机械制图课件
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2023年2月20日发(作者：银行服务)第三章平面体及其投影
正投影图度量性好、作图简便，是绘制工程图样的基础。本章首先介绍正投影法的基本
知识，再讨论平面体的构成要素点、直线、平面的正投影特征及平面体正投影图的绘制。
§3-1投影法基本知识
一、投影法的建立及其分类
1.投影法的建立
物体在灯光或阳光的照射下，会在地面、桌面或墙壁上出现它的影子，如图3-1a所示，
三角板在灯光的照射下，桌面出现了它的影子。影子是一种自然现象，将影子这种自然现象
进行几何抽象概括就会得到一个平面图形（图3-1b）。在图3-1b中，S为投射中心，A、B、C
为空间点，平面H为投影面，S与点A、B、C的连线为投射线，SA、SB、SC的延长线与平
面H的交点a、b、c，称为点A、B、C在平面H上的投影，将投影a、b、c按其空间关系连
线得一平面图形。这种将空间物体用平面图形（投影）表达的方法就称为投影法。
图3-1投影法的建立
2.投影法的分类
投影法种类是根据投射线平行或汇交、投射线与投影面相对位置（垂直或倾斜）不同来区
分的，投影法分为两类。
（1）中心投影法
如图3-1b所示，投射线汇交于一点S（投射中心）的投影法，称为中心投影法。用中心
投影法得到的投影称为中心投影。
中心投影图形的大小随着投影面、物体和投射中心三者之间的相对距离不同而变化。在
工程上它主要用于绘制建筑物的透视图，机械图样较少采用。
图3-2平行投影法
（2）平行投影法
将图3-1b中的投射中心移至无穷远处时，所有的投射线都变成互相平行。投射线相互平
行的投影法，称为平行投影法。用平行投影法得到的投影称为平行投影。
平行投影法根据投射线是否垂直于投影面又分为斜投影法与正投影法。
1)斜投影法投射线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法。用斜投影法得到的投影叫做斜
投影（图3-2a）。
2)正投影法投射线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法。用正投影法得到的投影叫做正
投影（图3-2b）。
正投影法的多面投影能准确完整地表达空间物体的形状和大小，作图比较简便，因此它
在工程上应用非常广泛。绘制机械图样主要采用正投影法，本书涉及的投影法主要是正投影
法。因此本书中凡未作特殊说明的“投影”都指正投影。
二、正投影的基本特征
1．点的正投影特征
过空间点A作H投影面的垂线，其垂足a便是空间点A
在H投影面上的正投影（图3-3）。在H投影面及空间点A
位置都确定的情况下，点A的投影a惟一确定；反过来，如
果空间点B在H投影面上的投影b已知，则无法确定点B的
空间位置（图3-3）。
图3-3点的正投影特征
2.直线、平面的正投影特征
（1）真实性平面（或直线段）平行于投影面时，其正投影反映实形（或实长），这种投影
特征称为真实性或全等性（图3-4a）。
（2）积聚性平面（或直线段）垂直于投影面时，其正投影积聚为线段（或一点），这种投
影特征称为积聚性（图3-4b）。
（3）类似性平面（或直线段）倾斜于投影面时，其正投影变小（或变短），如平面是多边
形，则该多边形的投影与多边形的形状类似（边数、平行关系、直曲形状相同），这种投影特
征称为类似性（图3-4c）。
图3-4直线、平面的正投影特征
三、物体三视图的形成及其对应关系
由正投影的基本特征可知，点的一面投影不能确定该点的空间位置。同样，物体的一面
投影也不能确定物体的空间形状（图3-5a）。为使投影图能惟一确定物体的空间形状，通常采
用三面正投影图（图3-5b）。国家标准规定：用正投影法绘制出的物体多面正投影图称为视图，
因此，物体的三面正投影图可称为三视图。
图3-5一面投影不能确定物体的空间形状
1.直角三投影面体系的建立
直角三投影面体系由三个相互垂直的投影面所组成（图3-6）。其
中，正立投影面简称正面，用V表示；水平投影面简称水平面，用H
表示；侧立投影面简称侧面，用W表示。三个投影面的交线OX、OY、
OZ称为投影轴，也互相垂直，分别代表长、宽、高三个方向。三根投
影轴交于一点O，称为原点。
3-6三投影面体系
2.物体三视图的形成
（1）物体的投影
如图3-7a所示，将物体放入三投影面体系中（使之处于观察者与投影面之间），然后按正
投影法将物体分别向各个投影面投射，即得到物体的三面正投影图，即三视图。规定：将物
体由前向后投射，在V面上获得的投影称为物体的正面投影或主视图；将物体由上向下投射，
在H面上获得的投影称为物体的水平投影或俯视图；将物体由左向右投射，在W面上获得的
投影称为物体的侧面投影或左视图。在视图中，物体可见轮廓的投影画粗实线，不可见轮廓
的投影画细虚线。线型的要求和说明见教材第一章中的表1-3。
图3-7物体三视图的形成
（2）三投影面体系的展开
为了画图、看图及图样管理的方便，需要将物体的三视图绘制在一个平面内。为此，将
三投影面体系展开，展开的方法是：V面保持不动，H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ
轴向右旋转90°，在旋转过程中OY轴被分成了两部分，一部分OYH随H面旋转，另一部分OYW
随W面旋转（图3-7b、c）。
在工程上，画物体三视图的目的是用一组平面图形（视图）来表达物体的空间形状。因
此，画物体三视图时，不必画出投影面和投影轴，视图之间的距离也可自行确定（图3-7d）。
3.三视图之间的对应关系
（1）位置关系
从物体三视图的形成过程看出，三面视图间的位置关系是：俯视图在主视图的正下方；
左视图在主视图的正右方。按此位置配置的三视图，不需注写其名称（图3-7d）。
（2）尺寸关系
从物体三视图的形成过程可知，一个视图只能反映物体两个方向的尺寸。主视图反映物
体的长和高；俯视图反映物体的长和宽；左视图反映物体的宽和高（图3-8a）。由于投射过程
中物体的大小不变，位置不变，因此三面视图间有这样的尺寸关系：
主、俯视图等长，即“主、俯视图长对正”。
主、左视图等高，即“主、左视图高平齐”。
俯、左视图等宽，即“俯、左视图宽相等”（图3-8b）。
三视图之间存在的“长对正、高平齐、宽相等”的“三等”尺寸关系，是物体三面正投
影图的投影规律，它不仅适用整个物体，也适用物体的局部。画图、读图时都应遵循和应用
它。
图3-8三视图的尺寸关系
（3）方位关系
如图3-9ａ所示，物体具有上、下、左、右、前、后六个方位。
从图3-9ｂ可看出：
主视图反映物体的上下、左右相对位置关系，不反映前后相对位置；
俯视图反映物体的前后、左右相对位置关系，不反映上下相对位置；
左视图反映物体的前后、上下相对位置关系，不反映左右相对位置。
图3-9三视图的方位关系
通过上述分析可知，必须将两个视图联系起来，才能表明物体六个方位的位置关系。画
图和读图时，应特别注意俯视图与左视图之间的前、后对应关系。即在俯、左视图中，离主
视图最近的图线，表示物体最后面的面或边的投影，离主视图最远的图线，则表示物体最前
面的面或边的投影。
〔例3-1〕参照缺角长方体的立体示意图（图3-10a），补画左视图中漏画的图线。
图3-10补画左视图中漏画的图线
作图：按主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等的投影关系，补画长方体缺角在左视图中的
投影。此时必须注意缺角在长方体中前、后位置的方位对应关系（图3-10b）。
1
§3-2点、直线、平面的投影
任何物体的表面都是由点、线、面等几何元素组成。如图3-11所示三
棱锥，是由四个平面、六条棱线和四个点组成。由于工程图样是用线框图
形来表达，所以绘制三棱锥的三视图，实际上就是绘制构成三棱锥表面的
这些点、棱线和平面的三面投影1。因此，要正确绘制和阅读物体的三视图，
须掌握这些基本几何元素的投影规律。
图3-11三棱锥
一、点的投影
１．点的三面投影形成
如图3-12a所示，过空间点A分别向三个投影面作垂线，其垂足a、a′、a″2即为点A
在三个投影面上的投影。按前述三投影面体系的展开方法将三个投影面展开（图3-12b），去
掉表示投影面范围的边框，即得点A的三面投影图（图3-12c）。图中ax、ay、az分别为点的投
影连线与投影轴OX、OY、OZ的交点。
图3-12点的三面投影形成
２．点的三面投影规律
从图3-12中点A的三面投影形成可得出点的三面投影规律：
（1）点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX。
（2）点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ。
（3）点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离，即aax＝a″az.
此外，从图3-12a还可看出点的投影到投影轴的距离，分别等于空间点到相应投影面的距
1本书中，体的多面投影称为视图。点、线、面等几何元素的投影一般称为投影图。
2空间点用大写字母表示，H面投影用相应的小写字母表示，V面投影用相应的小写字母加“′”表示，W
面投影用相应的小写字母加“″”表示。
2
离。如：a′az＝aaYH反映点A到W面的距离；a′a
x
＝a″aYw反映点A到H面的距离；aax＝a
″az反映点A到V面的距离.
根据上述点的三面投影规律，在点的三面投影中，只要知道其中任意两个面的投影，就
可求作出该点的第三面投影。
〔例3-2〕已知点B的V面投影b′与H面投影b，求作W面投影b″（图3-13a）。
分析：
根据点的投影规律可知，b′b″⊥OZ，过b′作OZ轴的垂线b′b
z
并延长，所求b″必在
b′b
z
的延长线上。由b″b
z
＝bb
x
，可确定b″的位置。
图3-13已知点的两面投影求作第三面投影
作图：
１）过b′作b′b
z
⊥OZ，并延长（图3-13ｂ）。
２）量取b″b
z
＝bb
x
，求得b″，也可利用４５°线作图（图3-13ｃ）。
３．点的三面投影与直角坐标的关系
在图3-14ａ中，如果将投影面看作坐标面，投影轴看作坐标轴，原点O看作坐标原点，
这样的直角三投影面体系便成为一个空间直角坐标系。空间点A到三个投影面的距离便可分
别用它的直角坐标x、y、z表示。
点A的x坐标：表示点A到W面的距离＝Aa″＝a′az＝aaYH
点A的y坐标：表示点A到V面的距离＝Aa′＝a″az＝aax
点A的z坐标：表示点A到H面的距离＝Aa＝a′ax＝a″aYW
3
图3-14点的投影与直角坐标的关系
点的空间位置可由点的坐标（x，y，z）确定。如图3-14ｂ所示，点A三面投影的坐标分
别为ａ（ｘ，ｙ）、ａ′（ｘ，ｚ）、ａ″（ｙ，ｚ）。任一面投影都表示两个坐标，所以一个
点的两面投影就表示了确定该点空间位置的三个坐标，即确定了点的空间位置。
〔例3-3〕已知点A（15,10,20）3，试作其三面投影。
图3-15已知点的坐标作投影
作图：
１）作投影轴，在OX轴上向左量取15，得a
x
（图3-15ａ）。
２）过a
x
作OX轴的垂线，在此垂线上沿OY
H
方向量取10得ａ，沿OZ方向量取20，得a′（图3-15
ｂ）。
３）由ａ、ａ′作出ａ″（图3-15ｃ）。
〔例3-4〕如图3-16ａ所示，已知点B的水平投影ｂ，并知点B到H面的距离为０，试作出
点B的其余两面投影。
3本书中，凡未写单位的线性尺寸，其单位均为毫米。
4
图3-16根据点的一面投影及点到该投影面的距离，求作点的其余投影
分析：
从点B的水平投影可知点B的ｘ、ｙ坐标，点B到H面的距离即为点B的ｚ坐标，ｚ坐
标值等于０，说明点B在H面上。因此，点B的H面投影ｂ与点B重合；点B的V面投影
ｂ′在OX轴上；点B的W面投影ｂ″在OY
W
轴上。
作图：
１）过ｂ作OX轴的垂线，其垂足即为ｂ
x
，ｂ′与ｂ
x
重合（图3-16b），
２）在OY
W
轴上量取ob″＝ｂｂ
x
得ｂ″，也可利用作４５°斜线确定ｂ″（图3-16c）。
思考：
在例3-4中，能否在OY
H
上量取ob″＝ｂｂ
x
确定ｂ″？为什么？
４．两点的相对位置
（１）两点相对位置的确定
空间两点的相对位置可用两种方式确定。
图3-17两点的相对位置
１）直接从两点的投影确定：
从正面投影或侧面投影可确定两点的上、下位置，如图3-17ｂ的正面投影中，ａ′在ｂ′
上方，可知点A在点B之上。同理，从正面投影或水平投影可确定两点的左、右位置；从水平
投影或侧面投影可确定两点的前、后位置。
5
２）从两点的坐标差判断：
从两点的ｚ坐标差，可判断两点的上、下位置，如图3-17中，ｚ
A
－ｚ
B
>0，说明点A在
点B之上。同理，从两点的ｘ坐标差，可判断两点的左、右位置；从两点的ｙ坐标差，可判
断两点的前、后位置。
〔例3-5〕已知空间点C的三面投影（图3-18ａ），点D在点C的左方５，后方６，上方４。
求作点D的三面投影。
图3-18根据两点的相对位置，求作点的投影
作图：
１）在OX轴上的c
x
处向左量取５，得d
x
（图3-18ｂ）。
２）过d
x
作OX轴的垂线。在该垂线上，从d
x
开始，沿OZ方向量取z
c
＋４得ｄ′，沿OY
H
方向量取y
c
－６得ｄ（图3-18ｃ）。
３）由ｄ′、ｄ作出ｄ″（图3-18ｄ）。
（２）重影点及其投影的可见性
如图3-19所示，当空间两点A、B位于垂直于H面的同一投射线上时，这两个点在H面
上的投影重合为一点，我们称这两个点为H面的重影点。同理，C、D为V面重影点。
图3-19重影点的投影
由于点的一面投影能反映点的两个坐标，所以重影点必有两个坐标相同。H面的重影点，
ｘ、ｙ坐标相同，即ｘＡ=ｘＢｙＡ=ｙＢ,ｚ坐标不同；V面的重影点，ｘ、ｚ坐标相同，即ｘＡ
=ｘＢｚＡ=ｚＢ，ｙ坐标不同；同理W面的重影点，ｙ、ｚ坐标相同，ｘ坐标不同。
6
重影点重合的那面投影存在遮挡关系，如图3-19所示，H面的重影点A、B，ｚ坐标不同，
由于ｚＡ＞ｚＢ，所以ａ可见，ｂ不可见，不可见投影，字母加括号表示，如（ｂ）。
二、直线4的投影
1.直线的三面投影形成
空间两点确定一条直线。因此，求直线的投影实质上仍是求点的投影。如图3-20a所示，
在直线上任取两点（一般取端点），作出该两点的三面投影（图3-20b），然后将该两点的同面
投影（即两点在同一个投影面上的投影）相连，即得该直线的三面投影（图3-20c）。
图3-20直线的三面投影
2.各类直线的投影特征
直线相对于投影面的位置不同，直线的投影亦不同（图3-4）。因此，我们根据直线在三
投影面体系中的位置不同，将直线分为三类：投影面平行线、投影面垂直线、投影面倾斜线。
并规定：直线与H面的倾角，用α表示；与V面的倾角，用β表示；与W面的倾角，用γ表
示。下面讨论各类直线的位置特点及投影特征。
（1）投影面平行线
平行于某一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。根据所平行
的投影面不同，投影面平行线又分为三种：正平线、水平线、侧平线，各种投影面平行线的
投影特征如表3–1所示。
表３－1投影面平行线的投影特征
4本书中，直线均指直线段。
7
（2）投影面垂直线
垂直于某一个投影面，而与另外两个投影面平行的直线称为投影面垂直线。根据所垂直
的投影面不同，投影面垂直线又分为三种：正垂线、铅垂线、侧垂线，各种投影面垂直线的
投影特征如表3–2所示。
表３－2投影面垂直线的投影特征
8
思考：有一空间直线AB，它平行于V面的同时又平行于W面（即AB∥V、AB∥W），该直线
AB是投影面平行线还是投影面垂直线？
（3）投影面倾斜线
倾斜于三个投影面的直线叫做投影面倾斜线，如图3–21a所示。
投影面倾斜线的投影特征：
1)三面投影都倾斜于投影轴（主要特征），但它与投影轴的夹角不反映直线的α、β、γ。
2)三面投影都缩短：ab=ABcosα，a′b′=ABcosβ，a″b″=ABcosγ。
图3-21投影面倾斜线的投影特征
在后面学习中，我们常将投影面平行线、投影面垂直线统称为特殊位置直线，而将投影
面倾斜线称为一般位置直线。
〔例3-6〕分析图3-22ａ所示三棱锥各棱线与投影面的相对位置。
9
图3-22分析投影，确定直线与投影面的相对位置
分析：
棱线SB：由于ｓｂ⊥OX，ｓ′ｂ′⊥OX，说明SB上所有点的X坐标相同，可以确定
SB为侧平线，侧面投影反映实长ｓ″ｂ″＝SB，反映棱线SB的α角、β角（图3-22ａ）。
棱线AC：由于A、C点的侧面投影ａ″、ｃ″重合，可以判断AC为侧垂线，正面投影、
水平投影都平行于X轴，且ａ′ｃ′＝ａｃ＝AC（图3-22ｂ）。
棱线SA：由于SA的三面投影ｓａ、ｓ′ａ′、ｓ″ａ″都与投影轴倾斜，可以判断SA
为一般位置直线（图3-22ｃ）。
３．直线上的点
点在直线上，则点的各面投影必在该直线的同面投影上，如图3-23所示，点K在直线AB
上，k必在ab上，k′必在a′b′上，k″必在a″b″上。
直线上的点将直线分为两段，并将直线的各个投影分割成和空间相同的比例（即简比不
变），如图3-23所示，AK：KB=ak：kb=a′k′：k′b′=a″k″：k″b″。
图3-23直线上的点
〔例3-7〕已知直线AB的两面投影（图3-24ａ），试在直线AB上取一点C，使AC：CB=1：
2，作出点C的两面投影c、c′。
10
图3-24直线上取点
1)自ａｂ的一个端点ａ作任一辅助线，在该辅助线上截取3个单位长，得点B
0
。
2)将B
0
b相连，过辅助线上的第一个单位长度截点1画B
0
b的平行线，该平行线与ab的交点
即是所求点C的水平投影c。
3)过c作OX轴的垂线，该垂线与a′b′的交点，即为所求点C的正面投影c′。
〔例3-8〕已知如图3-25ａ所示，判断点K是否在直线AB上。
图3-25判断点是否在直线上
方法一：补画直线和点的侧面投影，如果点K在直线AB上，则ｋ″必在ａ″ｂ″上。
从图3-25ｂ看出，ｋ″不在ａ″ｂ″上，所以点K不在直线AB上。
方法二：根据简比不变作图判断，如果点K在直线AB上，必有ak：kb=a′k′：k′b′。
1)自ａ′ｂ′的一个端点ａ′作任一辅助线，在该辅助线上截取ａ′K
0
=ａｋ，K
0
B
0
=ｋｂ（图
3-25c）。
２）连接B
0
ｂ′，并过K
0
作B
0
ｂ′的平行线交a′b′于一点，该点与ｋ′不重合，说明等
式ak：kb=a′k′：k′b′不成立，因此点K不在直线AB上。
思考：上述方法二中，可否从AB的水平投影ａｂ的一个端点a或b作辅助线求解？如何作图？
从上面两例可以看出，在一般情况下，若已知点的任意两面投影在直线的同面投影上，
就可以断定该点在直线上。但是，若直线为投影面平行线时，如果要根据两面投影进行判断，
11
则该两面投影中一定要有一面投影是反映直线实长的投影。
4.两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有三种：平行、相交和交叉。平行两直线和相交两直线都可以组
成一个平面，而交叉两直线则不能，所以交叉两直线又称为异面直线。
（１）两直线平行空间互相平行的两直线，其各组同面投影必互相平行。
如图3-26所示，AB∥CD，则ab∥cd、a′b′∥c′d′，W面投影a″b″必定平行于c″d″。
若空间两直线的三组同面投影分别互相平行，则空间两直线必互相平行。
图3-26两直线平行
判断空间两直线是否平行关键是判断两直线是否共面，一般情况下，只需判断两直线的
任意两组同面投影是否分别平行即可（图3-26ｂ）。但是当两直线均平行于某一投影面时，要
判断它们是否平行，则取决于该两直线所平行的那个投影面上的投影是否平行。如图3-27a所
示，EF、CD为侧平线，虽然ef∥cd、e′f′∥c′d′，但求出侧面投影（图3-27b）后，由于e
″f″不平行于c″d″，故EF，CD不平行。
图3-27判断两直线是否平行
思考：有无其他方法可判断图3-27中的直线EF，CD是否平行？
（２）两直线相交空间两直线相交，则其各组同面投影必相交，且交点必符合空间
12
点的投影规律；反之亦然。如图3-28所示，直线AB，CD相交于点K，其投影ab与cd，a′b′
与c′d′分别相交于k，k′，且kk′⊥OX轴。
图3-28两直线相交
判断空间两直线是否相交，一般情况下，只需判断任意两组同面投影是否相交，且交点
符合点的投影规律即可（图3-28b）。但是，当两条直线中有一条直线为投影面平行线时，要判
断它们是否相交，则取决于直线投影的交点是否是同一点的投影。
〔例3-9〕判断图3-29a中直线AB、CD是否相交？
图3-29判断两直线是否相交
方法一：补画第三面投影判断。虽然AB、CD的第三面投影也相交，但二直线投影的交点不是
同一点的投影，所以二直线在空间不相交（图3-29b）。
方法二：利用简比不变判断。假设二直线相交，则交点K是二者的共有点，它位于直线AB上，
它将AB分为两段，AK、KB。该两段的水平投影之比ak：kb应等于该两段的正面投影之比a′
k′：k′b′，从图3-29c可知，该比例不成立，所以二直线在空间不相交。
（３）两直线交叉既不平行又不相交的两条直线称为两交叉直线。
如图3-30所示，直线AB和CD为两交叉直线，虽然它们的同面投影相交了，但“交
点”不符合点的投影规律，该“交点”只是两直线的重影点。如ab、cd的交点1(2)，是直线AB
13
上的点I与直线CD上的点II水平投影的重合（即H面重影点）；a′b′、c′d′的交点3′(4′)
是直线AB上的点IV与直线CD上的点III正面投影的重合（即V面重影点）。
图3-30两直线交叉
利用交叉两直线重影点的投影可以判断两直线的相对位置，如图3-30所示，根据两直线的
H面重影点的投影1(2)，找出该重影点的正面投影1′、2′，由于1′在2′的上方，所以可以
判断直线AB在直线CD上方；根据两直线的V面重影点的投影3′(4′)，找出该重影点的水平
投影3、4，由于3在4的前方，所以可以判断直线CD在直线AB前方。
5.直角的投影
二直线垂直（相交垂直或交叉垂直），一般情况下，其投影不反映直角。但如果这垂直二
直线中有一直线为投影面平行线时，则该二直线在所平行的这个投影面上的投影反映直角。
证明如下（图3-31）：
已知水平线AB垂直于倾斜线AC（相交垂直）
求证ab⊥ac
证明∵AB∥H面（已知）
∴AB⊥Aa（由正投影形成可知）
又∵AB⊥AC(已知)
∴AB⊥AacC
又∵AB∥H面（已知）
∴ab∥AB
∴ab⊥AacC
故ab⊥ac
14
图3-31直角的投影
反之，如果相交二直线在某一投影面上的投影相互垂直，且其中一条直线又平行于该投
影面，则该二直线在空间必相互垂直。这同样适用于交叉垂直，见图3-31c所示。
〔例3-10〕如图3–32a所示，已知矩形ABCD之AB边（a′b′∥OX），并知其顶点D在已知直
线EF上，试完成该矩形两面投影。
图3-32由已知条件，完成矩形的投影
分析：矩形的几何特性是：各邻边相互垂直，对边平行且相等。由于AB与AD相邻，所以
AB⊥AD。又由于AB边是水平线，所以必有ab⊥ad。D在EF上，d必在ef上。由d作d′，
然后利用矩形各对边平行即可完成作图。
作图：（图3–32b）
1)作ad⊥ab，交ef于d；
2)由d作出d′，连接a′d′。
3)分别过b、b′作ad、a′d′的平行线，过d、d′作ab、a′b′的平行线，二者的交点即
为顶点C的两面投影。
4)顺序连接点A、B、C、D的同面投影，擦去多余作图线得所求。
〔例3-11〕求作图3–33a所示交叉二直线AB、CD的公垂线的投影。
15
图3-33求作交叉二直线的公垂线
分析：如图3–33b所示，假设公垂线为MN，根据公垂线的含义有：MN⊥AB、MN⊥CD。由
于AB⊥H，所以，与AB垂直的直线都平行于H，因此该公垂线MN是一条水平线。又因为
MN⊥CD，故有mn⊥cd。点M在AB上，m与a（b）重合。
作图：（图3–33c）
1)过点a（b）作mn⊥cd，交cd于n；
2)由n在c′d′上作出n′；
3)由n′作OX的平行线交a′b′于m′，mn、m′n′为所求。
三、平面的投影
1.平面的几何表示法
从几何学可知，不在同一条直线上的三点确定一平面。这一基本情况可转化为：一直线
和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意的平面图形。平面的投影也可以用这些几何
元素的投影来表示，如图3–34所示。
图3-34平面的几何表示法
一般，平面的投影只用来表达平面的空间位置，并不限制平面的空间范围。因此没加特
别说明时，平面都是可无限延伸的。
2.各类平面的投影特征
与直线相类似，平面相对于投影面的位置不同，平面的投影亦不同（图3-4）。因此，我
们根据平面在三投影面体系中的位置不同，将平面分为三类：投影面平行面、投影面垂直面、
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投影面倾斜面。并规定：平面与H面的倾角，用α表示；与V面的倾角，用β表示；与W面
的倾角，用γ表示。下面讨论各类平面的位置特点及投影特征。
（1）投影面平行面
平行于某一个投影面，而与另外两个投影面垂直的平面称为投影面平行面。根据所平行
的投影面不同，投影面平行面又分为三种：正平面、水平面、侧平面，各种投影面平行面的
投影特征如表3–3所示。
表3-3投影面平行面的投影特征
（2）投影面垂直面
垂直于某一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的平面称为投影面垂直面。根据所垂直
的投影面的不同，投影面垂直面又分为三种：正垂面、铅垂面、侧垂面，各种投影面垂直面
的投影特征如表3–4所示。
表3-4投影面垂直面的投影特征
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思考：有一空间平面△ABC，它垂直于V面的同时又垂直于W面，该平面△ABC是投影面平
行面还是投影面垂直面？
（3）投影面倾斜面
倾斜于三个投影面的平面叫做投影面倾斜面，如图3–35a所示。
图3-35投影面倾斜面
投影面倾斜面的投影特征：
三面投影都为缩小的类似形，其投影都不反映平面的α、β、γ角。
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在后面学习中，我们常将投影面平行面、投影面垂直面统称为特殊位置面，而将投影面
倾斜面称为一般位置面。
〔例3-12〕包含一般位置直线AB（图3-36a）作一正垂面△ABC，完成该正垂面的两面投影。
分析：
直线AB在正垂面上，正垂面正面投影具有积聚性，因此，该正垂面的V面投影与直线
AB的V面投影a′b′重合，H面投影为正垂面△ABC的类似形。
作图：
1)在a′b′上任取一点为c′；
2)过c′作OX轴垂线并延长；
3)在该延长线上任取一点为c；
图3-36包含一般位置线作正垂面4)连接abc为所求。
思考：
（1）例3-12是否有无数解？
（2）能否包含图3-36中的直线AB作一正平面？
3.平面的迹线表示法
平面延伸后与投影面的交线称为平面的迹线，平面P延伸后与V、H、W面的交线分别用
P
V
、P
H
、P
W
表示（图3-37a），用平面的三条迹线P
V
、P
H
、P
W
的投影来表示平面的空间位置，
平面的这种表示法称为平面的迹线表示法。迹线是平面与投影面的共有线，如迹线P
V
，它即
位于V面上，同时也位于平面P上，因此它的V面投影与自身重合，H投影与OX轴重合，
W面投影与OZ轴重合，为了简化平面的迹线表示，一般不画迹线与投影轴重合的投影（图
3-37b）。
图3-37平面的迹线表示法
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在例3-12中，虽然c′、c都是任意选定的，但该题是惟一解。因为没加特别说明时，平
面的投影只用来确定平面的空间位置，并不限定平面的范围。在例3-12中取不同的c′、c，
作出的投影只是表达了该平面的不同范围。事实上对于正垂面而言，正面投影确定了，正垂
面的空间位置就惟一确定了，因此在工程上特殊位置平面常用与积聚性投影重合的迹线投影
来表示（图3-38）。
图3-3８特殊位置平面的迹线表示
4.平面内的直线和点
（1）平面内取直线
具备下列几何条件之一的直线必位于给定的平面内：
1)直线通过一平面内的两个点；
2)直线通过平面内的一个点，且平行于平面内的某条直线。
〔例3-13〕在相交二直线AB、AC确定的平面内（图3-39a），任取一直线，完成该直线的两
面投影。
图3-39平面内取任意直线
方法一：在直线AB上任取一点M（m，m′），在直线AC上任取一点N（n，n′），将M、N
的同面投影相连m′n′、mn即得所求，见图3-39b所示。
方法二：过c作直线cm，使cm∥ab；过c′作直线c′m′，使c′m′∥a′b′，cm、c′m
′即为所求，见图3-39c所示。
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〔例3-14〕在平面△ABC内（图3-40a），取一条z坐标等于16的水平线MN，完成该水平线
MN的两面投影。
图3-40平面内取水平线
分析：
所求直线MN既位于平面△ABC内，又平行于H投影面（水平线），因此它的投影既应
满足直线位于平面内的几何条件（通过平面内的两个点），又要满足投影面平行线（水平线）
的投影特征，正面投影m′n′∥OX。
作图：
1)在OX轴上方，作一条与OX轴相距16且平行的直线（图3-40b），该直线分别与a′b′、
b′c′交于m′、n′；
2)根据m′、n′，求出m、n，连接mn，m′n′即为所求（图3-40c）。
（2）平面内取点
点位于平面内的几何条件是：若点在平面内的任一直线上，则点在此平面内。因此在平
面内取点应先在平面内取一直线，然后再在该直线上取符合要求的点。
〔例3-15〕已知点E位于平面△ABC内（图3-41a），求作点E的正面投影。
图3-41平面内取点
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方法一：连接ae并延长交bc于d；由d求d′；连接a′d′；由e求得e′（图3-41b）。
方法二：过e作ac平行线，分别交ba、bc于f和g；由f、g求f′、g′；连接f′g′；由e
求得e′（图3-41c）。
〔例3-16〕四边形ABCD剪去一个缺口IIIIII（图3-42a），完成该缺口四边形的水平投影和
侧面投影。
分析：完成缺口四边形投影的关键是求出点I、II、III的H、W投影。由于点I、II、III位于
四边形平面内，因此利用平面内取点即可求解此题。
图3-42利用平面内取点完成平面投影
作图：
1)由于点I、II为CD边上的点，所以可以由1′2′直接求出1、2和1″、2″（图3-42b）；
2)过3′作a′b′的平行线交a′d′于e′（图3-42c）；
3)由e′求出e，过e作ab的平行线，由3′求出3（图3-42c）；
4)再由3、3′求出3″（图3-42c）；
5)分别连接13，23和1″3″，2″3″，并加粗该平面图形的轮廓线即完成所求（图3-42c）。
§3-3平面体的投影
复杂物体都可以看成由若干基本体组合而成。基本体有平面体和曲面体两类。表面都是
平面的立体称为平面体，如棱柱、棱锥；表面含有曲面的立体称为曲面体，常见的曲面体是
回转体，如圆柱、圆锥、圆球等。
一、平面体的投影作图
立体的投影图是立体各表面投影的总和。平面体的表面都是平面，平面与平面的交线都
是直线，因此画平面体投影图的实质就是画给定位置的若干平面和直线的投影。运用前面所
学的点、直线及平面投影特征，便可以完成平面体的投影作图。
1.棱柱的投影作图（以六棱柱为例）
（1）首先将棱柱放置一个适当位置
要尽可能多的让棱柱的主要表面和棱线与投影面平行或垂直，以方便画图和看图。图3-43a
所示，六棱柱的顶、底面为水平面，前、后棱面为正平面，左、右两侧的棱面为铅锤面。
图3-43正六棱柱的投影作图
（2）具体画图
1)画对称面的投影用细点画线画出立体对称面有积聚性的投影。该六棱柱前后对称，对称面
是正平面，用细点画线画出该平面有积聚性的投影（H面投影、W面投影）；同理画出六棱柱
左右对称面有积聚性的投影（V面投影、H面投影）。
2)画顶、底面的投影顶、底面是水平面，先画反映实形的H面投影（正六边形），再画有积
聚性的V面投影和W面投影（图3-43b）
3)画六个棱面的投影六个棱面的H面投影都积聚在正六边形的六条边上；前、后棱面V面
投影相互重叠且反映实形，W面投影积聚为Z轴的平行线；左、右四棱面V面投影、W面投
影都是缩小的类似形（矩形），并且投影发生重叠（图3-43c）。
4）检查加粗图线可见轮廓线的投影用粗实线绘制，不可见轮廓线的投影用细虚线绘制，对
称面、轴线的投影用细点画线绘制（细点画线应超出图形2~5毫米），三种图线相互重叠时，
优先表达前者（图3-43c）。
说明：画立体三面投影图的目的是用一组平面图形来表达物体的空间结构形状，将上述六棱
柱放置在H面上或离H面一定距离，画出的三面投影图的图形是相同的，因此画立体三面投
影时不必画出投影轴（图3-43d）。
棱柱的投影特征：一面投影为多边形，多边形的各边是各棱面投影的积聚，另两面投影均为
一个或多个矩形线框拼成的矩形框（图3-44）。
图3-44棱柱的投影特征
2.棱锥的投影作图（以五棱锥为例）
（1）首先将棱锥放置一个适当位置
图3-45a所示，五棱锥的底面为水平面，后棱面为侧垂面，其余四棱面为倾斜面。
图3-45五棱锥的投影作图
（2）具体画图
1)画顶心线的投影过锥顶与底面垂直的直线称为顶心线，用细点画线画出顶心线的三面投
影。凡轴线、顶心线的投影积聚为一个点时，应用垂直相交的两条细点画线交点表示其投影
（图3-45b）。
2)画底面的投影底面是水平面，先画反映实形的H面投影（正五边形），再画有积聚性的V
面投影和W面投影（图3-45b）。
3)根据五棱锥的高确定锥顶S的三面投影锥顶位于顶心线上，根据五棱锥的高定出锥顶S
的三面投影（图3-45b）。
4）将锥顶与底面各角点的同面投影相连得五个棱面的三面投影（图3-45c）。
5）检查加粗图线（图3-45c）。
棱锥的投影特征：一面投影是共顶点的三角形拼合成的多边形；另两面投影均为共顶点且底
边重合于一条线的三角形拼合成的三角形（图3-46）。
图3-46棱锥的投影特征
3.棱台的投影作图
切掉头部的棱锥称为棱台，因此棱台的投影作图与棱锥的投影作图类似。首先仍然是将
立体放置一个适当的位置，然后画出反映实形的顶、底面投影，再将顶、底面各对应角点相
连得各棱面的投影（图3-47）
图3-47四棱台的投影
二、平面体表面的点和直线
平面体的表面都是平面，因此在平面体表面取点、取线的作图与在平面上取点、取线的
作图基本相同。但由于平面体各表面的投影存在相互遮挡，因此在平面体表面取点、取线，
需要判断点、线投影的可见性。
〔例3-17〕已知点K、点M在三棱锥表面上，并且点K的H面投影k已知，点M的V面投
影m′已知，求作点K、M的其余投影。
图3-48在三棱锥表面取点作图
求点M的其余投影：
1)首先判断点M位于哪个棱面上。因（m′）为不可见，点M位于棱面SAC上。
2)再判断点M所在棱面的投影有无积聚性，有：利用积聚性直接求解；没有：则需作辅助线
求解。棱面SAC为侧垂面，其W面投影积聚为一直线，m″必定位于该积聚的直线上。因此，
可由（m′）求出m″；再由（m′）和m″求出m（图3-48b）。
3)判所求投影的可见性。由于棱面SAC的H面投影可见，故m可见；m″在棱面投影积聚的
直线上，一般不判可见性。
求点K的其余投影：
1)根据点K的H面投影k的位置，可以判断点K位于SBC棱面上。
2)SBC棱面是倾斜面，三面投影都没有积聚性，因此必须通过作辅助线求点K的其余投影。
方法一：由锥顶S过点K作辅助线SI，点K在辅助线SI上，则点K的投影必在SI的同面投
影上。连接s、k延长交bc于1，由s1作出s′1′，在s′1′上定出k′，再由k、k′求出
k″（图3-48c）。
方法二：过点K作BC的平行线GF为辅助线，点K在辅助线GF上，则点
K的投影必在GF
的同面投影上。过k作bc平行线交sc于f，交sb于g，由f求出f′（f′在s′c′上），过
f′作f′g′∥b′c′，由k求出k′（k′在f′g′上），再由k、k′求出k″（图3-48d）。
3)判点K投影的可见性，SBC棱面的V面投影可见，k′可见；SBC棱面的W面投影不可见，
k″不可见。
〔例3-18〕已知如图3-49a，完成三棱锥表面折线IIIIIIIV的其余投影。
图3-49三棱锥表面取线作图
分析：分析图3-49a可知，折线IIIIIIIV位于三棱锥的三个棱面上，是一个三折线。III段位
于SAB棱面上、IIIII段位于SBC棱面上、IIIIV段位于SCA棱面上。要完成该折线的其余
投影，关键是求点I、II、III、IV的其余投影。
作图：
1)点I、II、III分别位于SA、SB、SC三棱线上，因此由1′、2′、3′求出1″、2″、3″，
再由1′、2′、3′和1″、2″、3″求1、2、3（图3-49b）。
2)点IV位于SCA棱面上，SCA棱面是侧垂面，W面投影具有积聚性，因此由4′求出4″，
再由4′和4″求4（图3-49c）。
3)将点I、II、III、IV的同面投影相连，即完成所求。注意：由于IIIII段位于SBC
棱面上，
该棱面W面投影不可见，因此折线IIIII的W面投影2″3″应画成细虚线（图3-49c）。
三、平面与平面体相交
平面与平面体相交（可看作平面体被平面切割），在平面体表面
产生的交线称为平面体的截交线，这个平面称为截平面，由截交线围
成的平面图形称为截断面（图3-50）。
图3-50平面体截交线
1.平面体截交线的性质
分析图3–50可知，平面体截交线具有如下性质：
共有性：平面体截交线是截平面和平面体表面的共有线，它既在截平面上，又在平面体
表面上，为二者所共有。
封闭性：由于平面体的表面及截平面都为平面，平面与平面的交线是直线。因此，平面
体的截交线是一封闭的平面折线，故截断面为一平面多边形。这个多边形的各条边是截平面
与平面体各棱面的交线，各个顶点是截平面与平面体各棱线的交点（图3-50）。
2.平面体截交线投影的求法
根据平面体截交线的性质可知，求平面体截交线的投影，实质就是求截平面与平面体棱
线交点的投影。或者，是求截平面与平面体棱面交线的投影。下面通过例题来理解平面体截
交线投影的求法。
〔例3-19〕完成图3-51a所示切割三棱锥的H面投影和W面投影。
图3-51完成切割三棱锥的投影
分析：
三棱锥的上部被一个正垂面P切割。正垂面P与三个棱面都相交，交线是一个封闭的三
边形，三边形的顶点D、E、F是截平面P与三条棱线的交点（图3-51a）。
作图：
1)补画完整三棱锥的H面投影和W面投影（图3-51a）。
2)求交线的投影。
交线DEF构成的截断面是正垂面，其V投影与P平面积聚的直线PV重合。PV与三棱线
s′a′、s′b′、s′c′的交点d′、e′、f′是交线的三个顶点D、E、F的V面投影。根
据直线上点的投影特征，由d′、e′、f′求出d″、e″、f″及d、e、f。再将各棱面上两
交点的同面投影按可见性依次相连即得交线的三面投影（图3-51b）。
3)判断立体存在域，SD、SE、SF被切割掉，擦去它的三面投影，加粗可见轮廓线的投影，
完成所求（图3-51c）。
〔例3-20〕完成图3-52a所示切割四棱柱的H面投影和W面投影。
图3-52完成切割四棱柱的投影
分析：
四棱柱的上部被一个正垂面Q和一个侧平面P切割。正垂面Q与四个棱面相交，交线是
一个五边形ABCDE；侧平面P与右侧两棱面及顶面相交，交线是一个四边形GAEF；两组交
线的公共边AE是两个截平面彼此的交线（图3-52a）。
作图：
1）补画完整四棱柱的H面、W面投影（图3-52a）。
2）求立体切割后产生交线的投影：
◆求平面P产生交线GAEF的投影：交线GAEF构成的截断面是侧平面。因此，交线的V面
投影与PV重合，H面投影与PH重合。由交线的V面投影（g′f′、g′a′、f′e′、a′e′）
和H面投影（gf、ga、fe、ae）求出交线的W面投影g″f″、g″a″、f″e″、a″e″，W面
投影可见（图3-52b）。
◆求平面Q产生交线ABCDE的投影：交线ABCDE构成的截断面是正垂面。因此，交线的V
面投影与Q
v
重合，交线的H面投影与四个棱面H面投影重合。由交线的V面投影（a′b′、
b′c′、c′d′、d′e′）和H面投影（ab、bc、cd、de）求出交线的W面投影a″b″、b
″c″、c″d″、d″e″，W面投影可见（图3-52c）。交线AE的投影上述已求。
3)判断切割后立体的存在域：
该四棱柱被切割后，左侧棱线及前、后棱线的上部被切掉不存在。因此，擦去V面投影
及W面投影中相应部分的投影，加粗其余可见轮廓线的投影完成所求（图3-52d）。注意：由
于W面投影中左侧棱线与右侧棱线的投影重合，因此，在左侧棱线的切割部分，右侧棱线的
投影应用细虚线画出。
〔例3-21〕完成图3-53a所示切割四棱台的H面投影和W面投影。
图3-53完成切割四棱台的投影
分析：
四棱台的顶部被两个左右对称的侧平面P
1
、P
2
和一个水平面Q切割一通槽。水平面Q与
四棱台底面平行，因此，它与四个棱面的交线是水平线，分别平行于四棱台底面四边形的四
条边。侧平面P
1
、P
2
与棱面的交线是侧平线，分别平行于前、后棱线；与顶面的交线是正垂
线（图3-53a）。
作图：
1)补画完整四棱台的H面、W面投影（图3-53a）
2)求立体切割后产生交线的投影：
◆求平面Q产生交线的投影：平面Q产生的交线是一六边形（其截断面为水平面），该交线的
V面投影与Q
V
重合，W面投影与Q
W
重合。将平面Q与前棱线的交点记为A，由a′、a″
求出a，过a作四棱台底面四边形四条边的平行线，由此可完成该交线的H面投影（图3-53b）。
◆求平面P
1
、P
2
产生交线的投影：平面P
1
产生的交线是一四边形（其截断面为侧平面），该
交线的V投影与P
1V
重合，H面投影与P
1H
重合。由上述平面Q产生交线的端点B、E的W
面投影b″、e″作前、后棱线的平行线，可完成该交线的W面投影（图3-53c）。同理可求平
面P
2
产生交线的投影。注意：由于平面P
1
、P
2
对称，因此，产生的交线W面投影完全重合（图
3-53d）。
3)判断立体切割后的存在域：
擦去切割后不存在的棱线、棱面投影，加粗可见轮廓线的投影，完成所求（图3-53d），
注意：水平面Q的侧面投影b″e″段不可见，应画成细虚线。