极点应与北极连线，所得投影点可另选符号，使之与北半球的投影点相区分。也可选与赤

道平行的其他平面作投影面，所得投影图形状不变，只改变其比例。对于立方系，相同指数

的晶面和晶向互相垂直、所以立方系标准投影图的极点即代表了晶面又代表了晶向。若将参

考球比拟为地球，以地球的两极为投影点，将球面投影投射到赤道平面上，就叫极射赤面投

影。

图18极射赤面投影

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2标准投影图

以晶体的某个晶面平行于投影面，作出全部主要晶面的极射投影图称为标准投影图。一

般选择一些重要的低指数晶面作投影面，如立方系(001)，(011)，(111)及六方系(0001)等。例

如(001)标准投影图是以(001)为投影面，进行极射投影而得到的，如图19。

图19立方系（001）标准投影图

3吴氏网

吴氏网是球网坐标的极射平面投影，分度为2o，具有保角度的特性。其读数由中心向

外读，分东，南，西，北。吴氏网如图20所示。

图20吴氏网（分度为2o）

使用吴氏网时，投影图大小与吴氏网必须一致。利用吴氏网可方便读出任一极点的方位，

并可测定投影面上任意两极点间的夹角，是研究晶体投影，晶体取向等问题的有力工具。在

测量时，用透明纸画出直径与吴氏网相等的基圆，并标出晶面的极射赤面投影点。将透明纸

..

word..

盖于吴氏网上。两圆圆心始终重合，转动透明纸、使所测两点落在赤道线上，子午线上，基

因上，同一经线上。两点纬度差(在赤道上为经度差)就等于晶面夹角。不能转到某一纬线去

测夹角，因为此时所测得的角度不是实际夹角。

例题

1.已知纯钛有两种同素异构体，低温稳定的密排六方结构和高温稳定的体心立方结

构，其同素异构转变温度为882.5℃，计算纯钛在室温（20℃）和900℃时晶体中（112）

和（001）的晶面间距（已知a

a

20℃=0.2951nm,c

a

20℃=0.4679nm,aβ

900℃=0.3307nm）。

答案

20℃时为α-Ti：hcp结构

当h+2k=3n(n=0,1,2,3…)，l=奇数时，有附加面。

；

900℃时为β-Ti：bcc结构

当奇数时，有附加面。

内容提要

晶胞是能反映点阵对称性、具有代表性的基本单元（最小平行六面体），其不同方向的

晶向和晶面可用密勒指数加以标注，并可采用极射投影方法来分析晶面和晶向的相对位向关

系。

重点与难点

1晶向指数与晶面指数的标注；

2晶面间距的确定与计算；

..

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3极射投影与Wulff网。

重要概念与名词

晶向指数，晶面指数，晶向族，晶面族，晶带轴，晶面间距，极射投影，极点，吴氏网，

标准投影。

[UVW]与[uvtw]之间的互换关系：

晶带定律：

立方晶系晶面间距计算公式：

六方晶系晶面间距计算公式：

习题

1标出具有下列密勒指数的晶面和晶向：a)立方晶系,,,,；

b)六方晶系，，，，

2在立方晶系中画出晶面族的所有晶面，并写出{123}晶面族和﹤221﹥晶向族中的全

部等价晶面和晶向的密勒指数。

3在立方晶系中画出以为晶带轴的所有晶面。

4试证明在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定相互垂直。

5已知纯钛有两种同素异构体，低温稳定的密排六方结构和高温稳定的体心立方结

构，其同素异构转变温度为882.5℃，计算纯钛在室温（20℃）和900℃时晶体

中（112）和（001）的晶面间距（已知a

a

20℃=0.2951nm,c

a

20℃=0.4679nm,

aβ

900℃=0.3307nm）。

答案

..

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晶向指数：[uvw]即为AB晶向的晶向指数。

如u、v、w中某一数为负值，则将负号标注在该数的上方。[21]和[1]就是两个相互平

行、方向相反的晶向。

因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用

表示

对立方晶系来说，[100]、[010]、[001]和[00]、[00]、

[00]等六个晶向，它们的性质完全相同，用表示

对于正交晶系[100]、[010]、[001]这三个晶向并不是等同晶

向，因为以上三个方向上的原子间距分别为a、b、c，沿着这

三个方向，晶体的性质并不相同。

图1-19{100}，{111}，{110}晶面族

在立方系中：

{100}=（100）、（010）、（001）；

{110}=（110）（101）（011）（10）（01）（01）；

{111}=（111）、（11）、（11）、（11）。

{123}=（123）、（132）、（231）、（213）、（312）、（321）；

（23）、（32）、（31）、（13）、（12）、（21）；

（13）、（12）、（21）、（23）、（32）、（31）；

（12）、（13）、（23）、（21）、（31）、（32）。

共24组晶面

晶面指数用来分别表示原子的排列构成的许多不同方位的晶面。如（111）

在晶体中有些晶面具有共同的特点，其上原子排列和分布规律是完全相同的，晶面间距也

相同，唯一不同的是晶面在空间的位向，一组等同晶面称为一个晶面族，用符号{hkl}表示。

在立方晶系中，具有相同指数的晶向和晶面必定是相垂直的，即[hkl]垂直于（hkl）。

例如：[100]垂直于（100），[110]垂直于（110），[111]垂直于（111），等等。但是，

此关系不适用于其它晶系。

..

word..

左边图，a

1

、a

2

、c为晶轴，而

a

1

与a

2

间的夹角为120度。六

方晶系六个柱面的晶面指数为

（100）、（010）、（10）、（00）、

（00）、（10）这六个面是同

类型晶面，但其晶面指数中的数

字却相同。晶向指数也有类似情

况，例如[100]和[110]是等同晶

向，但晶向指数却不相同。为了

解决这一问题，可采用专用于六

方晶系的指数标定方法。（右图）