高等数学b
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2023年2月19日发(作者：宁波老年大学)《高等数学B》课程教学大纲
AdvancedMathematicsB
课程代码：03100B01,03100B02课程性质：公共基础理论课/必修
适用专业：工科类各专业总学分数：8
总学时数：128修订年月：2015.12
编写年月：2007.9执笔：许君臣、韩晓卓
课程简介(中文)：
高等数学是近代数学的基础，也是高等学校工科各专业学生的一门必修的基
础理论课。它在现代工程技术、经济管理和人文科学等各领域中具有广泛的应用。
本课程以微积分学为核心内容。首先在极限的基础上建立了连续、导数、不定积
分和定积分的概念和应用。在此基础上结合空间解析几何建立了多元函数微积分
学的基本概念和应用。此外还介绍了微积分学的两个应用分支：微分方程和无穷
级数。
课程简介(英文)：
AdvancedMathematicsisthefoundationofmodernmathematics,andisa
compu
widerangeofapplicationsinmodernengineeringtechnology,economicmanagement,
,onthe
basisoflimit,theconceptsandapplicationsofcontinuity,derivatives,indefiniteand
edwiththegeometryofspace,thebasic
er,two
branchesofapplicationareintroduced:differentialequationsandinfiniteseries.
一、课程目的
通过本课程的学习，使学生对极限的思想和方法有进一步的认识，对具体与
抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系有初步的了解，要使学生获得：
1.函数、极限、连续；
2.一元函数微积分学；
3.常微分方程；
4.向量代数和空间解析几何；
5.多元函数微积分学；
等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，使学生了解整个微积分体系
的构建和应用并为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、
逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练
的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力。
二、课程教学内容及学时分配
（一）教学内容
1．函数、极限、连续
函数：映射及函数的概念，函数的表示法，函数的特性，复合函数、反函数、
分段函数和隐函数的概念，基本初等函数的性质及图形。初等函数。简单应用问
题函数关系的建立；
极限：数列极限的定义，收敛数列的性质；函数极限的定义，函数的左右极
限，函数极限的性质，无穷小与无穷大的概念及其关系；极限的四则运算法则，
两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），两个重要极限，无穷小的比较。
函数的连续性：函数连续的定义，间断点及其分类，初等函数的连续性，闭
区间上连续函数的性质（有界性、最值性、零点定理和介值定理）。
2．一元函数微分学
导数与微分：导数的定义，导数的几何意义及物理意义，函数的可导性与连
续性的关系；平面曲线的切线和法线，导数的四则运算法则，复合函数求导法则，
基本初等函数的导数公式；高阶导数的概念，初等函数的一、二阶导数的求法，
隐函数和参数式所确定的函数的一、二阶导数的求法；微分的定义，微分的运算
法则（含微分形式的不变性），微分的应用。
中值定理与导数的应用：费马定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中
值定理；洛必达法则；用导数判定函数的单调性，函数极值概念及其求法，简单
的最大值最小值应用问题，用导数判定函数曲线的凹凸性与拐点，渐近线，函数
作图。
3．一元函数积分学
不定积分：原函数与不定积分的定义，不定积分的性质，基本积分公式，换
元积分法，分部积分法，有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。
定积分及其应用：定积分的定义及其性质，积分上限的函数及其导数，牛顿
—莱布尼茨公式，定积分的换元法和分部积分法；广义积分的概念；定积分在几
何学中的应用（面积、旋转体体积、平行截面面积为已知的立体的体积、平面曲
线的弧长）；定积分在物理中的应用（变力沿直线作功、水压力、引力）。
4．常微分方程
微分方程的基本概念：微分方程的定义、阶、解、通解、初始条件、特解、
初值问题、积分曲线。
一阶微分方程：可分离变量微分方程，齐次方程，可化为齐次的方程，一阶
线性微分方程，伯努利方程。
可降阶的高阶微分方程：()()nyfx型，
(,)
yfxy
型，
(,)
yfyy
型。
高阶线性微分方程：高阶线性微分方程解的性质及解的结构定理，二阶常系
数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程（
()()x
m
fxePx
，
()()cos()sinx
ln
fxePxxPxx），用微分方程解简单的几何问题。
5.向量代数与空间解析几何
向量代数：空间直角坐标系，向量概念，向量的线性运算，向量的坐标，向
量的数量积，向量的向量积，两向量的夹角，两向量平行与垂直的条件。单位向
量，方向数与方向余弦
平面与直线：平面的方程（点法式、一般式、截距式），直线的方程（参数
式、对称式、一般式），夹角（平面与平面、平面与直线、直线与直线），平行与
垂直的条件（平面与平面、平面与直线、直线与直线）。点到平面和点到直线的
距离。
曲面与空间曲线：曲面方程的概念，球面方程，以坐标轴为旋转轴的旋转曲
面，母线平行于坐标轴的柱面方程；空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线
与曲面在坐标面上的投影。
常用的二次曲面的方程及其图形。
6多元函数微分学
多元函数：多元函数的概念，二元函数的几何表示，二元函数的极限与连续
性，有界闭区域上连续函数的性质。
偏导数与全微分：多元函数的偏导数的定义及其计算法，高阶偏导数的概念
及复合函数二阶偏导数的求法；全微分的定义，全微分存在的必要条件和充分条
件，多元复合函数的求偏导法则，隐函数的求偏导公式；方向导数和梯度。
偏导数的应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，多元函数
的极值及其求法，最大值、最小值问题及其简单应用，条件极值，拉格朗日乘数
法。
7．多元函数积分学
二重积分：二重积分的概念、性质及计算（直角坐标、极坐标）。
重积分的应用：在几何中的应用（曲面面积、立体体积）；物理中的应用（质
心、转动惯量、引力）。
（二）学时分配
本课程的教学时数为128学时，课内外学时比例为1：2，课内学时分配如
下表：
序号内容
学时安排小计
理论课时
实验或习题课时
上机课时
高等
数学
B（1）
函数、极限、连续14216
导数与微分8210
中值定理与导数应用10212
期中测验022
不定积分628
定积分及其应用10414
期末复习022
合计481664
高等
数学
B（2）
微分方程16218
向量代数与空间解析10212
期中测验022
多元函数微分学16420
重积分8210
期末复习022
合计501464
总计9830128
三、课程教学的基本要求
1．正确理解下列基本概念和它们之间的内在联系：
函数，极限，无穷小，连续，导数，微分，极值与最值，原函数与不定积分，
定积分，偏导数，全微分，条件极值，重积分，微分方程。
2．正确理解下列基本定理和公式并能正确运用：
极限的主要定理，闭区间上连续函数的性质定理，罗尔定理和拉格朗日中值
定理，积分上限函数的求导定理，微积分基本定理。
3．牢固掌握下列公式：
两个重要极限，基本初等函数、双曲函数的导数公式，基本积分公式。
4．熟练运用下列法则和方法：
导数的四则运算法则和复合函数的求导法，换元积分法和分部积分法，二重
积分的计算法，变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法，二阶常系数齐次
(非齐次)线性微分方程的解法。
5．会运用微积分和常微分方程的方法解一些简单的几何问题。
四、本课程与其它课程的联系与分工
先修课程：无
后续课程：作为公共基础课，它是许多后继专业基础课和专业课的基础。
五、建议教材及教学参考书
［1］同济大学数学教研室主编，《高等数学》，第七版，高等教育出版社，2014年出版
［2］吴赣昌主编，《高等数学》，理工类，第四版，中国人民大学出版社，2011.6出版
［3］张小柔等编，《高等数学习题课教程》，科学出版社,2003.6出版
［4］梅顺治等编，《高等数学习题课讲义》，科学出版社2000.8出版
［5］同济大学数学教研室编，《高等数学习题全解指南解》，高等教育出版社2012.5出
版