等比数列常用公式
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2023年2月20日发(作者：编导自我介绍)数列常用公式
一．等比数列（字母q表示公比）
1.通项公式：A
n
=A
1
·qn-1
若通项公式变形为：A
n
=A
1
/q·qn(n∈N*),当q>0时，则可
把A
n
看作自变量n的函数，点(n,A
n
)是曲线y=A
1
/q·qx上的
一群孤立的点。
2.任意两项A
m
，A
n
的关系为A
n
=A
m
·q(n-m)
3.A
1
·A
n
=A
2
·A
n-1
=A
3
·A
n-2
=…=A
k
·A
n-k+1
，k∈{1,2,…,n}
4.等比中项：A
q
·A
p
=A
r
2，A
r
则为A
q
，A
p
等比中项。
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数对数数后
构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等
差数列的各项做指数构造幂CAn，则是等比数列。在这个意
义下，一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
性质：
①若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则A
m
·A
n
=A
q
·A
p
；
②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项”“G2=a·b（G≠0）”.
5.等比数列前n项之和：S
n
=A
1
(1-qn)/(1-q)或
S
n
=(A
1
-A
n
·q)/(1-q)（q≠1）
S
n
=n·A
1
（q=1）
等比数列中，首项A
1
与公比q都不为零.
二．等差数列（字母d表示公差）
1.通项公式：A
n
=A
1
+(n-1)·d或A
n
=A
m
+(n-m)·d
2.前n项和公式：S
n
=n·A
1
+[n·(n-1)/2]d
S
n
=(A
1
+A
n
)·n/2
若m+n=2p则：A
m
+A
n
=2A
p
三．基本方法
A
n
=S
n
-S
n-1
（n≥2）
1.累和法（A
n
-A
n-1
=A
n-1
-A
n-2
=…A
2
-A
1
=…将以上各项相加可
得A
n
）。
2.逐商全乘法（对于后一项与前一项商中含有未知数的数
列）。
3.化归法（将数列变形，使原数列的倒数或与某同一常数的
和成等差或等比数列）。
4.在等差数列中，有：S
n
S
2n
-S
n
S
3n
-S
2n
2(S
2n
-S
n
)=S
3n
-S
2n
)+S
n
三者是等差数列,同样在等比数列中。三者成等比数列。
四．常见数列
1,2,3,4,5,6,7,8.......A
n
=n
1,1/2,1/3,1/4,1/5,1/6,1/7,1/8......A
n
=1/n
2，4，6，8，10，12，14.......A
n
=2n
1,3,5,7,9,11,13,15......A
n
=2n-1
-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......A
n
=(-1)n
1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1......A
n
=(-1)(n+1)
1,0,1,0,1,0,1,01,0,1,0,1......A
n
=[(-1)(n+1)+1]/2
1,0,-1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0......A
n
=cos(n-1)π/2=sinnπ/2
9,99,999,9999,99999,......A
n
=（10^n)-1
1,11,111,1111,11111.......A
n
=[（10n)-1]/9
1，4，9，16，25，36，49，.......A
n
=n2
1,2,4,8,16,32......A
n
=2(n-1)