三角形公式
萍浏醴起义拼音-租车价格明细表
2023年2月20日发(作者：巴山夜雨古诗)三角形公式
1过两点有且只有一条直线
2两点之间线段最短
3同角或等角的补角相等
4同角或等角的余角相等
5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行
9同位角相等，两直线平行
10内错角相等，两直线平行
11同旁内角互补，两直线平行
12两直线平行，同位角相等
13两直线平行，内错角相等
14两直线平行，同旁内角互补
15定理三角形两边的和大于第三边
16推论三角形两边的差小于第三边
17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°
18推论1直角三角形的两个锐角互余
19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等
26斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上
29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）
31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形
36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形
43定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称
46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2
47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形
48定理四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°
51推论任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等
54推论夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2矩形的对角线相等
62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2
67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
71定理1关于中心对称的两个图形是全等的
72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分
73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相
等
79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰
80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边
81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半
82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h
83(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d
84(2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d
85(3)等比性质如果a／b=c／d=„=m／n(b+d+„+n≠0),那么(a+c+„+m)／(b+d+„+n)=a／b
86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例
87推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
88定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于
三角形的第三边
89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似
91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似（ASA）
92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）
94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SSS）
95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
那么这两个直角三角形相似
96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比
98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方
99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，
并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所
对应的其余各组量都相等
116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
118推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径
119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角
121①直线L和⊙O相交d＜r
②直线L和⊙O相切d=r
③直线L和⊙O相离d＞r
122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹
角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等
131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项
132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上
135①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r
③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切d=R-r(R＞r)⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
137定理把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆
139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
141正n边形的面积Sn=pnrn／2p表示正n边形的周长
142正三角形面积√3a／4a表示边长
143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为
360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
144弧长计算公式：L=n兀R／180
145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)
乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理
判别式
b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根
b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根
b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根
三角函数公式两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)
1.三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
2.三角形内角和等于180°.
3.三角形的外角等于不相邻的两个内角之和,大于任何一个不相邻的内角.
4.全等三角形的对应边和对应角相等.
5.三边对应相等的两个三角形全等.
6.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
7.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
8.两个角与其中一个角的邻边对应相等的两个三角形全等.
9.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
10.等边对等角.
11.等腰三角形的三线合一.
12.等角对等边.
13.等边三角形的三个内角都相等,并且每个内角都等于60°.
14.三个角都相等的三角形是等边三角形.
15.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
16.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
17.勾股定理.
18.勾股定理的逆定理.
19.三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
20.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
21.相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
22.平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
23.如果两个三角形三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
24.如果两个三角形两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
25.如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
26.相似三角形的周长比等于相似比.
27.相似三角形的面积比等于相似比的平方.
28.锐角三角函数.
课外:1.海伦公式假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2
2.三角形重心定理:三角形的三条中线交于一点,这一点叫做三角形的重心,三角形的重心是每条中线的三等
分点.
3.三角形中线公式:在ΔABC中,AD是中线,那么AB^2+AC^2=2(BD^2+AD^2)
4.三角形角平分线公式:在ΔABC中,AD是角平分线,那么BD/AB=CD/AC
这两天在看代码时发现关于三角形的这些基本定理和公式很有用，所以从网上搜了下，主要有三角形的正
弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式（包括海伦公式）。
正弦定理
Sinetheorem
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍）
这一定理对于任意三角形ABC，都有
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
R为三角形外接圆半径
证明
步骤1.
在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H
CH=a•sinB
CH=b•sinA
∴a•sinB=b•sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步骤2.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.
连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式。
意义
正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，又由正弦函数在区间上的单
调性可知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。
余弦定理
余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或
者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。
对于任意三角形三边为a,b,c三角为A,B,C满足性质
(注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。)
a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA
b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB
c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc
证明：
∵如图，有a→+b→=c→
∴c•c=(a+b)•(a+b)
∴c^2=a•a+2a•b+b•b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)
整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式）
再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC
同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。
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平面几何证法：
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a
则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根据勾股定理可得：
AC^2=AD^2+DC^2
b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2
b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB
b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2
b^2=c^2+a^2-2ac*cosB
cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac
从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三
边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边的平方，
那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角
形边长取值范围。
海伦公式
海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦
（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据MorrisKline
在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋
代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=%√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
而公式里的p为半周长：
p=(a+b+c)/2
注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比
如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明（1）：
与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为
cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab
S=1/2*ab*sinC
=1/2*ab*√(1-cos^2C)
=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]
=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]
=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]
=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]
=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]
设p=(a+b+c)/2
则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,
上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]
=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
证明（2）：
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，
已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出
它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根
据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。
秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加
上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到
的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。
所谓“实”、“隅”指的是，在方程px2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、
中斜、小斜，所以
q=1/4[c2a2-(c%|2+a2-b2/2)2]
当P＝1时，△2＝q,
S△=√{1/4[c2a2-(c2+a2-b2/2)2]}
因式分解得
1/16[(c+a)2-b2][b62-(c-a)2]
=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)
=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)
=p(p-a)(p-b)(p-c)
由此可得：
S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=1/2(a+b+c)
这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。
S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^.其中c>b>a.
根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：
已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积
这里用海伦公式的推广
S圆内接四边形=根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)（其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）
代入解得s=8√3
海伦公式的几种另证及其推广
关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：
设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内
切圆的半径，p=(a+b+c),则
S△ABC=1/2aha=1/2ab×sinC=1/2rp
=2R2sinAsinBsinC=
=
其中，S△ABC=就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。
海伦公式在解题中有十分重要的应用。
一、海伦公式的变形
S=
=①
=②
=③
=④
=⑤
二、海伦公式的证明
证一勾股定理
分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC=aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。
证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:
x=y=
ha===
∴S△ABC=aha=a×=
此时S△ABC为变形④，故得证。
证二：斯氏定理
分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。
斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，
若BD=u，DC=v,AD=t.则
t2=
证明：由证一可知，u=v=
∴ha2=t2=－
∴S△ABC=aha=a×
=
此时为S△ABC的变形⑤，故得证。
证三：余弦定理
分析：由变形②S=可知，运用余弦定理c2=a2+b2－2abcosC对其进行证明。
证明：要证明S=
则要证S=
=
=ab×sinC
此时S=ab×sinC为三角形计算公式，故得证。
证四：恒等式
分析：考虑运用S△ABC=rp，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。
恒等式：若∠A+∠B+∠C=180○那么
tg•tg+tg•tg+tg•tg=1
证明：如图，tg=①
tg=②
tg=③
根据恒等式，得：
++=
①②③代入，得：
∴r2(x+y+z)=xyz④
如图可知：a＋b－c=(x+z)＋(x+y)－(z+y)=2x
∴x=同理：y=z=
代入④，得：r2•=
两边同乘以，得：
r2•=
两边开方，得：r•=
左边r•=r•p=S△ABC右边为海伦公式变形①，故得证。
证五：半角定理
半角定理：tg=
tg=
tg=
证明：根据tg==∴r=×y①
同理r=×z②r=×x③
①×②×③,得：r3=×xyz
∵由证一，x==－c=p－c
y==－a=p－a
z==－b=p－b
∴r3=∴r=
∴S△ABC=r•p=故得证。
三、海伦公式的推广
由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，
所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=,则S四边形=
现根据猜想进行证明。
证明：如图，延长DA，CB交于点E。
设EA=eEB=f
∵∠1+∠2=180○∠2+∠3=180○
∴∠1=∠3∴△EAB～△ECD
∴===
解得：e=①f=②
由于S四边形ABCD=S△EAB
将①，②跟b=代入公式变形④，得：
∴S四边形ABCD=
所以，海伦公式的推广得证。
四、海伦公式的推广的应用
海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运
用海伦公式的推广往往事半功倍。
例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD=,AD=1,AB=1,CD=2.
求：四边形可能为等腰梯形。
解：设BC=x
由海伦公式的推广，得：
(4－x)(2＋x)2=27
x4－12x2－16x＋27=0
x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1)=0
(x－1)(x3＋x2－11x－27)=0
x=1或x3＋x2－11x－27=0
当x=1时，AD=BC=1
∴四边形可能为等腰梯形。
在程序中实现(VBS):
Dima,b,c,p,s
a=inputbox("输入三角形第一边")
a=cint(a)
b=inputbox("输入三角形第二边")
b=cint(b)
c=inputbox("输入三角形第三边")
c=cint(c)
p=(a+b+c)/2
s=Sqr(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))
msgboxs,,"三角形面积"
锐角三角形：三个角都小于90度。并不是有一个锐角的三角形，而是三个角都为锐角，比如等边三角形
也是锐角三角形。
b.直角三角形（简称Rt三角形）：
⑴直角三角形两个锐角互余；
⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
⑶在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.；
⑷在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°（和⑶
相反）；
（1）三角形按边分类
（2）三角形按角分类
二、三角形的性质
1..三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
2.三角形内角和等于180度。
3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
6.一个三角形最少有2个锐角。
三、三角形的边角之间的关系
（1）三角形三内角和等于180°；
（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.
（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.
1、三角形的角平分线.
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。
（也叫三角形的内角平分线。）
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
2、三角形的中线
重心。
3、三角形的高
从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简
称为高。
由定义知，三角形的高是一条线段。
由于三角形有三条边，所以三角形有三条高。
三角形的三条高交于一点，该点叫做三角形的垂心。常记作点H。
4、三角形的中位线
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
四、等腰三角形
A、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做腰。另一条边叫做底边。两腰
所夹的角叫做顶角。底边与腰的夹角叫做底角。
B、等腰三角形的性质：
1.等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”）
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
3.等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边．
4.等腰三角形两腰上的高相等．
5.等腰三角形两腰上的中线相等．
6.等腰三角形的两底角的平分线相等。
7.等腰三角形是轴对称图形，顶角的角平分线是它的对称轴．
8.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
C、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写成“等边对等角”）
五、等边三角形
A、等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形。也被称为“正三角形”。等边三角形是特殊
的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
B、等边三角形的性质：【具有等腰三角形的所有性质】
1）等边三角形的内角都相等，且为60度
2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的角平分线互相重合（三线合一）
3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的角平分线所在
直线。
C、等边三角形的判定：【首先考虑判断三角形是等腰三角形】
（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）。
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形。
（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
六、全等三角形
A、全等三角形的定义：两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、翻折等运动
（或称变换）使之与另一个完全重合，这两个三角形称为全等三角形。
当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角
叫做对应角。由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。
B、三角形全等的识别：
1.边边边【SSS】三边对应相等的两个三角形全等。
B△CB△C
如：在△ABC与△A´B´C中：
如果AB=A´B´AC=A′C′BC=B′C′
那么△ABC≌△A´B´C´
2.边角边【SAS】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
B△CB△C
如：在△ABC与△A´B´C中：
如果AB=A´B´∠A=∠A'AC=A′C′
那么△ABC≌△A´B´C´
3.角边角【ASA】两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
B△CB△C
如：在△ABC与△A´B´C中：
如果∠A=∠A'AB=A´B´∠B=∠B'
那么△ABC≌△A´B´C´
4.角角边【AAS】两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
B△CB△C
如：在△ABC与△A´B´C中：
如果∠A=∠A'∠B=∠B'AC=A′C′
那么△ABC≌△A´B´C´
５.直角三角形全等条件有：斜边、直角边【HL】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
如：在RT△ABC与RT△A´B´C中：
如果AB=A´B´BC=B′C′
那么RT△ABC≌RT△A´B´C´
C、全等三角形的性质
1、全等三角形的对应角相等。
2、全等三角形的对应边相等。
3、全等三角形的对应边上的高对应相等。
4、全等三角形的对应角平分线相等。
5、全等三角形的对应中线相等。
6、全等三角形面积相等。
7、全等三角形周长相等。
SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
七、三角形的面积
三角形的面积＝底×高÷2
S＝a×h÷2
三角形的边长公式
a方+b方-2abcosC=c方(abc是3边,ABC分别是abc对应的角)
它其实也包括了勾股定理的.当C=90度时,2abcosC=0,剩下的就是
a方+b方=c方,即勾股定理
直角三角形a^2+b^2=c^2整数解的定a公式直求法
摘要：在直角三角形边长abc关系中，利用ab边条件求得第三边，这是人们的
普遍做法。定a公式直求法的发现打破了人们的传统认识。利用定a公式直求法，在abc三边关系中，只要
给定一个a值整数，就可求得另两边bc的整解关系。这种方法简单方便，易教易学，具有特殊的实用价值
和理论义意。
关键词平方整数解公式直求法增元求解法
引言：a^2+b^2=c^2整数解性质，在2000多年前就已被发现。计算直角三角型形边长关系的勾股弦定理，
体现了我国古代劳动人民的聪明智慧。近代有关费马大定理的的研究，也大多从a^2+b^2=c^2关系入手。
关于平方整数解的求法，古希腊数学家丢番图（Diophantna）给出的法则是√2ab为完全平方数时，可构
造出a^2+b^2=c^2整解关系。这里的平方整数解受ab两个条件制约，而且这个理论也无法回答，当a为全
体整数时，其a^2+b^2=c^2关系能否成立？现在利用定a公式直求法，只要一个a值条件，就可求得bc的
整解关系。同时由公式直求法得出，当a为≥3的全体整数时，a^2+b^2=c^2的整数解关系都成立。
一，直角三角形a^2+b^2=c^2的a值奇偶数列法则：
定理1．如a^2+b^2=c^2是直角三角形的三个整数边长，则必有如下a值的奇数列、偶数列关系成立；
（一）直角三角形a^2+b^2=c^2奇数列a法则：
若a表为2n+1型奇数（n=1、2、3„），则a为奇数列平方整数解的关系是：
a=2n+1
{b=n^2+（n+1）^2-1
c=n^2+（n+1）^2
证：由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立，现将奇数列a法则条件代
入勾股弦定理得到下式：
（2n+1）^2+（n^2+（n+1）^2-1）^2=（n^2+（n+1）^2）^2
化简后得到：
4n^4+8n^3+8n^2+4n+1=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1
即等式关系成立；
由法则条件分别取n=1、2、3„时得到了：
3^2+4^2=5^2
5^2+12^2=13^2
7^2+24^2=25^2
9^2+40^2=41^2
11^2+60^2=61^2
13^2+84^2=85^2
故得到奇数列a法则成立
（二）直角三角形a^2+b^2=c^2的偶数列a法则：
若a表为2n型偶数（n=2、3、4„），则a为偶数列平方整数解的关系是：
a=2n
{b=n^2-1
c=n^2+1
证：由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立，现将偶数列a法则条件代
入勾股弦定理得到下式：
（2n）^2+（n^2-1）^2=（n^2+1）^2
化简后得到：
n^4+2n^2+1=n^4+2n^2+1
即等式关系成立；
（这里需要说明，当取n=1时，有b=n2–1=1-1=0，此时失去三角形意义，故只能取n=2、3、4„）
由法则条件分别取n=2、3、4„时得到了：
4^2+3^2=5^2
6^2+8^2=10^2
8^2+15^2=17^2
10^2+24^2=26^2
12^2+35^2=37^2
14^2+48^2=50^2
故得到偶数列a关系成立
故定理1关系成立
由定理1得出，当a为≥3的全体整数时，a^2+b^2=c^2的整数解关系都成立。
二，直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解“增比计算法则”
定理2．如a^2+b^2=c^2是直角三角形边长的一组整数解，则有（an）^2+（bn）^2=（cn）^2（其中n=1、
2、3„）都是整数解；
证：由勾股弦定理，凡a^2+b^2=c^2是整数解必得到一个边长都为整数的直角三角形
ac，根据平面线段等比放大的原理，三角形等比放大得到2a2c；3a3c；
b2b3b
4a4c；„nanc,
4bnb由a、b、c为整数条件可知，2a、2b、2c；
3a、3b、3c；4a、4b、4c„，na、nb、nc都是整数。
故定理2得证
应用例子：
例2．证明303^2+404^2=505^2是整数解？
解；由直角三角形35得到3^2+4^2=5^2是整数解，根据增比计算法则，
以直角三角形3×1015×101关系为边长时，必有303^2+404^2=505^2是整数解。
4×101
三，直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解“定差公式法则”
3a+2c+n=a1
（这里n=b-a之差，n=1、2、3„）
定理3．若直角三角形a^2+b^2=c^2是满足b-a=n关系的整数解，那么，利用以上3a+2c+n=a1公式连
求得到的a1、a2、a3„ai所组成的平方数组ai^2+bi^2=ci^2都是具有b-a=n之定差关系的整数解；
证：取n为1，由直角三角形三边3、4、5得到3^2+4^2=5^2，这里n=b-a=4-3=1，根据3a+2c+1=a1定
差公式法则有：
a1=3×3+2×5+1=20这时得到
20^2+21^2=29^2继续利用公式计算得到：
a2=3×20+2×29+1=119这时得到
119^2+120^2=169^2继续利用公式计算得到
a3=3×119+2×169+1=696这时得到
696^2+697^2=985^2
故定差为1关系成立
现取n为7，我们有直角三角形21^2+28^2=35^2，这里n=28-21=7，根据3a+2c+7=a1定差公式法则有：
a1=3×21+2×35+7=140这时得到
140^2+147^2=203^2继续利用公式计算得到：
a2=3×140+2×203+7=833这时得到
833^2+840^2=1183^2继续利用公式计算得到：
a3=3×833+2×1183+7=4872这时得到
4872^2+4879^2=6895^2
故定差为7关系成立
再取n为129，我们有直角三角形387^2+516^2=645^2，这里n=516-387=129，根据3a+2c+129=a1定差
公式法则有：
a1=3×387+2×645+129=2580这时得到
2580^2+2709^2=3741^2继续利用公式计算得到：
a2=3×2580+2×3741+129=15351这时得到
15351^2+15480^2=21801^2继续利用公式计算得到：
a3=3×15351+2×21801+129=89784这时得到
89784^2+89913^2=127065^2
故定差为129关系成立
故定差n计算法则成立
故定理3得证
以上给出了三种平方整数解的不同求法，但是仍未能涵盖全体平方整数解，在引入增元法概念后，我们将
给出全体平方整数解的代数关系。
定义．增元求解法
在多元代数式的求值计算中引入原计算项元以外的未知数项元加入，使其构成等式关系并参与求值运算。
我们把利用增加未知数项元来实现对多元代数式求值的方法，叫增元求解法。
四，直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解的“增元定a计算法则”
定理4．如a、b、c分别是直角三角形的三边，Q是增元项，且Q≥1，满足条件：
a≥3、4、5„
{b=（a^2-Q^2）÷2Q
c=b+Q
则此时，a^2+b^2=c^2是整数解；
证：在正方形面积关系中，由边长为a得到面积为a^2，若（a^2-Q^2）÷2Q=b（其中Q为增元项，且b、
Q是整数）,则可把面积a^2分解为a^2=Q^2+Qb+Qb，把分解关系按下列关系重新组合后可得到图形（图一）
其缺口刚好是一个边长为b的正方形。补足缺口面积b^2
Q2Qb后可得到一个边长为b+Q的正方形。现取b+Q=c，根据直角三角形边长
关系的勾股弦定理a^2+b^2=c^2条件可知，此时的a、b、c是直角三角形
Qb的三个整数边长。
故定理4得证
应用例子：
例1．利用增元定a计算法则求直角三角形a边为15时的边长平方整数解？
解：取a为15，选增元项Q为1，根据定a计算法则得到
a=15
{b=（a^-Q^2）÷2Q=（15^2-1^2）÷2=112
c=b+Q=112+1=113
所以得到平方整数解15^2+112^2=113^2
再取a为15，选增元项Q为3，根据定a计算法则得到：
a=15
{b=（a^2-Q^2）÷2Q=（15^2-3^2）÷6=36
c=b+Q=36+3=39
所以得到平方整数解15^2+36^2=39^2
例2．计算a=60时全部平方整数解？
解：利用b=（a^2-Q^2）÷2Q；c=b+Q关系计算得到：
b=（60^2-2^2）÷(2×2)=899；c=899+2；所以有：60^2+899^2=901^2
b=（60^2-4^2）÷(2×4)=448；c=448+4；所以有：60^2+448^2=452^2
b=（60^2-6^2）÷(2×6)=297；c=297+6；所以有：60^2+297^2=303^2
b=（60^2-8^2）÷(2×8)=221；c=221+8；所以有：60^2+221^2=229^2
b=（60^2-10^2）÷(2×10)=175；c=175+10；所以有：60^2+175^2=185^2
b=（60^2-12^2）÷(2×12)=144；c=144+12；所以有：60^2+144^2=156^2
b=（60^2-18^2）÷(2×18)=91；c=91+18；所以有：60^2+91^2=109^2
b=（60^2-20^2）÷(2×20)=80；c=80+20；所以有：60^2+80^2=100^2
b=（60^2-24^2）÷(2×24)=63；c=63+24；所以有：60^2+63^2=87^2
b=（60^2-30^2）÷(2×30)=45；c=45+30；所以有：60^2+45^2=75^2
b=（60^2-36^2）÷(2×36)=32；c=32+36；所以有：60^2+32^2=68^2
b=（60^2-40^2）÷(2×40)=25；c=25+40；所以有：60^2+25^2=65^2
b=（60^2-50^2）÷(2×50)=11；c=11+50；所以有：60^2+11^2=61^2
增元定a计算法则，当取a=3、4、5、6、7„时，通过满足Q为整数的不同取值，将一个不漏地求出全
部平方整数解。
以上给出了三种平方整数解的不同求法，但是仍未能涵盖全体平方整数解，在引入增元法概念后，我们将
给出全体平方整数解的代数关系。
定义．增元求解法
在多元代数式的求值计算中引入原计算项元以外的未知数项元加入，使其构成等式关系并参与求值运算。
我们把利用增加未知数项元来实现对多元代数式求值的方法，叫增元求解法。
四，直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解的“增元定a计算法则”
定理4．如a、b、c分别是直角三角形的三边，Q是增元项，且Q≥1，满足条件：
a≥3、4、5„
{b=（a^2-Q^2）÷2Q
c=b+Q
则此时，a^2+b^2=c^2是整数解；
证：在正方形面积关系中，由边长为a得到面积为a^2，若（a^2-Q^2）÷2Q=b（其中Q为增元项，且b、
Q是整数）,则可把面积a^2分解为a^2=Q^2+Qb+Qb，把分解关系按下列关系重新组合后可得到图形（图一）
其缺口刚好是一个边长为b的正方形。补足缺口面积b^2
Q2Qb后可得到一个边长为b+Q的正方形。现取b+Q=c，根据直角三角形边长
关系的勾股弦定理a^2+b^2=c^2条件可知，此时的a、b、c是直角三角形
Qb的三个整数边长。
故定理4得证
增元定a计算法则，当取a=3、4、5、6、7„时，通过满足Q为整数的不同取值，将一个不漏地求出全
部平方整数解。这里，Q的取值原则是：若a为奇数，首先取1，再把a^2标准分解，取其中若干重组因数
积的2倍小于a，则因数积为Q。若a为偶数，先把a^2标准分解，去掉一个2后取其中若干重组因数小于
a的偶数积为Q。
应用例子：
例1．利用增元定a计算法则求直角三角形a边为15时的边长平方整数解？
解：由Q的取值原则分解a2得到：152=32×52，所以有Q=1，Q=3，Q=5,Q=9；
取a为15，选增元项Q为1，根据定a计算法则得到
a=15
{b=（a^-Q^2）÷2Q=（15^2-1^2）÷2=112
c=b+Q=112+1=113
所以得到平方整数解15^2+112^2=113^2
再取a为15，选增元项Q为3，根据定a计算法则得到：
a=15
{b=（a^2-Q^2）÷2Q=（15^2-3^2）÷6=36
c=b+Q=36+3=39
所以得到平方整数解15^2+36^2=39^2
再取a为15，选增元项Q为5，根据定a计算法则得到：
a=15
{b=（a^2-Q^2）÷2Q=（15^2-5^2）÷10=20
c=b+Q=20+5=25
所以得到平方整数解15^2+20^2=25^2
再取a为15，选增元项Q为9，根据定a计算法则得到：
a=15
{b=（a^2-Q^2）÷2Q=（15^2-9^2）÷18=8
c=b+Q=8+9=17
所以得到平方整数解15^2+8^2=17^2
例2．计算a=60时全部平方整数解？
解：由Q的取值原则分解a^2得到：60^2=2^4×3^2×5^2，去掉一个2后有效因数为2^3×3^2×5^2，取
这些因数重组不大于60的偶数积为Q，所以有Q=2，Q=4，Q=6，Q=8，Q=10，Q=12，Q=18，Q=20，
Q=24，Q=30，Q=36，Q=40，Q=50；
利用b=（a^2-Q^2）÷2Q；c=b+Q关系计算得到：
b=（60^2-2^2）÷(2×2)=899；c=899+2；所以有：60^2+899^2=901^2
b=（60^2-4^2）÷(2×4)=448；c=448+4；所以有：60^2+448^2=452^2
b=（60^2-6^2）÷(2×6)=297；c=297+6；所以有：60^2+297^2=303^2
b=（60^2-8^2）÷(2×8)=221；c=221+8；所以有：60^2+221^2=229^2
b=（60^2-10^2）÷(2×10)=175；c=175+10；所以有：60^2+175^2=185^2
b=（60^2-12^2）÷(2×12)=144；c=144+12；所以有：60^2+144^2=156^2
b=（60^2-18^2）÷(2×18)=91；c=91+18；所以有：60^2+91^2=109^2
b=（60^2-20^2）÷(2×20)=80；c=80+20；所以有：60^2+80^2=100^2
b=（60^2-24^2）÷(2×24)=63；c=63+24；所以有：60^2+63^2=87^2
b=（60^2-30^2）÷(2×30)=45；c=45+30；所以有：60^2+45^2=75^2
b=（60^2-36^2）÷(2×36)=32；c=32+36；所以有：60^2+32^2=68^2
b=（60^2-40^2）÷(2×40)=25；c=25+40；所以有：60^2+25^2=65^2
b=（60^2-50^2）÷(2×50)=11；c=11+50；所以有：60^2+11^2=61^2
例3．请利用定a直求法则和增比法则求出8个a边长为11的直角三角形边长关系（b、c可取1~8位小数）；
解：由计算得出：
11^2+60^2=61^2（a取11，Q=1；）
11^2+9。6^2=14。6^2（a取110，Q=50；）
11^2+26。4^2=28。6^2（a取110，Q=22；）
11^2+3024。99^2=3025。01^2（a取1100，Q=2；）
11^2+30249。999^2=30250。001^2（a取11000，Q=2；）
11^2+7562。496^2=7562。504^2（a取11000，Q=8；）
11^2+15124。998^2=15125。002^2（a取11000，Q=4；）
11^2+10。43671875^2=15。16328125^2（a取1100000000，Q=472656250；）
本文给出求算平方整数解的公式方法将使平方整数关系从此剥去神秘面纱。
《学术评审团初步评语》：
在直角三角形三边a、b、c中，任意给定一a值整数，就可求得b、c整解，这是一个改变直角三角形
a^2+b^2=c^2整数解计算理论的发现。其给出的求算平方整数解，特别是连续求得互素平方整数解的公式方
法，角度新颖，直观、简单，易教、易学，为平方整数和问题建立了完善的理论和实践方法。