椭圆的弦长公式是什么
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2023年2月20日发(作者：交通安全的顺口溜)大罕
求圆锥曲线的弦长是学习解析几何过程中常见的问题．一般用弦长公式|AB|=(√△/|a|)
√(1+k^2)．在运用上述公式之前，需要将直线方程代入到椭圆、双曲线的方程，加以化
简．在整理的过程中，由于带有参数，故运算有些繁琐容易出错．作为参考材料，本文
给出更具体的弦长公式．遇到选填题可直接套用，遇到解答题可供检验.具体如下：
命题１：已知直线l：y=kx+m，
椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，
记δ=b^2+(a·k)^2-m^2，
若δ=0，则直线l与椭圆C相切
若δ>0，则直线l与椭圆C相交于Ａ,Ｂ两点，且
|AB|=[2ab√δ·√(1+k^2)]/[b^2＋(ak)^2]．
简要的推导过程是：
把y=kx+m代入x^2/a^2+y^2/b^2=1，
整理得：[(ak)^2+b^2]x^2+2a^2kmx+a^2(m^2-b^2＝０，
∴=4a^4k^2m^2-4a^2(m^2-b^2)(a^2k^2+b^2)=4a^2b^2(b^2＋a^2k^2-m^2).
令δ=b^2＋a^2k^2-m^2，
∴当δ=0时，直线l与椭圆C相切；
当δ>0时，直线l与椭圆C相交于Ａ,Ｂ两点，且
|AB|=[2ab√δ√(1+k^2)]/[b^2+(ak)^2].
命题2：已知直线l：y=kx+m，
双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)，
记δ=b^2-(a·k)^2+m^2，
若δ=0，则直线l与椭圆C相切
若δ>0，则直线l与椭圆C相交于Ａ,Ｂ两点，且
|AB|=[2ab√δ·√(1+k^2)]/[b^2-(ak)^2]．
证明与命题１过程类似，这里从略．
例1、若直线l：y=x+m与椭圆C：x^2/4+y^2/3=1相切，求m的值.
解：a^2=4，b^2=3，k=1，
∴δ=4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2)=4+3-m^2=0，
则m=±√7．
例2、求直线l：y=x+1截椭圆C：x^2/4+y^2/3=1所得的弦长|AB|．
解：a^2=4，b^2=3，k=1，m=1,
∴δ=4a^2b^2(a^2k^2+b^2-m^2)=4+3-1=6，
∴|AB|=(4√3)(√6)(√2)]/7=24/7.
例3、直线l过点P(1,1)，双曲线：x^2-y^2/2=1相切，求直线l的方程.
解：设直线l：y=kx+1-k，
a^2=1，b^2=2，m=1-k，
令δ=b^2-(a·k)^2+m^2=2-k^2+(1-k)^2=0，
解得k=3/2.
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