数列通项公式

数列通项公式

老土布-3a幼教

2023年2月19日发(作者：大学生创业项目计划书)

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常见数列通项公式的求法

公式：

1、定义法

若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出

1

a与

d

或

1

a与q,再代入公式dnaa

n

1

1

或

1

1

n

n

qaa中即可.

例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,５，１3后成为等比数列

n

b的

345

,,bbb,

求数列

n

b的的通项公式．

练习:数列

n

a是等差数列,数列

n

b是等比数列,数列

n

c中对于任何*nN都有

1234

127

,0,,,,

6954nnn

cabcccc分别求出此三个数列的通项公式.

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2、累加法

形如nfaa

nn



11

a已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式.

（1）当fnd为常数时,

n

a为等差数列,则

1

1

n

aand；

（2）当fn为n的函数时，用累加法．

方法如下:由nfaa

nn



1

得

当

2n

时，

1

1

nn

aafn





，



12

2

nn

aafn





,



32

2aaf

,



21

1aaf

,

以上1n个等式累加得



1

1+221

n

aafnfnff

1n

aa1+221fnfnff

（3)已知

1

a,nfaa

nn



1

，其中fn可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.

①若fn可以是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和；

②若fn可以是关于n的二次函数，累加后可分组求和；

③若fn可以是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

④若fn可以是关于n的分式函数,累加后可裂项求和求和.

例2、数列

n

a中已知

11

1,23

nn

aaan



,求

n

a的通项公式.

练习1：已知数列

n

a满足

11

322,.

nnn

aanaa



且求

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练习2：已知数列

n

a中,

11

1,32n

nn

aaan



,求

n

a的通项公式.

练习3：已知数列

n

a满足

11

2

11

,,

2nn

aaa

nn





求求

n

a的通项公式．

3、累乘法

形如

1n

n

a

fn

a



1

a已知型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.

给递推公式1,n

n

a

fnnN

a





中的n依次取1,２，3,……，

1n

,可得到下面

1n

个式子:

234

1231

1,2,3,,1.n

n

aaaa

ffffn

aaaa





利用公式234

1

1231

,0,n

nn

n

aaaa

aaanN

aaaa



可得:



1

1231.

n

aaffffn

例３、已知数列

n

a满足

11,

2

,

31nnn

n

aaaa

n





求

．

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练习１：数列

n

a中已知1

1

2

1,n

n

a

n

a

an





,求

n

a的通项公式.

练习2:设

n

a是首项为

1

的正项数列，且22

11

(1)0

nnnn

nanaaa



，求

n

a的通项公式.

4、奇偶分析法

(1)对于形如

1nn

aafn



型的递推公式求通项公式

①当

1nn

aadd



为常数时,则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2,其通项分奇数项和偶数

项来讨论．

②当fn为n的函数时,由

1nn

aafn



,

1

1

nn

aafn



两式相减,得到



+11

1

nn

aafnfn



，分奇偶项来求通项.

例４、数列

n

a满足

11

1,4

nn

aaa



,求

n

a的通项公式.

练习：数列

n

a满足

11

6,6

nn

aaa



,求

n

a的通项公式.

--

--

例5、数列

n

a满足

11

0,2

nn

aaan



，求

n

a的通项公式．

练习１:数列

n

a满足

11

1,1

nn

aaan



，求

n

a的通项公式.

练习2：数列

n

a满足

11

2,31

nn

aaan



，求

n

a的通项公式．

(2)对于形如

1nn

aafn



型的递推公式求通项公式

①当

1nn

aadd



为常数时,则数列为“等积数列”,它是一个周期数列，周期为２，其通项分奇数项和偶数

项来讨论.

--

--

②当fn为n的函数时,由

1nn

aafn



，

1

1

nn

aafn



两式相除,得到



+1

1

1

n

n

fn

a

afn







，分奇偶项来

求通项．

例６、已知数列

n

a满足

11

2,4

nn

aaa



，求

n

a的通项公式.

练习:已知数列

n

a满足

11

2

,2

3nn

aaa



,求

n

a的通项公式.

例７、已知数列

n

a满足

11

1

3,

2

n

nn

aaa











,求

n

a的通项公式.

练习1:数列

n

a满足

11

2,3n

nn

aaa



,求

n

a的通项公式.

--

--

练习２:数列

n

a满足

11

1,2n

nn

aaa



,求

n

a的通项公式．

5、待定系数法(构造法)

若给出条件直接求

n

a较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列，从而根据等差或者等比数列的定

义求出通项.常见的有:

(1)

1

,

nn

apaqpq



为常数

1

,

nnn

atpatat



构造为等比数列.

(2)

11

1

1

1

,np

n

nn

nn

nn

aa

apatptpt

pp









两边同时除以为常数

(3)

11

1

1

1

,,,1np

n

nn

nn

nn

aa

p

apatqtpqt

qqq









两边同时除以为常数再参考类型

(4）

1

,,

nn

apaqnrpqr



是常数

1

1

nn

anpan





(5）

21

+

nnn

apaqa





2111

t,t

nnnnnn

atapaaaa



构造等比数列

例８、已知数列

n

a中，1

1

a,32

1



nn

aa,求

n

a.

--

--

练习:已数列

n

a中,

1

1a且

1

1

1,____.

2nnn

aaa



则

例9、已知数列

n

a中，1

11

3,33n

nn

aaa



,求

n

a的通项公式．

练习1：已知数列

n

a中,

11

3,22n

nn

aaa



,则

n

a_＿___＿__．

练习２:已知数列

n

a中，

11

2

,343

3

n

nn

aaa



,求

n

a的通项公式.

例1０、已知数列

n

a满足1

11

62,1,n

nn

aaa



求.

n

a

练习1:设数列{

n

a}满足n

nn

aaa23,1

11





，则

n

a_＿＿_____．

练习2:已知数列

n

a中，

1

11

511

,

632

n

nn

aaa













，求

n

a.

--

--

练习3:已知数列

n

anN的满足:1

11

1

13,432,,

7

n

nn

akaankkR











（1）判断数列

4

7

n

n

a









是否成等比数列;

(2）求数列

n

a的通项公式.

例1１、数列

n

a中已知

11

1,23

nn

aaan



,求

n

a的通项公式.

--

--

练习1：数列

n

a中已知

11

2,32

nn

aaan



,求

n

a的通项公式．

练习2:数列

n

a中已知2

11

2,322

nn

aaann



,求

n

a的通项公式.

例12、已知数列

n

a中,

1212

5,2,2+33

nnn

aaaaan



，求求

n

a的通项公式.

--

--

练习1:已知数列

n

a中，

12+2+1

21

1,2,+

33nnn

aaaaa，求求

n

a的通项公式.

练习2:在数列{}

n

a中，

1

1a,

2

3

5

a，

2n

a





1

3

5n

a





2

3n

a,令

1nnn

baa



。

（１)求证：数列{}

n

b是等比数列，并求

n

b。

(２)求数列{}

n

a的通项公式。

6、利用

n

a与

n

S的关系

如果给出条件是

n

a与

n

S的关系式,可利用1

1

1

,2n

nn

an

a

SSn















求解.

例1３、已知数列

n

a的前ｎ项和为322nnS

n

,求

n

a的通项公式.

--

--

练习１:已知数列

n

a的前n项和为2

1

3

4n

Snn,求

n

a的通项公式.

练习2:若数列

n

a的前n项和为

3

3,

2nn

Sa求

n

a的通项公式.

练习3：已知数列

n

a前n项和

2

1

4

2nn

n

Sa



,求

n

a的通项公式.

7、倒数法

（１)

1

1

111

=,nn

n

nnnnn

paqap

q

a

qapapaapa















构造是等差数列

(2）

1

1

11

=nn

n

nnnn

paqat

tq

a

qatapapap









例1４、已知数列

n

a满足

1

=1a，

1

2

32

n

n

n

a

a

a





，求

n

a的通项公式.

--

--

练习:已知数列

n

a中,

11

3,,

12

n

n

n

a

aa

a





则

n

a________.

例１5、已知数列

n

a满足

1

=1a，1

1

2

34

n

n

n

a

a

a









,求

n

a的通项公式.

练习：已知数列

n

a中,

11

2

2

,,

31

n

n

n

a

aa

a





则

n

a________.

8、

111

0,0lglglg,r

nnnnnnn

apapaapraapaq



两边取对数转化为型

例16、已知数列

n

a中,2

11

100,10,

nn

aaa



求

n

a

--

--

练习：已知数列

n

a中,3

11

2,2,

nn

aaa



求

n

a

9、其他

例１7、已数列

n

a中，

1

1a，

11nnnn

aaaa



,则数列通项

n

a____.

例18、在数列

n

a

中,

1

a=1,n≥2时，

n

a、

n

S、

n

S-

1

2

成等比数列．

(1）求

234

,,aaa;(2)求数列

n

a

的通项公式.

例19、已知在等比数列｛a

n

}中，

1

1a，且

2

a是

1

a和

3

1a的等差中项.

（1）求数列{a

n

｝的通项公式;

（2）若数列

n

b满足123

23

nn

bbbnbanN,求数列

n

b的通项公式

--

--

例２0、已知等差数列{ａ

n

}的首项ａ

1

＝1，公差ｄ＞０,且第二项,第五项，第十四项分别是等比数列｛b

n

｝的第二

项,第三项,第四项.

(１）求数列{a

n

｝与{ｂ

n

}的通项公式；

（２）设数列{cｎ}对任意正整数n,均有3

12

1

123

n

n

n

cc

cc

a

bbbb

，求cｎ.